余弦定理1

数学 13 版讲练通第二章第 1 节第 2 课时

1.2 余弦定理

【教学方案?设计】 (教师独具)
一、课时分析 12 版北师必修五讲练通教用P82 教学方案 1. 余弦定理是解决有关斜三角形问题以及应用问题的 又一重要定理, 它也是将三角形的边和角有机地联系起 来, 实现了“边”与“角”的互化, 从而使“三角”与“几 何” 产生联系, 为求与三角形有关的量提供了理论依据, 同时也为判断三角形形状, 证明三角形中的有关等式提 供了重要依据. 2. 教材利用向量方法证明了余弦定理. 直接运用它可解 决已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边 求角的问题. 它是解决有关斜三角形问题的两个重要定 理之一, 也是初中 “勾股定理暠内容的直接延拓. 它是三 角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运 用, 余弦定理及其推论还经常与平面向量、立体几何、 解析几何等其他知识综合应用, 在解决与三角形有关 的问题时很方便、灵活, 也是解决可转化为三角形计算 问题的其他数学问题及生产、 生活中实际问题的重要工 具, 因此具有广泛的应用价值. 本课重点: 余弦定理的发现和证明过程及其基本应用. 本课难点: 余弦定理与三角函数、三角恒等变换、正弦 定理等知识的综合应用. 二、教学建议 1. 关于余弦定理的教学 建议教师首先引导学生在实践中进行积极地思考, 学会 面对新的情境, 提出新的问题. 由于正弦定理不方便解 决已知一个三角形的两边及其夹角, 求其他的边和角的 问题, 从而启发学生根据所面临的问题去探求新的解决 方法. 对于余弦定理的证明, 建议教师要充分展示向量 方法在解决几何问题时的优越性. 对于余弦定理的理解, 建议教师一方面引导学生根据公式的结构形式记忆公 式, 另一方面, 让学生明确余弦定理的功能是实现 “边角 互化暠, 是计算三角形中的角或边的有力工具. 2. 关于余弦定理应用的教学 建议教师结合余弦定理及其变形, 把待解决的问题细化, 引导学生通过分析与相互交流, 自主地总结出余弦定理, 可以解决以下两类问题:(1) 已知三边, 求各角;(2) 已知 两边和它们的夹角, 求第三边和其他两个角. 然后通过 问题的解决, 让学生真正体会到余弦定理在边角互化过 程中的作用, 以提高分析问题、解决问题的能力. ( 2 )

【课前感知?预习】
【目标导航】 1. 掌握余弦定理, 并会初步运用余弦定理解斜三角形. 2. 理解用向量法证明余弦定理的过程, 逐步学会用向量 法解决具体问题. 3. 通过发现和证明余弦定理的过程, 培养观察、分析、 归纳、猜想、抽象概括等逻辑思维能力. 【自主学习】 余弦定理 1. 文字表述: 三角形任何一边的平方等于其他两边平方 的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。 2. 数学表达式:

a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A b2 ? c2 ? a2 ? 2ca cos B c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C
3. 公式变形:

b2 ? c 2 ? a 2 2bc 2 a ? c 2 ? b2 cos B ? 2ac 2 a ? b2 ? c 2 cos C ? 2ab cos A ?
【轻松判断】 (正确的打“√” ,错误的打“?” ) (1 )勾股定理符合余弦定理。 ( ) (2 )三角形 ABC 中, a
2 2

? ( AB ? CA)

。 (



(3 ) 根据余弦定理, 已知三角形的三边可以求三个角, 同样已知三个角也可以求三边。 ( ) 【提示】 : (1 )根据余弦定理,当三角形为直角三角形时,若角 A 为直角,因为 cos90° =0 ,所以 a
2

? b2 ? c2 ,因此勾
2

股定理是余弦定理的特例。所以该说法是正确的。

( AB ? CA) ? AB ? 2 AB CA ? CA ? c 2 ? 2cb cos A ? b ,
2
2

2

2



a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ,故 a2 ? ( AB ? CA) ,所
以该说法是错误的。 (3 ) 根据余弦定理, 已知三角形的三边可以求三个角, 但是已知三个角无法确定三边的长度,因为三个角对应

编校人员:

1

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相等的三角形有无数多个。所以该说法是错误的。 答案: (1 )√ (2 )x (3 )x

c =a +b -2abcos C.

