三次函数性质总结_T

我们已经学习了一次函数 最大值与最小值,在某一闭区间

三次函数性质的探索
,知道图象是单调递增或单调递减,在整个定义域上不存在 取得最大值与最小值.那么,是什么决定函数的单调性呢?

利用已学过的知识得出:当 k>0 时函数单调递增;当 k<0 时函数单调递增;b 决定函数与 y 轴相交的位置.

其中运用的较多的一次函数不等式性质是:



上恒成立的充要条件

接着,我们同样学习了二次函数



利用已学知识归纳得出:当 时(如图 1),在对称轴

的左侧单调递减、右侧单调递增,

对称轴

上取得最小值



当 时(图 2),在对称轴

的左侧单调递增、右侧单调递减,

对称轴

上取得最大值



在某一区间取得最大值与最小值. 其中 决定函数的开口方向, 同时决定对称轴, 决定函数与 轴相交的位置.

总结:一次函数只有一个单调性,二次函数有两个单调性,那么三次函数是否就有三个单调性呢?

一、定义 定义 1 形如

三次函数专题
的函数,称为“三次函数”(从函数解析式的结构上命名)。

定义 2 三次函数的导数

,把

叫做三次函数导函数的判

别式。 由于三次函数的导函数是二次函数,而二次函数是高中数学中的重要内容,所以三次函数的问题,已经成为
高考命题的一个新的热点和亮点。

1

系列探究 1:从最简单的三次函数

开始

反思 1:三次函数

的相关性质呢?

y

O

x

反思 2:三次函数

的相关性质呢?

反思 3:三次函数

的相关性质呢?

例题 1. (2012 天津理 4)函数

(A)0

(B)1

(C)2

在区间 (D)3

内的零点个数是( )

探究一般三次函数 先求导
1、单调性:
(1)若 (2)若
则在

的性质:

,此时函数 f (x) 在 R 上是增函数;

,令

两根为

x1, x2 且



上单调递增,在

上单调递减。

导函数 图 象
极值点 个数

x1 x2
x
2

x0

x

0

x1 x2

x

2

x0

x

0

2、零点
(1) 若

b2 ? 3ac ? 0 ,则

恰有一个实根;
2

(2) 若 (3) 若 (4) 若 说明: (1)(2)
同号.

,且

,则

恰有一个实根;

,且

,则

有两个不相等的实根;

,且

,则

有三个不相等的实根.

有一个实根的充要条件是曲线

与 轴只相交一次,即 在 上为单调函数或两极值



(3)

有两个相异实根的充要条件是曲线

与 轴有两个公共点且其中之一为切点,所以

,且

;

(4)

有三个相异实根的充要条件是曲线

与 轴有三个公共点,即 有一个极大值,一个极

小值,且两极值异号.所以

,且

.

由图像能够探究出在区间

的最大值与最小值吗?

函数



,若

,且

,则;





拉格朗日中值定理 若函数 满足如下条件:(i)

在闭区间

少存在一点 ,使得

.

上连续;(ii) 在开区间

内可导;则在

内至

3、奇偶性:函数当且仅当 4、对称性:函数图象关于点
证明:三次函数

时是奇函数。

中心对称(了解)

关于点

对称的充要条件是

整理得, 据多项式恒等对应系数相等,可得
3

从而三次函数是中心对称曲线,且对称中心是

.

说明

1、
移后所得函数

关于点

对称,可以理解为图象沿着向量



是奇函数,于是

,即

2、其导函数为

对称轴为

,所以对称中心的横坐标也就是导函数的对称

轴,可见,

图象的对称中心在导函数

的对称轴上,且又是两个极值点的中点,

3、同时也是二阶导数为零的点,是

的拐点。

4、又可得以下结论:

是可导函数,若

的图象关于点

证明:

的图象关于

对称,则

对称,则

图象关于直线

对称.

于是
?
5、

图象关于直线 是可导函数,若

对称 的图象关于直线

对称,则

图象关于点

对称.

证明:

的图象关于直线

对称,则

4

于是
?

图象关于点

对称。

这是因为:奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数
4、三次函数 图象的切线条数
由三次函数的中心对称性可知:过三次函数的对称中心且与该三次曲线相切的直线有且只有一条; 而过三次曲线上除对称中心的任一点与该三次曲线相切的直线有二条。

例题 2. 已知曲线

,求曲线在点

处的切线方程.

解:



曲线在点

处的切线斜率为

∴代入直线方程的斜截式,得切线方程为:





变式:已知曲线

,求曲线过点

错解:依上题,直接填上答案

处的切线方程.

