【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习 第8章 第3节 圆的方程课后限时自测 理 苏教版

【高考讲坛】 2016 届高考数学一轮复习 第 8 章 第 3 节 圆的方程课 后限时自测 理 苏教版
[A 级 基础达标练] 一、填空题 1.若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4x-3y=0 和 x 轴都相切,则该圆 的标准方程是________. [解析] 设圆心 C(a,b)(a>0,b>0),由题意得 b=1. |4a-3| 又圆心 C 到直线 4x-3y=0 的距离 d= =1, 5 1 解得 a=2 或 a=- (舍). 2 所以该圆的标准方程为(x-2) +(y-1) =1. [答案] (x-2) +(y-1) =1 2.(2014?南京质检)已知点 P(2,1)在圆 C:x +y +ax-2y+b=0 上,点 P 关于直线 x +y-1=0 的对称点也在圆 C 上,则圆 C 的圆心坐标为________. [解析] 因为点 P 关于直线 x+y-1=0 的对称点也在圆上, ∴该直线过圆心,即圆心?- ,1?满足方程 x+y-1=0, ? 2 ? 因此- +1-1=0,解得 a=0,所以圆心坐标为(0,1). 2 [答案] (0,1) 3.已知圆心在直线 y=-4x 上,且圆与直线 l:x+y-1=0 相切于点 P(3,-2),则 该圆的方程是________. [解析] 过切点且与 x+y-1=0 垂直的直线为 y+2=x-3, 与 y=-4x 联立可求得圆 心为(1,-4). ∴半径 r=2 2,∴所求圆的方程为(x-1) +(y+4) =8. [答案] (x-1) +(y+4) =8 4.(2014?江苏常州模拟)已知实数 x,y 满足 x +y -4x+6y+12=0,则|2x-y|的最 小值为________. [解析] x +y -4x+6y+12=0 配方得(x-2) +(y+3) =1,令 x=2+cos α ,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

? a

?

a

y=-3+sin α ,则|2x-y|=|4+2cos α +3-sin α |
=|7- 5sin (α -φ )|≥7- 5(tan φ =2).

1

[答案] 7- 5 8 2 2 2 5.已知圆 x +y +4x-8y+1=0 关于直线 2ax-by+8=0(a>0,b>0)对称,则 + 的

a b

最小值是________. [解析] 由圆的对称性可得,直线 2ax-by+8=0 必过圆心(-2,4),所以 a+b=2.所 8 2 4?a+b? a+b 4b a 以 + = + = + +5≥2

a b

a

b

a

b

4b a 4b a 2 2 ? +5=9,由 = ,则 a =4b ,又由 a+

a

b

a

b

b=2,故当且仅当 a= ,b= 时取等号.
[答案] 9 6.(2014?南京市、盐城市高三模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,若圆 x +(y-1) =4 上存在 A,B 两点关于点 P(1,2)成中心对称,则直线 AB 的方程为________. 2-1 [解析] 由题意得圆心与 P 点连线垂直于 AB,所以 kOP= =1,kAB=-1, 1-0 而直线 AB 过 P 点,所以直线 AB 的方程为 y-2=-(x-1),即 x+y-3=0. [答案] x+y-3=0
? 3? 2 2 2 7.(2014?泰州质检)若 a∈?-2,0,1, ?,且方程 x +y +ax+2ay+2a +a-1=0 4? ?
2 2

4 3

2 3

表示圆,则 a=________. [解析] 要使方程 x +y +ax+2ay+2a +a-1=0 表示圆,则 a +(2a) -4(2a +a- 2 1)>0,解得-2<a< . 3 ∴符合条件的 a 只有一个,a=0. [答案] 0 8. (2014?南京模拟)直线 x-2y-2k=0 与 2x-3y-k=0 的交点在圆 x +y =9 的外部, 则 k 的取值范围是________. [解析] 由?
2 2 2 2 2 2 2 2 2

?x-2y-2k=0, ? ?2x-3y-k=0, ?
2

得?
2

?x=-4k, ? ?y=-3k. ?

∴(-4k) +(-3k) >9,即 25k >9, 3 3 解得 k> 或 k<- . 5 5 3? ?3 ? ? [答案] ?-∞,- ?∪? ,+∞? 5 5

?

? ?

?
2 2 2

二、解答题 9.(2014?连云港调研)已知圆 C 过点 P(1,1),且与圆 M:(x+2) +(y+2) =r (r>0) 关于直线 x+y+2=0 对称.
2

(1)求圆 C 的方程; → → (2)设 Q 为圆 C 上的一个动点,求PQ?MQ的最小值. [解] (1)设圆心 C(a,b),

a-2 b-2 ? ? 2 + 2 +2=0, 由题意得? b+2 ? ?a+2=1,
则圆 C 的方程为 x +y =r , 将点 P 的坐标代入得 r =2, 故圆 C 的方程为 x +y =2. (2)设 Q(x,y),则 x +y =2, →
2 2 2 2 2 2 2 2

解得?