2

2

2

【课堂导学·探究】
主题 1 应用余弦定理解三角形
【合作探究】 阅读材料,探究下列问题: 隧道工程设计,经常要测算山脚的长度,工程 技术人员先在地面上选一适当的位置 A ,量出 A 到山 脚 B 、C 的距离,再利用经纬仪测出 A 对山脚 BC (即 线段 BC )的张角,最后通过计算求出山脚的长度 BC 。

【特别提醒】余弦定理的关注点: 1. 适用范围:对任意三角形,三个等式都成立。 2. 结构特征: “平方” , “夹角” , “余弦” 。 3. 定理特例:当夹角为 90° 时(例如∠C=90° ) ,则定理 2 2 2 变为 c =a +b ,这就是直角三角形的勾股定理。
【典题训练】(建议教师以第 2 题为例重点讲解) 1. 在△ABC 中, 已知 a=5 , b=4 , ∠C =120°, 则 c= 2. 已知在 Δ ABC 中, a ? 2, b ? 2

.

2, c ? 6 ? 2, 求

角 A,B,C 。 【解题指南】 1. 应用余弦定理直接代入求解。 2. 应用余弦定理的变式,先求出角 A ,角 B ,再由三角 形内角和求角 C 。 【解析】1. 解题流程:

赋值

a=5 , b=4 , ∠C =120°

代入

c2 ? 52 ? 42 ? 2 ? 5 ? 4 ? cos120?
1 c ? 52 ? 42 ? 2?5?4?(? ) ? 61 2
C= 61

计算
1. 材料所提出的问题实质是已知一个三角形的两边及 其夹角,求另一边,这个三角形是否唯一确定?能否用 正弦定理来求解这个三角形? 提示:这个三角形是唯一确定的,由于找不出一条边及 其对角都是已知的, 因此无法直接应用正弦定理来解决。 2. 若已知角 A 为直角,显然可以用勾股定理来求解,假 设角 A 为三角形的锐角角,请构造直角三角形求出 BC 边。 提示:如图,过 C 作 CD ⊥AB, 垂 足为 D, 则在 Rt △CDB 中, 根据勾 2 2 2 股定理可得 a =CD +BD ∵在 Rt△ADC 中,CD =b -AD
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

结论

2.

由余弦定理,得 c o s A?

b2 ? c 2 ? a 2 2bc

?2 2 ? ? ? ?
2

6? 2

2? 2 2 ?

?

?

2

? 22

6? 2

?

?

3 2

又∵BD =(c-AD) =c -2c ?AD+AD
2

同理, cos B ?

∴a =b -AD +c -2c ?AD+AD =b +c -2c 又∵在 Rt△ADC 中,AD=b ?c ∴a =b +c 【知识拓展】想一想:你能用坐标法证明余弦定理吗? 提示:建立如图所示的坐标系,则 A(0 ,0) ,B ( c , 0) , C(bcos A ,bsin A) . 由两点间距离公式得: 2 2 2 BC =b cos A -2bccos A + 2 2 2 c +b sin A 2 2 2 即 a =b +c -2bccos A. 2 2 2 同理可证:b =a +c - 2accos B ,
2 2 2

2 ? A ? 30? , B ? 45? , C ? 105? 2

【变式训练】 已知在 Δ ABC 中,b=3,c=3 3 ,B=30° ,求 A,C 和 a. 【解题指南】先由余弦定理列出关于边长 a 的方程,解 出边长 a ,再由正弦定理求角 A ,角 C 。 2 2 2 【解析】由余弦定理 b =a +c -2accos B ,得

32 ? a2 ? (3 3)2 ? 2a ? 3 3 ? cos30?, , ?a2 ? 9a ? 18 ? 0, 解得 a=3 或 6 ,当 a=3 时,A=3 0 °
∴ B=120° . 当 a=6 时,由正弦定理得

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2

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sin A ?

a sin B ? b

6? 3

1 2 ? 1. ∴ A=90° ,∴ C=60° .