错因剖析:如下图所示,在曲线上的点 A 处的切线与该曲线还有一个交点。这与圆的切线是有不同的。



在曲线

上,它可以是切点也可以不是。

正确解法:设过点

的切线对应的切点为



斜率为

,切线方程为

5



的坐标代入,得



∴切线的方程为



请你掌握:三次函数解析式的形式

(1)一般形式:

(2)已知函数的对称中心为

,则

(3)已知函数图象与 x 轴的三个交点的横坐标



(4)已知函数图象与 轴的一个交点的横坐标 ,则

例题 3. (2012 全国大纲版 10)已知函数

A.

B.

的图像与 轴恰有两个公共点,则 的值是

C.

D.

?3 或 1

【解析】因为三次函数的图像与 x 轴恰有两个公共点,结合该函数的图像,可得极大值或者极小值为零即可满足要求。而 f ?(x) ? 3x2 ? 3 ? 3(x?)(x ?1) ,当 x ? ?1 时取得极值

由 f (1) ? 0 或 f (?1) ? 0 可得 c ? 2 ? 0 或 c ? 2 ? 0 ,即 c ? ?2 。答案 A

例题 4. (2012 福建文)12.已知

,且

.现给出如下结论:



;②

;③

;④

.其中正确结论的序号是

A.①③

B.①④

C.②③

D.②④

【 解 析】 f ?(x) ? 3x2 ?12x ? 9 ? 3(x ?1)(x ? 3) , (??,1) 单调递增, (1,3) 单调递减, (3, ??) 单调递增,又因为

f (a) ? f (b) ? f (c) ? 0 ,所以 a ? (??,1) b ? (1,3) , c ? (3, ??) ,

【法一】 f (1) ? 4 ? abc ? 0 , f (3) ? ?abc ? 0 , f (0) ? ?abc ? 0 .

【法二】又因为 f (b) ? b3 ? 6b2 ? 9b ? abc ? b(b2 ? 6b ? 9) ? abc ? b[(b ? 3)2 ? ac] ? 0 ,所以 ac 为正数,所以 a 为

正数,又因为 f (0) ? ?abc ? 0 , f (1) ? 0 , f (3) ? 0 .

【点评】本题考查运用导数分析函数的能力,数形结合及代入转化的能力.【答案】A

例题 5.

(2012重庆理卷)(8)设函数 在 上可导,其导函数为 的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是

6

,且函数

(A)函数 (B)函数 (C)函数 (D)函数

有极大值 有极大值 有极大值 有极大值

和极小值 和极小值
和极小值 和极小值

例题 6. (2012?重庆文)

设函数 在 上可导,其导函数为 ,且函数 在

2 1
1 2

2

1

1 2

A.

B.

处取得极小值,则函数
1 2
1
C.

的图象可能是( )
1 2
1
D.

例题

7.

设函数

f

(x)

=

1 3

x3

+

x2

-

3x +1 ,求函数

f

(x)

的单调区间。

解析: f (x) 的定义域为 R, f ′(x) = x2 +2x - 3

f ′(x) = x2 +2x - 3> 0 ? x ∈(-∞,-3)或(1,+∞),此时为 f (x) 的单调递增区间;

f ′(x) = x2 +2x - 3< 0 ? x∈(-3,1) ,此时为 f (x) 的单调递减区间。

变式

1

设函数

f

(x) =

1 3

x3

+

x2

- 3x + m

,求函数

f

(x)

的单调区间。

解析: f (x) 的定义域为 R, f ′(x) = x2 +2x - 3

f ′(x) = x2 +2x - 3> 0 ? x ∈(-∞,-3)或(1,+∞),此时为 f (x) 的单调递增区间;

f ′(x) = x2 +2x - 3< 0 ? x∈(-3,1) ,此时为 f (x) 的单调递减区间。

【解后反思】:变式 1 与例题的区别在于把三次函数的常数项换成参数 m,但是不影响函数的单调性。

变式

2

设函数

f

(x) =

1 3

x3

+

x2

+ mx +1 ,求函数

f

(x)

的单调区间。

解析:依题意可得 f ?(x) ? x2 ? 2x ? m

当 ? ? 4 ? 4m ? 0 即 m ? 1时, x2 ? 2x ? m ? 0 恒成立,故 f ?(x) ? 0 ,所以函数 f (x) 在 R 上单调递增; 当 ? ? 4 ? 4m ? 0 即 m ? 1时,

7

f ?(x) ? x2 ? 2x ? m ? 0

x1 ? ?2 ?
有两个相异实根

4 ? 4m 2

?

?1 ?

1? m x2 ? ?1?

