2012届高考数学(文)《优化方案》一轮复习课件:第2章第六节 对数与对数函数(苏教版江苏专用_图文

第六节 对数与对数函数

第 六 节 对 数 与 对 数 函 数

双基研习? 双基研习?面对高考

考点探究?挑战高考 考点探究?

考向瞭望? 考向瞭望?把脉高考

双基研习·面对高考 双基研习·

基础梳理 1.对数的概念 . (1)对数的定义 对数的定义 如果________________,那么就称b是以 是以a为底 如果ab=N(a>0,a≠1) ,那么就称 是以 为底 > , = N的对数,记作 logaN=b ,其中 a 叫做对数 的对数, 的对数 记作_________,其中__叫做对数 的底数, N 叫做真数 叫做真数. 的底数,___叫做真数. (2)两种常见对数 两种常见对数 对数形式 特点 记法 底数为 10 常用对数 底数为___ lgx 底数为 e 自然对数 底数为___ lnx

2.对数的性质、换底公式与运算法则 对数的性质、 对数的性质 ①loga1=__, logaa=1, alogaN=__, =0, ② = , ③ = N, 性质 ④logaaN=N logcN 换底 logbN= (c>0 且 c≠1,b>0 且 = > ≠ , > logcb 公式 b≠1) ≠ 如果 a>0,且 a≠1,M>0,N>0,n > , ≠ , > , > , ∈R,那么: ,那么: 运算 logaM+logaN ②logaM= + 法则 ① loga(MN)=___________, = , N logaM-logaN , - _____________,③logaMn=nlogaM.

思考感悟 1.logax2=2logax是否正确? . 是否正确? 是否正确

提示:不一定正确. 提示:不一定正确.
?2logax (x>0) ) logax =? . ) ) ?2loga(-x) (x<0)
2

3.对数函数的定义、图象与性质 .对数函数的定义、 解析式 定义域 值域 图象 当a>1时,在(0,+∞)上为 增 函数 ,+∞ 上为___函数 > 时 ,+ 上为 单调性 ,+∞ 上为____函数 当0<a<1时,在(0,+∞)上为 减 函数 < < 时 ,+ 上为 ①当a>1时:若x>1,则_____;若x=1, > 时 > , y>0 ; = , y=0 ; = 则_____;若0<x<1,则_____; < < , y<0 ; 函数值 y<0 ; < < 时 > , 分布 ② 当 0< a< 1时 : 若 x> 1, 则 _____; 若 x = =1,则_____;若0<x<1,则____ , y=0 ; < < , y>0 y=logax,(a>0,且a≠1) = , > , ≠ (0,+∞) ,+∞ ,+ (-∞,+∞) - ,+∞

思考感悟 2.对数函数中底数对函数值有何影响? .对数函数中底数对函数值有何影响?

提示:在同一坐标系内分别作出函数 y=lgx,y= 提示: = , = log2x,y=log x,y=log x 的图象,易看出:当 a>1 , = , = 的图象,易看出:
1 2 1 10

时,底数越大,函数图象在第一象限越靠近 x 轴; 底数越大, 同样地,当 0<a<1 时,底数越小,函数图象在第 同样地, < < 底数越小, 一象限越靠近 y 轴, 函数 y=logax 与 y=log x(a>0, = = > ,
1 a

a≠1)的图象关于 x 轴对称. ≠ 的图象关于 轴对称.