【知识拓展】已知 a,b,A ,利用余弦定理判断三角形解 的个数: (1 )利用余弦定理a =b +c -2bccosA, 化为c 的一元二 次方程:c -(2bcosA)c+b -a =0; (2 )由判别式 ?=[-(2bcosA)] -4(b -a )=4a -4b sin A 的正、负判断方程是否有解 (3 )由根c(c>0) 的个数判断三角形解的个数. 【典题训练】(建议教师以第 2 题为例重点讲解) 1. 在△ABC 中,acos A +bcos B =ccos C ,则 ?ABC 一 定是 (A )直角三角形 ( ) (B )钝角三角形
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

【规律总结】 已知三边解三角形的方法: (1 )由余弦定理的变式求三内角的余弦值,再确定角 的大小。 (2 )由余弦定理的变式求出最长边所对角的余弦值, 确定角的大小,然后用正弦定理求第二个角,再用三角 形内角和求出第三角。

主题 2

三角形形状的判断

【合作探究】 观察下面余弦函数的图像, 探究下列问题:

1. 在三角形中,各内角有怎样的限制? 提示:根据三角形的内角和定理,各内角都应在 0 ° 与 180° 之间,并且最大角应不小于 60 ° . 2. 能否根据三角形的内角的余弦值判断角的范围? 提示:根据余弦函数的图像可知,当角为锐角时,其余 弦值大于零,当角为钝角时,其余弦值小于零,当角为 直角时,余弦值为零。 3. 怎样根据余弦定理区分锐角,钝角或直角?

提示: 由 cos A ?
2 2 2

b2 ? c 2 ? a 2 及问题 2 中所述可知: 2bc

(C )等腰三角形 (D )等边三角形. 2. 在△ABC 中, 若(a-c ? cosB) ? sinB=(b-c ? cosA) ? sinA, 试判断三角形的形状。 【解题指南】 1. 利用余弦定理把边与角的关系转化为边与边的关 系. 2. 由正弦定理和余弦定理把条件中的三角函数转化为 边,然后进行整理化简。 【解析】 2 2 2 b +c - a 1. 选 A, 由余弦 定理 得 cos A = , cos B = 2bc 2 2 2 2 2 2 a +c -b a +b -c , cos C = ,代入已知条件得: 2ac 2ab 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b +c -a a +c -b a +b -c a? +b? -c? =0. 2bc 2ac 2ab 通分整理得: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a (b +c -a ) +b (a +c -b ) +c (c -a -b ) =0. 2 2 2 4 展开整理得(a -b ) =c . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∴a -b =±c ,即 a =b +c 或 b =a +c . 根据勾股定理,知△ABC 是直角三角形. 2. 由正弦定理和余弦定理,得 (a-c ?
a 2 +c 2 ? b 2 2ac
2 2 2

) ? =(b-c ?
2R
2 2 2 2

b

b ? c ? a ? A为直角; b2 ? c2 ? a2 ? A为锐角; b ? c ? a ? A为钝角
2 2 2
2 2 2

b2 ? c 2 ? a 2 )? 2bc
2 2 2

a 2R

,

整理, 得(a +b -c ) ?b =(a +b -c ) ?a . 所以 a +b -c =0 或a =b . 因此 ?ABC 为直角三角形或等腰三角形. 【变式训练】 2 2 2 2 在△ABC 中,若 b sin C+c sin B =2bc ?cos BcosC ,试判断三角形的形状。 【解析】将已知等式变形为 2 2 2 2 b (1 -cos C)+c (1 -cos B)=2bccosBcosC , 由余弦定理得