1? m ,且 x1 < x2 ,

故 f ?(x) ? x2 ? 2x ? m ? 0 ? x ? (??, ?1? 1? m)或x ? (?1? 1? m, ??) ,此时为 f (x) 的单调递增区

间; f ?(x) ? x2 ? 2x ? m ? 0 ? x ? (?1? 1? m, ?1? 1? m) ,此时为 f (x) 的单调递减区间。

综上可知,当 m ? 1时,函数 f (x) 在 R 上单调递增;

当 m ? 1时, x ? (??, ?1? 1? m)或x ? (?1? 1? m, ??) 单调递增,

x ? (?1? 1? m, ?1? 1? m ) 单调递减。

【解后反思】:函数求导后为常数项未知的二次函数,不能确定二次函数与图像的交点个数,即二

次方程的跟,所以要讨论Δ 的正负。

变式

3

设函数

f

(x)

=

1 3

x3

+ mx2

+

x +1 在

x

∈(-∞,+∞)为单调函数,求

m

的取值范围。

解析:依题意可得 f ?(x) ? x2 ? 2mx ?1 , ? ? 4m2 ? 4 ? 0, ?1 ? m ? 1 所以 m ???1,1? 。

【解后反思】:1、单调函数为在定义域范围内为增函数或减函数;2 函数求导后为含参数的二次函数,

二次函数图像开口向上,所以只能满足 x ∈(-∞,+∞)上 f ?(x) ? 0 ,所以要Δ ≤0 。

变式

4

设函数

f

(x)

=

1 3

x3

+

1 2

(m +1) x 2

+ mx +1 ,求函数

f

(x)

的单调区间。

解析:依题意可得 f ?(x) ? x2 ? (m ?1)x ? m ? (x ? m)(x ?1) ,

令 f ′(x) = 0 , x1 ? ?m, x2 ? ?1, (1)m>1, x2 > x1 ,即 (??, ?m)或(-1,+?)为单调递增,(-m,-1)为单调递减; (2)m=1, x2 = x1 ,即 f ′(x) ≥0 ,所以函数 f (x) 在 R 上单调递增; (3)m<1, x2 < x1 ,即(-?, ?1)或(-m, ??) 为单调递增,(-1,-m)为单调递减;

【解后反思】:由于 m 的不确定性,不能确定两根的大小,所以要进行分类讨论,很多同学不知道

分类讨论的分界点是什么,遇到这种能够直接可以因式分解的,讨论的分界点即为两根相等时求 出的参数值,所以此题分类讨论的分界点为 m=1,m>1,m<1,【变式 2】因为不能因式分解,不能确 定方程有根无根,所以要讨论Δ 的正负。

变式

5

设函数

f

(x)

=

1 3

mx3

+

1 2

(m +1) x 2

+

x+c

,求函数

f

(x)

的单调区间。

解析:依题意可得 f ?(x) ? mx2 ? (m ?1)x ?1 ? (mx ?1)(x ?1) ,

8

(1)m=0, f ?(x) ? x ?1,所以函数 f (x) 在(-?, ?1) 单调递减,在(-1, ??) 单调递增;

(2)m≠0

,

f

?( x)

?

mx2

?

(m

? 1) x

?1?

(mx

? 1)( x

? 1)

=0,

x1

?

?1,

x2

?

?

1 m

?

m<

0

,

x2

>

x1

,

(??,

?1)或(-

1 m

,

??)

单调递减,

(?1,

?

1 m

)

单调递增;

?

0

<

m

<1



x2

<

x1



(??,

?

1 m

)或(-1,

??)

单调递增,

(?

1 m

,

?1)

单调递减;

? m=1, x2 = x1 ,所以在 R 上为单调递增;

?

m

>1

,

x2

>

x1

,

(??,

?1)或(-

1 m

,

??)

单调递增,

(?1,

?

1 m

)

单调递减;

综上可知,

m<

0

,

(??,

?1)或(-

1 m

,

??)

单调递减,

(?1,

?

1) m 单调递增;

m=0,(, -?, ?1) 单调递减,在(-1, ??) 单调递增;

0< m<1,

(??,

?

1 m

)或(-1,

??)

单调递增,

(?

1 m

,

?1)

单调递减;

m=1,所以在 R 上为单调递增;

m

>1

,,

(??,

?1)或(-

1 m

,

??)

单调递增,

(?1,

?