课前热身 1.log8 9·log2732=________. . =

解 析 : log89·log27 2log23 5 10 · = . 3 3log23 9
10 答案: 答案: 9

log29 log232 32 = · = log28 log227

2.设P=log23,Q=log32,R=log2(log32),则 . = , = , = , 从小到大排列为____________. 把P、Q、R从小到大排列为 、 、 从小到大排列为 . 解析: = 解析:1=log22<P=log23<log24=2, < = < = , 0=log31<Q=log32<log33=1, = < = < = , R=log2(log32)<log21=0, = < = , ∴R<Q<P. < < 答案: < < 答案:R<Q<P

3.(2010年高考浙江卷改编 已知函数 . 年高考浙江卷改编)已知函数 年高考浙江卷改编 已知函数f(x)= = log2(x+1),若f(α)=1,则α=________. + , = , = 答案: 答案:1 4.(2010年高考四川卷改编 函数 =log2x的图 . 年高考四川卷改编)函数 年高考四川卷改编 函数y= 的图 象大致是________. . 象大致是

答案: 答案:③

考点探究· 考点探究·挑战高考

考点突跛 对数式的化简与求值 熟练掌握对数的运算法则、对数恒等式以及 熟练掌握对数的运算法则、 换底公式,善于正用、逆用、 换底公式,善于正用、逆用、变形用这些公 式是解答对数式的化简与求值的关键. 式是解答对数式的化简与求值的关键.

例1

1 32 4 计算: 计算: (1) lg - lg 8+ lg 245; + ; 2 49 3
3

(2)log(2+ )(7-4 3). - .

思路分析】 【 思路分析】 (1)分析真数中的基本因数 2,7, 分析真数中的基本因数 , 故可考虑化成 lg2, lg7,从而求解; , ,从而求解; 化成(2- 的形式. (2)把 (7-4 3)化成 - 3)n 的形式. 把 - 化成

1 4 1 原式= 【 解】 (1)原式= (lg32-lg49)- lg8 + lg245 原式 - - 2 3 2 1 4 3 1 = (5lg2-2lg7)- × lg2+ (2lg7+lg5) - - + + 2 3 2 2 5 1 = lg2-lg7-2lg2+lg7+ lg5 - - + + 2 2 1 1 1 1 1 = lg2+ lg5= lg(2×5)= lg10= . + = × = = 2 2 2 2 2 (2)log(2+ )(7-4 3)=log(2+ )(2- 3)2 - = - 1 =-2. = 2log(2+ )(2- 3)=2log(2+ ) - = =- 2+ 3 +
1 2
3 3 3 3

n 名师点评】 【 名师点评 】 (1)利用换底公式及 loga N = 利用换底公式及 m logaN,尽量地转化为同底的和 、差、积、商运 ,尽量地转化为同底的和、 算; (2)利用对数的运算法则, 将对数的和、 差、倍 利用对数的运算法则, 利用对数的运算法则 将对数的和、 数运算,转化为对数真数的积、 数运算,转化为对数真数的积、商、 幂; (3)利用约分、 合并同类项,尽量求出具体值. 利用约分、 利用约分 合并同类项,尽量求出具体值.
m n

对数函数的图象与性质 研究对数型函数的图象时, 研究对数型函数的图象时,一般从最基本的对数函 数的图象入手,通过平移、伸缩、 数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得 特别地,要注意底数a> 或 < < 的两种不 到.特别地,要注意底数 >1或0<a<1的两种不 同情况.有些看似复杂的问题, 同情况.有些看似复杂的问题,借助于函数图象来 解决,就显得简单了, 解决,就显得简单了,这也是数形结合思想的重要 体现. 体现. 利用对数函数的性质, 利用对数函数的性质,求与对数函数有关的复合函 数的值域和单调性问题,必须弄清三方面的问题: 数的值域和单调性问题,必须弄清三方面的问题: 一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论; 一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二 是底数与1的大小关系 三是复合函数的构成, 的大小关系; 是底数与 的大小关系;三是复合函数的构成,即 它是由哪些基本初等函数复合而成的. 它是由哪些基本初等函数复合而成的.

例2 (2011年苏、锡、常、镇四市高三调研 年苏、 镇四市高三调研) 年苏

已知函数f(x)=|log2x|,正实数 、n满足 <n, = 满足m< , 已知函数 ,正实数m、 满足 在区间[m 上的最大 且f(m)=f(n),若f(x)在区间 2,n]上的最大 = , 在区间 值为2, 值为 ,则n+m=________. + = 【思路分析】 思路分析】 利用对数函数的图象结合性质

判断m、 的关系 的关系. 判断 、n的关系.