【特别提醒】三角形形状判断的易错点: (1) 具体化:判断三角形的形状要具体到等边,等腰,等 腰直角,直角等三角形,除非不能作出进一步的判断, 不要仅仅说明是锐角三角形,钝角三角形. (2) 完整化: 对于给定的条件在进行整理得过程中, 要保 持等价,不能丢解,如由 sin2A=sin2B 可得 A=B 或 A+B=π,不可漏掉其中任一种情况。

a 2 ? b2 ? c 2 2 2 a 2 ? c 2 ? b2 2 b ?c ?b ( ) ?c ( ) 2ab 2ac
2 2 2

编校人员

3

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a 2 ? c2 ? b2 a 2 ? b2 ? c 2 即得, ? 2bc ? ? 2ac 2ab [(a 2 ? b 2 ? c 2 ) ? (a 2 ? c 2 ? b2 )]2 b2 ? c 2 ? 4a 2
得 b +c =a , 故△ABC 是直角三角形。 【规律总结】判断三角形形状的方法: (1 )代数法:将给定的条件,利用正弦或余弦定理把 角化为边,利用代数运算求出三边的关系,进而作出判 断。 (2 )三角法:由正弦或余弦定理,将给定的条件中的 边转化为三角函数, 通过恒等变形及三角形内角和定理 得到三个内角的关系,从而判定三角形的形状。
2 2 2

1 在△ABC 中,若

sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ? sin B sin C , 则角 A=
2. 在△ABC 中, ∠A 最大,∠C 最小 , 且 ∠A = 2∠C,a + c = 2b,求次三角形三边之比。 【解题指南】 1. 利用正弦定理将三角函数化为边的关系 式,再由余弦定理求解。 2. 先由正弦定理将角的关系转化为边的关系,结合余弦 定理转化为方程求解。 【解析】 2 2 2 2 2 2 1. 由正弦定理得 a =b +c +bc , 即 b +c -a = -bc ,所以



cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? ? , 故∠A =120°. 2bc 2

主题 3 应用
【合作探究】 探究主线

正弦定理与余弦定理的综合

答案:120° 2. 在△ABC 中,由正弦定理得

正弦定理 余弦定理

角化边 边化角

解三角形

1. 在解三角形中, 三角形的解的情形与初中所学的三角 形全等的判定方法有何联系? 提示: 在判定两个三角形全等时, 如果已知两边及其夹 角对应相等, 或三边对应相等, 或已知两角和一边对应 相等, 则两个三角形全等; 在解三角形中, 上述条件如果 能构成三角形, 则所构成的三角形大小和形状是唯一的, 即解三角形有一解; 在已知两边和其中一边的对角对应 相等的条件下, 不能判定两个三角形全等; 在此种条件 下, 解三角形问题的解的个数也有几种不同情形. 2. 解三角形中用到的数学思想方法有哪些? 提示: (1) 转化与化归思想: 解答时需要把问题不断地向 已知条件转化, 利用已知的公式、性质解答. (2) 方程的思想: 理解题意, 确定题中的已知量和未知量, 寻找到只含有一个未知量的公式, 解方程即可. (3) 整体思想: 解答时常常运用整体思想进行变形、 化简; 例如, 利用余弦定理时,a2+b2-c2 可看作一个整体; 求 面积时两边之积ab 可看作一个整体;a +b -2abcosA 可 以变形为(a+b) -2ab(1+cosA).
2 2 2

a c a sin A sin 2C ? , ? ? ? 2cosC , sin A sin C c sin C sin C a 2 ? b2 ? c 2 a ? cos C ? , 由余弦定理可 cos C ? 2c 2ab , 1 a 2 ? c 2 ? (a ? c) 2 a 4 又 2b ? a ? c,? ? . 整理得 a?c 2c 2a 2 3 3 2 2 3 2a ? 3a c ? 2ac ? 3c ? 0. 解得 a=c, 或 a= 2c.
∵ ∠A > ∠, ∴ a>c, ∴ a=c 不符合题意。当 a= c 时,
3 2

1 5 b ? ( a ? c ) ? c, 2 4 3 5 ? a : b : c ? c : c : c ? 6 : 5 : 4. 2 4 故此三角形三边之比为 6 : 5 : 4.