1 m

)

单调递减;

【解后反思】:这道题目与【变式 4】区别在于,最高次前边的系数不能确定,所以讨论的第一个分

界点为 m=0,然后在讨论两个根的大小,但是一定注意导函数图像的开口方向,这是易错点。

变式

6

设函数

f

(x)

=

1 3

mx3

+

1 2

x2

+

x+c

,求函数

f

(x)

的单调区间。

提示:求导后,分析二次函数的最高幂系数不确定,所以要讨论 m 与 0 的关系,在 m ≠0

的情况下,讨论Δ 的正负。

例题 8. 设函数

,求函数 的单调区间。

解析:定义域为 x ? R ,依据题意可知 f ?(x) ? x2 ? 2x ? 3 ,令 f ?(x) ? x2 ? 2x ? 3 ? 0 ,x1 ? ?1, x2 ? 3

9

x

(??, ?1)

f ?(x)

f ?(x) >0

f (x) 单调递增

-1

0

极大值

f

(?1)

?

8 3

(?1, 3)
f ?(x) <0
单调递减

3 0 极小值
f (3) ? ?8

(3, ??)
f ?(x) >0
单调递增

附图:
例题 9.

设函数

,求 在

的最值.

解析:定义域为 x ? R ,依据题意可知 f ?(x) ? x2 ? 2x ? 3,令 f ?(x) ? x2 ? 2x ? 3 ? 0 ,

x1 ? ?1 (舍) x2 ? 3

x

0

(0, 3)

3

(3, 4)

4

f ?(x) f (x) f (0) ? 1

f ?(x) <0
单调递减

0
极小值
f (3) ? ?8

f ?(x) >0
单调递增

f

(4)

?

?

7 3

通过表格可以发现,最大值为 f (0) ? 1,最小值 f (3) ? ?8
【解后反思】:本题主要注意求出 导数值为零点时, x1 ? ?1 不在给定范围。

附图:
变式 7 【2005 高 考北京 文第 19 题改编】 已知函数 该区间上的最小值.
10

,若 在

上的最大值为 20,求它在

解析: 依据题意, f ?(x) ? ?3x2 ? 6x ? 9 , f ?(x) ? 0 , x1 ? ?1, x2 ? 3 (舍)

x

-2

(?2, ?1)

f ?(x)

f ?(x) <0

f (x) f (?2) ? 2 ? a 单调递减

-1 0
f (?1) ? ?5 ? a

(?1, 2)
f ?(x) >0 单调递增

2 f (2) ? 22 ? a

由表可知 f(x)的最大值为 f (2) ? 22 ? a =20,所以 a =-2.f(x)的最小值为 f (?1) ? ?5 ? a =-7.

附图:

变式 8 当

【2012 高 考北京 文第 19 题改编】已知函数



时,若函数

在区间 上的最大值为 ,求 的取值范围。

g(x) ? x3 ? bx 。

解析: 依据题意, h(x) ? f (x) ? g(x) ? x3 ? 3x2 ? 9x ?1 , h?(x) ? 3x2 ? 6x ? 9 , h?(x) ? 0, x1 ? 1, x2 ? ?3

x

(??, ?3)

f ?(x) f ?(x) >0 f (x) 单调递增

-3 0 极大值
f (?3) ? 28

(?3,1)
f ?(x) <0
单调递减

-1 0 极小值
f (?1) ? 12

(?1, 2)
f ?(x) >0
单调递增

2
f (2) ? 3

结合函数单调性可知,要使 h(x) 最大值为 28 ,必须使 k ? ?3 。

【解后反思】: 在解决函数问题时,一定要结合函数的单调区间及极值大致绘出函

数图像(如下图),通过图像一目了然就可以观察出 k ? ?3 。

11

例题 10. 设函数





的满足

恒成立,求 的取值范围。

解析:定义域为 x ? R ,依据题意可知 f ?(x) ? x2 ? 2x ? 3,令 f ?(x) ? x2 ? 2x ? 3 ? 0 ,

x1 ? ?1 (舍) x2 ? 3

x

0

(0, 3)

3

(3, 4)

4

f ?(x) f (x) f (0) ? 1

f ?(x) <0
单调递减

0
极小值
f (3) ? ?8

f ?(x) >0
单调递增

f

(4)

?

?

7 3

通过表格可以发现,最大值为 f (0) ? 1,最小值 f (3) ? ?8

在[0,4]的满足 f (x) ? c 恒成立,必须使 c ? 1.

变式 9 设函数





的满足

恒成立,求 的取值范围。

解析:定义域为 x ? R ,依据题意可知 f ?(x) ? x2 ? 2x ? 3,令 f ?(x) ? x2 ? 2x ? 3 ? 0 ,

x1 ? ?1 (舍) x2 ? 3

x

0

(0, 3)

3

(3, 4)

4

f ?(x)

f ?(x) <0

0

f ?(x) >0

12

f (x) f (0) ? 1

单调递减

极小值
f (3) ? ?8

通过表格可以发现,最大值为 f (0) ? 1,最小值 f (3) ? ?8

单调递增

f

(4)

?