解析】 【 解析】

由已知条件可得 m<1<n,且 f(m) < < ,

1 1 = f( )=f(n),即 = n,∴ m2< m<1,函数 f(x) = , , < , m m 在 [m2, n]上的最大值为 f(m2)=2f(m)=2f(n)= n]上的最大值为 )=2f(m)= 2f(n)= 1 5 2log2n=2,解得 n=2,m= , ∴m+n= . = , = , = + = 2 2

5 答案】 【 答案】 2

【名师点评】 名师点评】

本题应画出函数的草图, 本题应画出函数的草图,结合函

数性质解答.观察图象中的特殊点、区域、 数性质解答.观察图象中的特殊点、区域、单调 性等特征,将其转化为代数关系式是关键的一步, 性等特征,将其转化为代数关系式是关键的一步, 在这个过程中要设法利用所需要的有效信息来解 决问题. 决问题.

变式训练1 变式训练

设a=log0.34,b=log43,c=0.3-2, = , = , =

的大小关系是________. 则a,b,c的大小关系是 , , 的大小关系是 . 解析:∵a=log0.34<0,b=log43∈(0,1),c=0.3 解析: = < , = ∈ , =
-2>1, ,

∴a<b<c. < < 答案: < < 答案:a<b<c

对数函数的综合应用 解决对数函数的综合问题时, 解决对数函数的综合问题时,要把对数函数的 定义域、单调性与函数的其他性质 如奇偶性 如奇偶性、 定义域、单调性与函数的其他性质(如奇偶性、 周期性)相结合,同时要特别注意底数不确定时, 周期性 相结合,同时要特别注意底数不确定时, 相结合 要对底数进行分类讨论. 要对底数进行分类讨论.

例3 已知函数 已知函数f(x)=loga(2-ax),是否存在 = - ,

实数a,使函数f(x)在[0,1]上是关于 的减函数, 上是关于x的减函数 实数 ,使函数 在 上是关于 的减函数, 若存在, 的取值范围. 若存在,求a的取值范围. 的取值范围
思路分析】 【 思路分析 】 由已知可知 a>0 且 a≠1, [0,1] > ≠ , 在
?a> 1 ? > 单调递减, . 上 f(x)单调递减,等价于? 单调递减 ?2- a> 0 ? - >

【 解】 ∵ a>0, 且 a≠1,设 u=2- ax, > , ≠ , = - , ∴ u=2-ax 在 [0,1]上是关于 x 的减函数. = - 上是关于 的减函数. 又 f(x)=loga(2-ax)在[0,1]上是关于 x 的减函 = - 在 上是关于 数, 函数, ∴ 函数 y= logau 是关于 u 的增 函数 , 且对 = x∈[0,1]时, ∈ 时 u=2- ax 恒为正数. = - 恒为正数. ?a> 1 ? > 其充要条件是? , 即 1<a<2. < < ?2- a> 0 ? - > 的取值范围是(1,2). ∴ a 的取值范围是 .

【名师点评】 名师点评】

(1)求对数型函数的定义域时,真数 求对数型函数的定义域时, 求对数型函数的定义域时

大于0,底数大于 且不等于 且不等于1是对数式有意义的条 大于 ,底数大于0且不等于 是对数式有意义的条 件. (2)求解与对数函数有关的复合函数的单调性的步骤 求解与对数函数有关的复合函数的单调性的步骤 ①确定定义域; 确定定义域; ②弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的,将 弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的, 复合函数分解成基本初等函数y= 复合函数分解成基本初等函数 =f(u),u=g(x); , = ;

③分别确定这两个函数的单调区间; 分别确定这两个函数的单调区间; ④若这两个函数同增同减时,则y=f(g(x))为增函 若这两个函数同增同减时, = 为增函 为减函数, 数,若一增一减,则y=f(g(x))为减函数,即“同 若一增一减, = 为减函数 同 增异减”. 增异减 . (3)与对数函数有关的函数最值 值域 的常用求法 与对数函数有关的函数最值(值域 与对数函数有关的函数最值 值域)的常用求法 除图象法外还有单调性法、换元法、 除图象法外还有单调性法、换元法、基本不等式 法、导数法. 导数法.