【互动探究】题 2 中条件不变,求最小角 C 的大小。 【解析】在△ABC 中,由正弦定理得

a c a sin A sin 2C ? , ? ? ? 2cosC , sin A sin C c sin C sin C a 2 ? b2 ? c 2 a ? cos C ? , 由余弦定理可 cos C ? 2c 2ab , 1 a 2 ? c 2 ? (a ? c) 2 a 4 ? . 整理得 又 2b ? a ? c,? a ?c 2c 2a 2 3 2 2 3 2a ? 3a c ? 2ac ? 3c ? 0. 解得 a=c, 或 a= 3 c. 2
∵ ∠A > ∠, ∴ a>c, ∴ a=c 不符合题意。当 a= c 时,
2 3

【典题训练】(建议教师以第 X 题为例重点讲解)

【特别提醒】 三角形中常用基本关系: (1 )在△ABC 中,A>B? a>b? sinA>sinB ; (2) 在△ABC 中,A+B+C=π,

1 5 b ? (a ? c) ? c, 所以 2 4

A? B ? C ? ? ? sin( A ? B) ? sin C , 2 2 2 编校人员 A? B C ? cos . cos(A+B)=-cosC, sin 2 2
π 2

4

(3) 若△ABC 为锐角三角形, 则A +B> ? A > -B
2

π

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3 5 ( c) 2 ? ( c) 2 ? c 2 a ?b ?c 3 4 cos C ? ? 2 ? 3 5 2ab 4 2? c ? c 2 4 3 因此C= arccos . 4
2 2 2

A c
o

O a
o

b C A c b a O C

B

【变式备选】若

sin A : sin B : sin C ? ( 3 ?1) : ( 3 ?1) : 10
求最大的内角。 【解析】

B

3 ?1 ? 3 ? 1 ? 10 , 所以∠C 为最大角, 设 a=( 3 -1)k ,b=( 3 +1)k ,c=10k ,
因为,

cos C ?

a2 ? b2 ? c2 ( 3 ? 1)2 k 2 ? ( 3 ? 1)2 k 2 ? 10k 2 ? 2ab 2( 3 ? 1)( 3 ? 1)k 2

(1 )在 Δ OBC 中,利用射影定理: OBC + CO cos ∠OCB =2Rcos ∠OBC

BC = BO cos ∠

??

1 2

故最大内角 C 为 120°. 【规律总结】解三角形问题的综合性 在解三角形时, 有些较复杂的问题常常需要把正弦定理 和余弦定理交替使用, 同时结合使用三角形的其他性质、 三角恒等变换公式进行化简变形. 具体列举如下: (1 )三角形的有关性质: ①三角形内角和定理,A+B+C=π; ②边角不等关系: 两边之和大于第三边, 两边之差小于 第三边; 大边对大角等; ③三角形的面积公式:S= ah,S= absinC 等.
2 2 1 1

(2 )在Δ OBC 中,利用余弦定理: BC = BO + CO
2 2

2

-2 BO CO cos ∠BOC =4R cos ∠OBC
2 2

∵ ∠OBC 必为锐角



BC =2Rcos ∠OBC
BC a = = sin A sin ?BAC

由上可知:在 Δ ABC 中,

(2 )三角恒等变换公式: ①同角三角函数基本关系式, 如sin A +cos A =1, tanA=
sinA cosA
2 2

2 R cos ?OBC =2R cos ?OBC b c 同理: =2R ; =2R sin B sin C
故可利用射影定理或余弦定理证得正弦定理。

; 另: 先將余弦定理转化如右: cosA =

②诱导公式; ③和、差、倍角公式等. (3 ) 有关三角形的问题, 需要已知三角形的三个元素才 可以求解, 其中在已知条件中, 至少有一个是边长, 才可 以解三角形, 这可以用相似三角形的性质解释: 如果只 是已知三个角, 则三角形的边长是无法确定的, 可以得 到无数个相似的三角形. 【知识拓展】 正弦定理、余弦定理与射影定理:

b2 ? c2 ? a2 ; 2bc

cosB =

a2 ? c2 ? b2 ; 2ac
a2 ? b2 ? c2 2ab

cosC =

O 为Δ ABC 的外接圆圆心,皆得 sin∠BAC=sin(90o -∠OBC)=cos∠OBC 。 A
编校人员

a2 ? b2 ? c2 整理 b cosC +c cosB =b ? +c ? 2ab

c B O a

b C

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a 2 ? c 2 ? b 2 2a 2 = =a 2ac 2a
同理:b =a cosC +c cosA ;c =a cosB +b cosA 故可利用余弦定理证得射影定理。

∴ S = ∵

2 1 ?4 ?5 ? 2 5

6= 4 6.

(4 ? 5 ? 7) ? r ?4 6 , 2

∴ r?

【课堂达标?训练】
1. 在△ ABC 中,若 a=2, b=2, c= 2 3 , 则∠ A 的度数 是 ( ) 45 ° (C) 60 ° (D) 75 ° (A)30 ° (B)

6 . 2 6 . 2

答案:4 6 ;

5. 如图△ABC 中,点 D 在边 BC 上,且 BD = 2 ,

【解析】选 A ,由余弦定理得 cosA=

DC = 1,∠ B= 60° ,∠ ADC = 150° ,求 AC 的 长及△ ABC 的 面积.
【解析】在△ ABC 中,∠ BAD = 150?- 60?= 90?,

b2 ? c 2 ? a 2 2 2 ? (2 3)2 ? 22 3 ? ? , 2bc 2 2? 2? 2 3
所以 A=30 °。 2. 边长为 5 、7 、8 的三角形的最大角与最小角之和 为 ( ) (B) 120 ° (C) 135 ° (D) 150 ° (A)90 °

【解析】选 B ,因为最长边与最短边分别为 8 和 5 ,其所 对角是三角形的最大角与最小角, 设边长为 7 的边所对

∴ AD = 2sin 60? = 3 . 在△ ACD 中,AC2 =( 3 )2 +12 -2? 3 ?1? cos150?= 7, ∴ AC = 7 . ∴ sin60° = AB = 2cos 60°= 1,S△ ABC =

52 ? 82 ? 7 2 1 ? ,即 角为 θ, 根据余弦定理得,cos ? ? 2? 5?8 2
θ = 60° ,所以最大角与最小角之和为 180 °? 60° = 120°.

2? 3. 如图,在△ABC 中,若 b = 1 ,c = 3 ,?C ? , 3 B 则 a= 。
【解析】 由余弦定理得,

1 ?1?3? 2

3
2? 3

3 3. 4

2? a ? 1 ? 2 ? a ?1? cos ?3 3
2 2

C

1

A

【课后巩固?提能】
【考查索引】 考查知识点 及角度
利用余弦定理 求角 利用余弦定理 求边 正、余弦定理 综合

2 ,即 a ? a ? 2 ? 0 ,解得 a ? 1 或 ?2 (舍)

难度及题号 基础
1,3 5 2,4,6 7,8 9,10

错题记 稍难 录空间

答案:1 4. (原创题)若△ABC 的三边长分别为 4 ,5 , 7 , 则△ABC 的面积 ? ? . 【解析】∵ cosA = ∴ sinA= , 内切圆半径

中档

4 2 ? 52 ? 49 1 = - , 2? 4?5 5

一、选择题 1. (2012?蚌埠高一检测) 在△ABC 中, a =3 , b= 7 , c =2 ,那么 B 等于( ) A . 30 ° B .45 C .60 ° D .120 °

2 5

6.