?

7 3

在[0,4]的满足 f (x) ? c 恒成立,必须使 c ? ?8 .

【解后反思】: 此类题目为恒成立问题,可以总结为 f (x) ? c 恒成立,满足 fmin (x) ? c ;

f (x) ? c 恒成立,满足 fmax (x) ? c 。
例题 11. 【2014 高考北京文第 20 题改编】已知函数 的取值范围
方法一:

.若过点

存在 3 条直线与曲线

相切,求

13

方法二:

4x03 ? 6x02 ? 3 ? ?t ,设 g(x) ? 4x3 ? 6x2 ? 3 ,h(x) ? ?t ,则“过点 P(1,t) 存在 3 条直线与曲线 y ? f (x) 相切”等价于“ y ? g(x)与y ? h(x) 图像有三个交点”。g′(x)=12x2-12x=12x(x-1).当 x 变化时, g(x)与 g′(x)的变化情况如下:

x

(-∞,0)

0

(0,1)

1

(1,+∞)

g′(x)



0



0



g(x)

?单调递增

3

单调递减
?

1

单调递增?

所以,g(0)=3 是 g(x)的极大值,g(1)=1 是 g(x)的极小值.

结合图像知,当 y=g(x)与 y ? h(x) 有 3 个不同交点时,有 1<t<3,即-3<t<-1.

故当过点 P(1,t)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切时,t 的取值范围是(-3,-1).

变式 10

(1) 已知函数

(2) 已知函数

(3) 问过点



.若过点

存在 2 条直线与

相切,求 的取值范围;

.若过点

存在 1 条直线与

相切,求 t 的取值范围;



分别存在几条直线与曲线

相切?

答案:(具体过程,结合例题 5,同学们自己思考)

(1)t=-3,t=-1 (2)t>-1 或 t<-3

(3)过点 A(-1,2)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切;

过点 B(2,10)存在 2 条直线与曲线 y=f(x)相切;

过点 C(0,2)存在 1 条直线与曲线 y=f(x)相切.

【解后反思】: 解法一是高考标准答案,解法二,运用分离参数法思想,分解成两

个函数,一个是三次函数且不含参数,一个是常见的常函数,结合函数图像(如图)

即可求解。

14

变式 11 已知函数



处有极值.

(Ⅰ)求函数 (Ⅱ)若函数

的单调区间;

在区间

上有且仅有一个零点,求 的取值范围。

解: (Ⅰ) f ?(x) ? x2 ? 2ax 由题意知: f ?(?2) ? 4 ? 4a ? 0 ,得 a=-1,

∴ f ?(x) ? x2 ? 2x ,令 f ?(x) ? 0 ,得 x<-2 或 x>0,

令 f ?(x) ? 0 ,得-2<x<0,

∴f(x)的单调递增区间是(-?,-2)和(0,+?),单调递减区间是(-2,0)。

(Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)知,f(x)=

1 3

x3

?

x2

?

b



f(-2)=

4 3

?

b

为函数

f(x)极大值,f(0)=b

为极小值。

∵函数 f(x)在区间[-3,3]上有且仅有一个零点,



? ? ?

f f

(?3) ? 0 (0) ? 0



? ? ?

f f

(3) ? 0 (?2) ?

0



? ? ?

f f

(?3) ? (3) ? 0

0



? ? ?

f f

(?2) (3) ?

? 0

0



? ? ?

f f

(?3) ? 0 (0) ? 0



即 ?????1438??bb??00

,∴

?18

?

b

?

?

4 3

,即

b

的取值范围是

[?18,

?

43 )



解法二:由(Ⅰ)知,f(x)=

1 3

x3

?

x2

?

b

,令

1 3

x3

?

x2

?

b

=0,

h(

x)

?

1 3

x3

?

x2



g(x)

?

?b

,(以下略解)求



h(x)

?

1 3

x3

?

x2

在[-3,3]的最值与单调区间,结合函数图像即可求解。

15

附图:

例题 12. 设

.若函数 在区间 内单调递减,求 的取值范围。

【解析】 f ?? x? ? 3x2 ? 3?a ?1? x ? 3a ? 3? x ?1?? x ? a? ∵函数 f ? x? 在区间 ?1 , 4? 内单调递减, ∵ f ?(4) ≤ 0 ,∴ a ??4 , ? ?? .