变式训练 2 已知函数 f(x)=loga(ax- x)(a> = - > 0,a≠1). , ≠ . (1)求函数 f(x)的定义域; 的定义域; 求函数 的定义域 (2)若 a= 2,试根据单调性的定义确定函数 f(x) 若 = , 的单调性. 的单调性.
解 :(1)由 ax- x>0,得 x<ax, 由 - > , < , ?x≥0, ? ≥ , 1 ∵ a> 0,x≥0,∴? > , ≥ , > 2 2 ? x> a 2, ?x< a x ? < 1 的定义域是( ∴ f(x)的定义域是 2,+∞ ). 的定义域是 ,+∞ . a

(2)若 a= 2,则 f(x)=log2(2x- x). 若 = , = - . 1 设 x1>x2> , 则 (2x1- x1)-(2x2- x2)=2(x1 - = 4 - x2)- ( x1- x2)= ( x1- x2)[2( x1+ x2 ) - = - 1]>0, > , ∴ f(x1)> f(x2),故 f(x)为增函数. > , 为增函数. 为增函数

方法感悟 方法技巧 1.比较两个对数大小的基本方法是构造相应的对 . 数函数,若底数不相同时, 数函数,若底数不相同时,可运用换底公式化为同 底数的对数,还要注意与0比较或与 比较. 比较或与1比较 底数的对数,还要注意与 比较或与 比较. 2.把原函数变量代换为二次函数,然后用配方法 .把原函数变量代换为二次函数, 求指定区间上的最值是求对数函数的常见题型. 求指定区间上的最值是求对数函数的常见题型.在 给定条件下,求字母的取值范围也较常见, 给定条件下,求字母的取值范围也较常见,尤其是 与对数函数结合在一起的高考试题更是屡见不鲜. 与对数函数结合在一起的高考试题更是屡见不鲜. 3.对数函数结合有关的函数性质命题,常常与单 .对数函数结合有关的函数性质命题, 调性、图象有关,因而数形结合法是常用的方法. 调性、图象有关,因而数形结合法是常用的方法.

失误防范 1.由于对数的真数大于 ,因而解与对数函数有 .由于对数的真数大于0, 关的问题,要考虑到真数大于0这一限制条件 这一限制条件. 关的问题,要考虑到真数大于 这一限制条件. 2.在将对数方程化为代数方程的过程中,未知数 .在将对数方程化为代数方程的过程中, 范围扩大或缩小就容易产生增根或失根, 范围扩大或缩小就容易产生增根或失根,因此解 对数方程要注意验根. 对数方程要注意验根. 3.含参数的指数、对数方程在求解时,注意将原 .含参数的指数、对数方程在求解时, 方程等价转化为某个混合组, 方程等价转化为某个混合组,并注意在等价转化 的原则下化简、求解,并对参数进行分类讨论. 的原则下化简、求解,并对参数进行分类讨论.

考向瞭望· 考向瞭望·把脉高考

考情分析 本节内容属于高考必考内容, 本节内容属于高考必考内容,主要考查对数函数 的基础知识,以对数的运算法则为依据, 的基础知识,以对数的运算法则为依据,考查对 数运算,求函数值, 数运算,求函数值,对数式与指数式的互化等知 以考查对数函数的单调性为目的, 识;以考查对数函数的单调性为目的,如比较函 数值的大小,解简单的对数不等式等, 数值的大小,解简单的对数不等式等,如2009年 年 高考江苏卷第11题 高考江苏卷第 题.对数函数还往往作为考查其 他章节知识的载体,如与导数结合等. 他章节知识的载体,如与导数结合等. 预测在2012年的江苏高考中,对数函数的考查仍 年的江苏高考中, 预测在 年的江苏高考中 然会是热点. 然会是热点.