?a=0, ? ?b=0, ?

PQ?MQ=(x-1,y-1)?(x+2,y+2)
=x +y +x+y-4=x+y-2. 令 x= 2cos θ ,y= 2sin θ , → → ∴PQ?MQ=x+y-2= 2(sin θ +cos θ )-2 π? ? =2sin?θ + ?-2, 4? ? → → 所以PQ?MQ的最小值为-4. 10.已知圆的圆心为坐标原点,且经过点(-1, 3). (1)求圆的方程; (2)若直线 l1:x- 3y+b=0 与此圆有且只有一个公共点,求 b 的值; (3)求直线 l2:x- 3y+2 3=0 被此圆截得的弦长. [解]
2 2 2 2



(1)已知圆心为(0,0),半径 r= ?-1-0? +? 3-0? =2,所以圆的方

2

2

程为 x +y =4. (2)由已知得 l1 与圆相切,则圆心(0,0)到 l1 的距离等于半径 2,即 =±4. |2 3| 2 2 2 2 (3)l2 与圆 x +y =4 相交, 圆心(0,0)到 l2 的距离 d= = 3, 所截弦长 l=2 r -d 2 =2 4-3=2. |b| =2,解得 b 1+3

3

[B 级 能力提升练] 一、填空题 1.(2014?南通模拟)在圆 x +y -2x-6y=0 内,过点 E(0,1)的最长弦和最短弦分别 为 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面积为________. [解析] 圆的标准方程为(x-1) +(y-3) =10,则圆心(1,3),半径 r= 10, 由题意知 AC⊥BD,且|AC|=2 10,|BD|=2 10-5=2 5, 1 所以四边形 ABCD 的面积为 S= |AC|?|BD| 2 1 = ?2 10?2 5=10 2. 2 [答案] 10 2 2.(2014?江苏省连云港市高三第二次调研考试数学试题)在平面直角坐标系 xOy 中, 已知点 P(3,0)在圆 C:x +y -2mx-4y+m -28=0 内,动直线 AB 过点 P 且交圆 C 于 A,B 两点,若△ABC 的面积的最大值为 16,则实数 m 的取值范围为________. [解析] 圆 C 的标准方程为(x-m) +(y-2) =32,首先由点 P 在圆内,则(3-m) +(0 1 2 2 -2) <32,解得 3-2 7<m<3+2 7,又 S△ABC= r sin∠ACB=16sin∠ACB≤16,由题意存在 2 ∠ACB=90°,此时圆心 C 到直线 AB 的距离 d=4,因此总是等价于过 P 点的直线中有一条 与圆心 C 的距离 d 为 4,显然 d≤|CP|,所以 ?m-3? +2 ≥4,解得 m≥3+2 3或 m≤3 -2 3,因此 m 的取值范围是 3-2 7<m≤3-2 3或 3+2 3≤m≤3+2 7. [答案] [3+2 3,3+2 7)∪(3-2 7,3-2 3] 二、解答题
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

? 2? 3.(2014?苏州模拟)已知以点 C?t, ?(t∈R,t≠0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O,A, ?
t?
与 y 轴交于点 O,B,其中 O 为坐标原点. (1)求证:△AOB 的面积为定值; (2)设直线 y=-2x+4 与圆 C 交于点 M,N,若 OM=ON,求圆 C 的方程. [解] 4 + 2. 4 ? 2?2 2 2 2 2 (1)∵圆 C 过原点 O,∴OC =t + 2.∴设圆 C 的方程是(x-t) +?y- ? =t

t

?

t?

t

4 1 1 令 x= 0,得 y1= 0 ,y2 = ;令 y =0 ,得 x1 = 0, x2= 2t.所以 S △AOB = ?OA?OB= t 2 2

?4? ?|2t|?? ?=4,即△AOB 的面积为定值. ?t?
4

(2)法一:∵OM=ON,CM=CN,∴OC 垂直平分线段 MN. 1 1 ∵kMN=-2,∴kOC= ,∴直线 OC 的方程是 y= x. 2 2 2 1 ∴ = t,解得 t=2 或 t=-2. t 2 当 t=2 时,圆心 C 的坐标为(2,1),OC= 5,此时圆心 C 到直线 y=-2x+4 的距离 d = 1 < 5,圆 C 与直线 y=-2x+4 相交于两点; 5 当 t=-2 时,圆心 C 的坐标为(-2,-1),OC= 5,此时圆心 C 到直线 y=-2x+4 的距离 d= 9 > 5,圆 C 与直线 y=-2x+4 不相交,所以 t=-2 不符合题意,舍去. 5
2 2

故圆 C 的方程为(x-2) +(y-1) =5.

5


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