变式 12 已知函数 围.
解析

.若函数 在区间

上单调递增,求实数 的取值范

由于 m ? 0 , f ?(x) , f (x) 的变化情况如下表:

x

(??,?3m) ? 3m (?3m, m) m (m,??)

f '(x)

+

0



0

+

f (x)

单调增 极大值 单调减

极小 单调增 值

所以函数 f (x) 的单调递增区间是 (??, ?3m) 和 (m, ??) .

16

例题 13. 已知函数

,当 时,若函数 在区间

上不单调,求 的取值范围.

解析:因为函数 f (x) 在区间 (?1,1) 不单调,所以函数 f ?(x) 在 (?1,1) 上存在零点.而 f ?(x) ? 0 的两根为 a ?1 , a ?1 , 区 间 长 为 2 , ∴ 在 区 间 (?1,1) 上 不 可 能 有 2 个 零 点 . 所 以 f ?(?1) f ?(1) ? 0 , 即 a2 (a ? 2)(a ? 2) ? 0 .∵ a2 ? 0 ,∴ (a ? 2)(a ? 2) ? 0, ? 2 ? a ? 2 又∵ a ? 0 ,∴ a ? (?2, 0) ? (0, 2)

例题 14. 已知函数
解析:

,若函数 在区间

上存在单调递增区间,求 的取值范围;

?

f

(x)



(

2 3

,??)

上存在单调递增区间

例题 15. 已知函数

,求 在区间

上的最小值.

解:方程 f ?(x) ? 0 的判别式 ? ? 8a ? 0 ,



f ?(x) ? 0 ,得 x1 ? 1?

2a 2

,或

x2

?1?

2a . 2

f (x) 和 f ?(x) 的情况如下:

x

(??, x1)

x1

(x1, x2 )

x2

f ?(x)

?

0

?

0

f (x)





(x2 , ? ?)
? ↗

17

故 f (x) 的单调增区间为 (??, 1?

2a 2

)



(1

?

2a 2

,

??

)

;单调减区间为

(1

?

2a 2

,1

?

2a ) . 2

① 当 0 ? a ? 2 时, x2 ? 2 ,此时 f (x) 在区间 (2, 3) 上单调递增,

所以

f

(x)

在区间[2,3] 上的最小值是

f

(2)

?

7 3

?

2a



② 当 2 ? a ? 8 时, x1 ? 2 ? x2 ? 3 ,此时 f (x) 在区间 (2, x2 ) 上单调递减,在区间 (x2 , 3) 上单调递增,

所以 f (x) 在区间[2,3] 上的最小值是

f (x2 ) ?

5 3

?

a

?

a

2a 3



③ 当 a ? 8 时, x1 ? 2 ? 3 ? x2 ,此时 f (x) 在区间 (2, 3) 上单调递减,

所以 f (x) 在区间[2,3] 上的最小值是 f (3) ? 7 ? 3a .

综上,当 0

?

a

?

2

时,

f

(x)

在区间[2, 3] 上的最小值是

7 3

?

2a

;当

2

?

a

?

8 时,

f

(x)

在区间[2, 3] 上的最小

值是

5 3

?

a

?

a

2a 3

;当 a ? 8 时,

f (x) 在区间[2,3] 上的最小值是 7 ? 3a .

18

含参数三次函数题型分析

【题型 1】含参三次函数单调性问题

例一 (08 全国 文 21 )

已知函数 f(x)=x3+a x2+x+1,a?R.

(Ⅰ)讨论函数 f(x)的单调区间;

(Ⅱ)设函数

f(x)在区间(-

2 3

,

?

1 3

)内是减函数,求

a

的取值范围.

解 法 分 析 : 对 于 问 题 ( Ⅰ ) 我 们 往 往 采 用 的 解 题 思 路 是 : 求 函 数 f (x) ? ax3 ? bx 2 ? cx ? d 的 导 数 为
f ?(x) ? 3ax 2 ? 2bx ? c 然后往往按以下步骤进行讨论分析。
(1) 讨论导数二次项系数是否为零
(2) 讨论导数判别式 ? (3) ? ? 0 则原函数为单调增(减)函数 (4) ? ? 0 求导函数等于 0 时的根,并比较根的大小
(5) 结合到导函数图象,得出三次函数单调性

下面我们按照这个思路解决一下
f (x) ? x3 ? ax2 ?x ? 1 则 f ?(x) ? 3x 2 ? 2ax ? 1
(1)讨论导数二次项系数是否为零
(2)讨论判别式 ? ? = 4a 2 ?12 (3) ? ? 0 ,则原函数为单调增(减)函数 即 ? ? 0 时, ? 3 ? a ? 3 , f ?(x) ? 0 恒成立,则 f (x) 为单调增函数,单调增区间为 (??,??)