真题透析 (2009年高考江苏卷 已知集合 = 年高考江苏卷)已知集合 年高考江苏卷 已知集合A= {x|log2x≤2},B=(-∞,a),若A?B,则实数a的 , =- , , ? ,则实数 的 取值范围是(c,+ ,+∞),其中c= 取值范围是 ,+ ,其中 =________. 解析】 由已知条件可得A= 【解析】 由已知条件可得 ={x|log2x≤2}= = (0,4],B=(-∞,a), (0,4],B=(-∞,a),若A?B,则a>4,即得c ?B, a>4,即得c =4. 【答案】 4 答案】 名师点评】 解与对数函数有关的问题, 【名师点评】 解与对数函数有关的问题,须 考虑对数自身的要求,如真数、底数等, 考虑对数自身的要求,如真数、底数等,与对 数函数相结合的问题,要注意变化的等价性, 数函数相结合的问题,要注意变化的等价性, 自变量x的范围要把握准确 的范围要把握准确. 自变量 的范围要把握准确.


名师预测 1.设a>1,且m=loga(a2+1),n=loga(a-1), . > , = , = - , p=loga(2a),则m、n、p的大小关系为 = , 、 、 的大小关系为 ________. . 解析: 解析:令a=2,则m=log25>2,n=log21=0,p = , = > , = = , =log24=2. = 答案: > > 答案:m>p>n

1x 2.已知函数 f(x)满足:当 x≥4 时, f(x)= ( ) ; 满足: . 满足 ≥ = 2 当 x< 4 时 , f(x)=f(x+ 1),则 f(2+ log23)= < = + , + = ________.
解析: 解析 : ∵ 2< 3<4= 22, ∴ 1< log23< 2.∴3< 2+ < < = < < ∴ < + log23<4, 3<4, ∴ f(2 + log23) = f(3 + log23) = f(log28 + log23) = 1 1 log 24 - log 24 log f(log224)=( ) = =2 2 =2 = . 24 2
1

2

2 24

1 答案: 答案: 24

3.已知函数f(x)=loga|x|在(0,+ 上单调递增, .已知函数 ,+∞)上单调递增 = 在 ,+ 上单调递增, 的大小关系为________. 则f(-2)、f(1)、f(3)的大小关系为 - 、 、 的大小关系为 . 解析:因为 ,+∞)上单调递增 解析:因为f(x)=loga|x|在(0,+ 上单调递增, = 在 ,+ 上单调递增, 所以a>1,f(1)<f(2)<f(3).又函数 所以 > , < < .又函数f(x)=loga|x|为 = 为 偶函数,所以 偶函数,所以f(2)=f(-2),所以 = - ,所以f(1)<f(-2)< < - < f(3). . 答案: 答案:f(1)<f(-2)<f(3) < - <

2 4.设 f(x)= lg( 是奇函数, . = + a)是奇函数 ,则使 f(x)<0 是奇函数 < 1-x - 的取值范围是________. 的 x 的取值范围是 . 解析: 是奇函数, =-1, 解析:∵ f(x)是奇函数,∴ f(0)= 0,∴a=- , 是奇函数 = , =- x+1 + ∴ f(x)= lg = , 1-x -
x+1 + 由 f(x)<0, 得 0< < , < < 1,∴ -1< x<0. , < < 1-x -

答案: - 答案:(-1,0)

温馨提示:巩固复习效果,检验教学成果。 温馨提示:巩固复习效果,检验教学成果。请 课时闯关·决战高考 进入“课时闯关 决战高考(9)”, 进入“课时闯关·决战高考(9)”,指导学生每课一 练,成功提升成绩. 成功提升成绩

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