编校人员

6

数学 13 版讲练通第二章第 1 节第 2 课时

【解析】选 C ,由余弦定理得 cosB=

围是(


5 3

a 2 ? c 2 ? b2 32 ? 22 ? ( 7)2 1 ? ? , ∴ B =60 °. 2ac 2 ? 3? 2 2
2 .在△ABC 中,周长为 7.5cm ,且 sinA :sinB :sinC =4 :5 :6, 下列结论: ①a:b:c

A . ( 2,3] B 。[1, ) C. ,3 ) . D . (0,3) 2 2 【解题指南】先由余弦定理表示出最大角的余弦,再根 据角的范围,得出其余弦值的范围,解不等式可得a 的 取值范围。 【解析】选C ,设最大角为C ,则

? 4:5:6

②a:b:c ? 2: ③a

5: 6

? 2cm, b ? 2.5cm, c ? 3cm

④ A : B : C ? 4 : 5 : 6 其中成立的个数是 ( ) A .1 个 B .2 个 C .3 个 D .4 个 【解析】选B ,因为sinA :sinB :sinC =4 :5 :6, 由正弦 定理可知①正确,②不正确,又由周长为7.5cm ,知③ 正确,由余弦定理可知④不正确。 【误区警示】三角形中三角正弦的比不等于三个角的比 , 本题易出现因对正弦定理的错误认识,而误认为④ A : B : C ? 4 : 5 : 6 正确的错误。 3. ( 改编题) 在 ?ABC 中,a, b, c 分别是角 对边, 若

a 2 ? (a ? 1)2 ? (a ? 2)2 a 2 ? 2a ? 3 , cos C ? ? 2 ? a ? (a ? 1) 2a 2 ? 2a 1 又 90? ? C ? 120?,?? ? cos C ? 0 ,即 2 2 1 a ? 2a ? 3 3 ? ? ? 0 ,解得 ? a ? 3 。 2 2 2 2a ? 2a
【变式备选】一钝角三角形的边长为连续自然数,则这 三边长为( ) A 、1 ,2 , 3 B 、2 ,3 ,4 C 、3 ,4 ,5 D 、4 ,5 ,6 【解析】选 B,A 、C 显然不满足,

A, B, C 的


?a ? b ? c??a ? b ? c? ? ab ,则 A ? B =(
B. 90? C. 120?
2 2

22 ? 32 ? 42 1 ? ? , ,所以角 C 是钝角, 2 ? 3? 4 4 2 2 2 4 ?5 ?6 1 ? , ,所以角 C 是锐角, D 中 cos C ? 2? 4?5 8
B中

cos C ?

因此以 4 ,5 ,6 为三边长的三角形是锐角三角形。 二、填空题 6. 在△ABC 中,如果 sin A : sin B : sin C = 2 : 3 : 4 ,那么 cos C 等于 .

A. 60?

D. 150?
2

【解析】选 A , 原式可化为
2 2 2

a + ab + b - c =

0 ,∴ cos C =

a ?b ?c 1 = - , 2ab 2

【解析】因为 sin A : sin B : sin C = a : b :

∴ C =120 °. 所以 A+B= 60?。

c = 2 : 3 : 4 ,所以设 a = 2 k ,b = 3 k ,c = 4k .
cos C = 答案: -

1 2 2 2 4. △ABC 中,若其面积 S = ( a + b - c ) ,则∠C 4
=( A. )

1 a 2 ? b2 ? c 2 4 ? 9 ? 16 = = - . 2ab 4 2? 2?3

1 . 4

π π π C. D. 3 4 6 1 1 2 2 2 【解析】选 C ,由题知 ab sin C = ( a + b - c ) , 2 4
B.

π 2

7. ( 2012 ? 宜昌高一检测)已知△ABC 的一个内角为 120°, 并且三边长构成公差为 4 的等差数列, 则△ ABC 的面积为__________ ; 【解题指南】 设三角形某一边的长为b, 可以用x 表示其 他两边, 再利用余弦定理建立方程求出b, 最后利用三角 形面积公式求出△ABC 的面积. 【解析】 不妨设角 A=120 °,c <b ,则 a =b + 4,c =b b 2 +(b -4)2 -(b + 4)2 1 -4,于是 cos120°= =- ,解得 2b (b -4) 2 1 b =10 ,所以 S = bcsin120°=15 3. 2