(4) ? ? 0 求导函数等于 0 时的根,并比较根的大小 ? ? 0 时, a ? 3 或 a ? ? 3 时, f ?(x) ? 0 存在零解,

此时 x1

?

?a?

a2 3

?3

x2

?

?a?

a2 3

?3

显然 x2 ? x1 ,

(5)结合到导函数图象,得出三次函数单调性
所以此时函数 f (x) 的单调递增区间为
19

(??, ? a ?

a2 3

?3)

和(?a ?

a2 3

? 3 ,??)

单调递减区间为 ( ? a ? a 2 ? 3 , ? a ? a 2 ? 3 )

3

3

对于问题(Ⅱ)设函数

f(x)在区间(-

2 3

,

?

1 3

)内是减函数,求

a

的取值范围.

往往转化为二次函数不等式问题,采用根的分布数形结合、主参分离求最值、求根公式三种方法解决。

f(x)在区间(-

2 3

,?

1 3

)内是减函数,则

f

?( x)

?

3x 2

?

2ax

?1?

0对

x

? (?

2 3

,?

13) 恒成立。

方法一:根的分布,数形结合

由 f ?(x) ? 3x 2 ? 2ax ? 1 ? 0 的两根在区间外则有

? ? ? ? ?

f f

?(? ?(?

2 3 1 3

) )

? ?

0 0

成立,可以解得

a

?

2

方法二:主参分离,求最值

f

?( x)

?

3x 2

?

2ax

?1

?

0



x

?

(?

2 3

,?

13) 恒成立。则有

a

?

?

3x2 ?1 2x



a

?

(?

3x 2 2

? x

1)

max

,由“对勾函数”

x

?

(?

2 3

,?

13)

(?

3x 2 2

? x

1)

max

?

2 ,则 a

?

2

方法三:求根公式

由 f ?(x) ? 3x 2 ? 2ax ? 1 ? 0 的两根在区间外则有

? ?

?

a

?

?

a2 3

?3

?

?

2 3

??a ? ? ? ?

a2 ?3 3 ??0

?

1 ? 3 可以解得 a

?

2

?

?

20

【题型 2】不等式与恒成立问题

例二(08 安徽文)

设函数

f

(x)

?

a 3

x3

?

3 2

x2

? (a

? 1) x

? 1, 其中a

为实数。

(Ⅰ)已知函数 f (x) 在 x ? 1 处取得极值,求 a 的值;

(Ⅱ)已知不等式 f ' (x) ? x2 ? x ? a ?1 对任意 a ? (0, ??) 都成立,求实数 x 的取值范围。

解法分析:(Ⅰ) f ' (x) ? ax2 ? 3x ? (a ?1) ,由于函数 f (x) 在 x ? 1 时取得极值, 所以 f ' (1) ? 0 即 a ? 3 ? a ?1 ? 0,∴a ? 1

对于问题(Ⅱ)有两种方法:
方法一 转化为关于 a 的函数 g(a) 由题设知: ax2 ? 3x ? (a ?1) ? x2 ? x ? a ?1 对任意 a ? (0, ??) 都成立 即 a(x2 ? 2) ? x2 ? 2x ? 0 对任意 a ? (0, ??) 都成立 设 g(a) ? a(x2 ? 2) ? x2 ? 2x(a ? R) , 则对任意 x ? R , g(a) 为单调递增函数 (a ? R) 所以对任意 a ? (0, ??) , g(a) ? 0 恒成立的充分必要条件是 g(0) ? 0 即 ?x2 ? 2x ? 0 ,∴?2 ? x ? 0
于是 x ? 的取值范围是 x | ?2 ? x ? 0?

方法二 恒成立问题,转化为不等式的最值问题
由题设知: ax2 ? 3x ? (a ?1) ? x2 ? x ? a ?1 对任意 a ? (0, ??) 都成立 即 a(x2 ? 2) ? x2 ? 2x ? 0 对任意 a ? (0, ??) 都成立
21

于是 a

?

x2 ? 2x x2 ? 2

对任意

a ? (0, ??) 都成立,即

x2 ? 2x x2 ? 2

?

0

∴?2 ? x ? 0

于是 x 的取值范围是?x | ?2 ? x ? 0?

【题型 3】三次方程根问题
例三(05 全国)设 a 为实数,函数 f (x) ? x3 ? x 2 ? x ? a 。 (Ⅰ)求 f (x) 的极值;(Ⅱ)当 a 在什么范围内取值时,曲线 y ? f (x)与x 轴仅有一个交点。

解法分析:

对于问题(Ⅰ)易得

f(x)的极大值是 f (?

13)

?

5 27

?

a

,极小值是

f

(1)

?

a

?1

对于问题(Ⅱ)主要方法结合三次函数图象解决

方法一:由三次函数单调性
函数 f (x) ? x3 ? x2 ? x ? a ? (x ? 1)2 (x ? 1) ? a ? 1

由此可知 x 取足够大的正数时,有 f (x) ? 0 ,x 取足够小的负数时有 f (x) ? 0 ,

所以曲线 y ? f (x) 与 x 轴至少有一个交点。

结合 f(x)的单调性可知:



f(x)的极大值

5 27

?

a

?

0 ,即

a

? ( ??,

?

5 27

)

时,它的极小值也小于

0,

因此曲线 y ? f (x) 与 x 轴仅有一个交点,它在 (1, ? ?) 上;

当 f(x)的极小值 a ? 1 ? 0 ,即 a ?(1, ? ?) 时,它的极大值也大于 0,

因此曲线 y ? f (x) 与 x 轴仅有一个交点,它在 (??, ? 13) 上

所以当

a

? ( ??,

?

5 27

)

?(1,

?

?)

时,曲线

y

?

f

(x)



x

轴仅有一个交点。

方法二:将 f ( x) 与 x 轴交点问题转化为函数 g( x) ? x 3 ? x 2 ? x 与函数 y ? ?a 的交点个数问题

22

y=-a

y

5

27

x

-1

易求函数

g( x)

?

x3

?

x2

?

x

的极大值

5 27

极小值-1,当 ?

a

?

5 27

或?

a

?

?1 时函数

g( x)

?

x3

?

x2

?

x

与函



y

?

?a

只有一个交点所以当

a

? ( ??,

?

5 27

)

?(1,

?

?)

时,曲线

y

?

f

(x)



x

轴仅有一个交点。

同学们也可以思考一下,函数 f (x) ? x3 ? x 2 ? x ? a 当 a 在什么范围内取值时,曲线 y ? f (x)与x 轴仅有三个

交点。

【题型 4】三次函数极值点与二次函数零点分布问题

例五(07 全国

22

)

已知函数

f (x) ?

1 3

ax3

?

bx2

?

(2

?

b)

x

?

1

在 x ? x1 处取得极大值,在 x ? x2 处取得极小值,且 0 ? x1 ? 1 ? x2 ? 2 .

(1)证明 a ? 0 ;

(2)若 z=a+2b,求 z 的取值范围。

解法分析:
对于问题一,较容易解决,由函数 f (x) 在 x ? x1 处取得极大值, 在 x ? x2 处取得极小值,知 x1,x2 是 f ?(x) ? 0 的两个根. 所以 f ?(x) ? a(x ? x1)(x ? x2 ) 当 x ? x1 时, f (x) 为增函数, f ?(x) ? 0 ,由 x ? x1 ? 0 , x ? x2 ? 0 得 a ? 0 .

对于问题二,转化为二次函数零点分布问题

? f ?(0) ? 0

在题设下,

0

?

x1

?1

?

x2

?

2

等价于

? ?

f

?(1)

?

0

?? f ?(2) ? 0

?2 ? b ? 0 即 ??a ? 2b ? 2 ? b ? 0 .
??4a ? 4b ? 2 ? b ? 0

23

?2 ? b ? 0 化简得 ??a ? 3b ? 2 ? 0 .
??4a ? 5b ? 2 ? 0

此不等式组表示的区域为平面 aOb 上三条直线: 2 ? b ? 0,a ? 3b ? 2 ? 0,4a ? 5b ? 2 ? 0 .

所围成的

△ABC

的内部,其三个顶点分别为:

A

? ??

74,76

???,B(2,2),C(4,2)



z

在这三点的值依次为

16,6,8 . 7

b

所以

z

的取值范围为

? ??

176 ,8 ???



2

B(2,2)

1

A

? ??

4 7

,6 7

? ??

O

2

C(4,2)

4

a

总之,三次函数是我们高中学习中的一个重要函数,同学们有必要在不断探索、研究中,结合二次函数常 见题型,总结出解决三次函数问题的基本方法、基本技巧。

24


相关文档

三次函数性质总结
三次函数的性质-总结练习精品名师资料.doc
一元三次函数性质总结
二次函数的图像和性质总结
三次函数的性质总结练习
三次函数的性质-总结练习
中考数学函数必考性质总结归纳
函数的基本性质知识点总结
《函数的基本性质》知识总结大全
函数的基本性质知识总结大全
学霸百科
96081543文学网 960815431php网站 960815432jsp网站 960815433小说站 960815434算命网 960815435占卜网 960815436星座网 电脑版 | 学霸百科