a2 ? b2 ? c2 ∴ sin C = = cos C , 2ab π ∴ C = . 4
5. ( 2012 ? 惠 阳 高 一 检 测 ) 钝 角 三 角 形 三 边 长 为

a, a ? 1, a ? 2 ,其最大角不超过 1200 ,则 a 的取值范
编校人员 7

数学 13 版讲练通第二章第 1 节第 2 课时

答案: 15 3 【举一反三】本题中若只知三边 a ,b ,c 成等差数列 , 则∠B 的取值范围是 。 2 2 2 【解析】 ∵ 2b = a + c ,∴ 4b = a + c + 2ac. ∴ cos B =

9. (2012?大田高一检测)已知△ABC 的内角 A 、B 、C 所 对的边分别为 a 、 b 、 c ,且 a (1) 若 b

? 2, cos B ?

3 . 5

a2 ? c2 ? b2 3b 2 = 1 + . 2ac 2 ac
2

? 4 ,求 sin A 的值;

∴ 2b = a + c ≥2 ac . ∴ ac ≤b . ∴ cos B ≥

(2) 若△ABC 的面积 S ?ABC 【解析】

? 4 ,求 b, c 的值.

? π? 3 1 - 1= ,∴ B ∈ ? ? 0, 3 ? . 2 2 ? ? π? ?

答案: ? ? 0, 3 ?

? ?

【规律方法】从方程的角度看待余弦定理 把余弦定理的式子看成是一个有几个未知数的方程, 例 如, 当已知两边a 、b 和角A 求边c 时, 由余弦定理可以 得到一个关于c 的一元二次方程, 在应用余弦定理时, 要善于用方程的观点去看待和运用它. 三、解答题 8 . 12 版人教A 必修五讲练通教用P16T8 【规律方法】常见解三角形问题解题思路. (1 )已知三边解三角形. 一般利用余弦定理的变式, 求 出其中两角的余弦值, 然后求出这两个角, 再由三角形 内角和定理求出第三个角. 由于三角形的三边已定, 所 以三角形的形状、大小完全确定, 因此三角形存在时, 其解是唯一的. (2 ) 已知两边及其夹角解三角形. 利用余弦定理求出第 三边, 问题就转化成(1 )的情况; (3 ) 已知两角及一边解三角形. 先利用三角形内角和定 理求出第三角, 然后利用正弦定理, 求出另外两边; (4 ) 已知两边及其一边的对角解三角形. 首先利用正弦 定理, 求出另一边的对角, 然后利用内角和定理求出第 三角, 再利用正弦定理, 求出第三边. 这时需要注意的是, 在此已知条件下, 可有两解、一解、无解三种情况, 应根 据已知条件判断解的情况, 主要是根据图形或由“大边 对大角”作出判断. 10 . (2012?唐山高一检测)在 ?ABC 中,

1 cos 2 A ? cos 2 A ? cos A . 2 (I )求角 A 的大小;
(II )若 a

? 3 , sin B ? 2sin C ,求 S?ABC .

【解题指南】 (I )由已知条件通过三角变 换求出 角 A , (II )根据正弦定理,得出 b,c 两边的比,再由余弦定 理求出两边,即可求出三角形面积。 【解析】 (I ) 由已知得

? cos A ?

1 ? . 又 ?0 ? A ? ? , ? A ? . 2 3

1 (2 cos 2 A ? 1) ? cos 2 A ? cos A , 2

编校人员

8

数学 13 版讲练通第二章第 1 节第 2 课时

(II ) 由

b n i s B

?

c n i s C

, 可得: 由

sin B b ? ?2 , sin C c

? b ? 2c 。
cos A ?

b 2 ? c 2 ? a 2 4c 2 ? c 2 ? 9 1 ? ? , 2bc 2 4c 2

解得: c ?

3 ,b ? 2 3

S?

1 1 3 3 3 . bc sin A ? ? 2 3 ? 3 ? ? 2 2 2 2

编校人员

9


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