计数原理、概率、随机变量及其分布_图文

第九章

计数原理、概率、随机变量及其分布

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计数原理、概率、随机变量及其分布

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知识点 两个计 数原理 考纲要求 1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理. 2.会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解

决一些简单的实际问题.
1.理解排列、组合的概念. 2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式. 3.能解决简单的实际问题.

排列组 合

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知识点

考纲要求

1.能用计数原理证明二项式定理. 二项式 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单 定理 问题.

随机事 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性, 件的概 了解概率的意义,了解频率与概率的区别. 率 2.了解两个互斥事件的概率加法公式.

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知识点

考纲要求

1.理解古典概型及其概率计算公式. 古典概 2.会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数 型与几 及事件发生的概率. 何概型 3.了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率. 4.了解几何概型的意义.

1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的 离散型 概念,了解分布列对于刻画随机现象的重要性. 随机变 2.理解超几何分布及其导出过程,并能进行简单的 量及其 应用. 分布列、 3.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差 期望与 的概念,能计算简单离散型随机变量的均值、方差, 方差 并能解决一些实际问题.
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知识点

考纲要求

二项分 了解条件概率和两个事件相互独立的概念,理解 布及其 n次独立重复试验的模型及二项分布,并能解决 应用 一些简单的实际问题.

正态分 利用实际问题的直方图,了解正态分布曲线的特
布 点及曲线所表示的意义.

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第1课时 分类加法计数原理与分步
乘法计数原理

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1.分类加法计数原理 完成一件事,可以有n类办法,在第一类办法中有m1种方法, 在第二类办法中有m2种方法,?,在第n类办法中有mn种 m1+m2+?+m n 种 方法,那么,完成这件事共有N=____________________ 方法(也称加法原理).

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2.分步乘法计数原理 完成一件事情需要经过n个步骤,缺一不可,做第一步有m1 种方法,做第二步有m2种方法,?,做第n步有mn种方法, m1×m2×…×mn 那么,完成这件事情共有N=_____________________ 种方 法(也称乘法原理). 温馨提示:分类加法计数原理的特点是独立、互斥;分步乘 法计数原理的特点是关联、连续.解题时经常是两个原理交 叉在一起使用,两个原理综合使用时,一般先分类,再分 步,分类要标准明确,分步要步骤连续.

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1.从 3 名女同学 2 名男同学中选一人,主持本班的“感 恩老师, 感恩父母”主题班会, 则不同的选法种数为( B ) A. 6 C. 3 B. 5 D. 2

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2.从 0,1,2,3,4,5 这六个数字中,任取两个不同数 字相加,其和为偶数的不同取法的种数有 ( D ) A. 30 C. 10 B. 20 D. 6

解析:从 0,1,2,3,4,5 六个数字中,任取两数和为偶 数可分为两类,①取出的两数都是偶数,共有 3 种方法; ②取出的两数都是奇数,共有 3 种方法,故由加法计数原 理得共有 N= 3+ 3= 6(种).

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3.如图所示,使电路接通,开关不同的开闭方式有( C ) A.11种 B.20种

C.21种

D.12种

解析:左边两个开关的开闭方式有22-1=3(种),右边三个 开关的开闭方式有 23 - 1 = 7( 种 ) ,故使电路接通的情况有 3×7=21(种).

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4.有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三条长裤,如果一条

12 长裤与一件上衣配成一套,则不同的配法种数是________ .
解析:由分步乘法计数原理,一条长裤与一件上衣配成一套,

分两步,第一步选上衣有4种选法,第二步选长裤有3种选法,
所以有4×3=12(种)选法.

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5.书架的第1层放有4本不同的语文书,第2层放有5本不同的 数学书,第3层放有6本不同的体育书.从书架上任取1本书, 15 不同的取法数为________ ,从第1,2,3层分别各取1本书,

120 . 不同的取法数为________
解析:由分类加法计数原理,从书架上任取1本不同的取法总 数为4+5+6=15.由分步乘法计数原理,从1,2,3层分别各 取1本不同的取法总数为4×5×6=120.

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分类加法计数原理
(2014· 深圳市调研考试)我们把各位数字之和为 6 的 四位数称为“六合数”(如 2 013 是“六合数” ),则“六合 数”中首位为 2 的“六合数”共有 ( B ) A. 18 个 C. 12 个 B. 15 个 D. 9 个

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[课堂笔记]
[解析 ]依题意,这个四位数的百位数、十位数、个位数之 和为 4.由 4、0、 0 组成 3 个数分别为 400、040、004; 由 3、 1、 0 组成 6 个数分别为 310、 301、 130、 103、 013、 031; 由 2、2、0 组成 3 个数分别为 220、202、022;由 2、1、1 组成 3 个数分别为 211、 121、 112.共计: 3+ 6+ 3+ 3= 15(个).
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分类加法计数原理的两个条件: (1)根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准,然后 在这个标准下进行分类; (2)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类,并且分别 属于不同类的两种方法是不同的方法,只有满足这些条件, 才可以用分类加法计数原理.

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1. (1)从集合 {1, 2, 3,?, 10}中任意选出三个不同的数, 使这三个数成等比数列,这样的等比数列的个数为 ( D ) A. 3 B. 4 C. 6
2 2

D. 8

x y (2)椭圆 + =1 的焦点在 y 轴上,且 m∈ {1,2,3,4,5}, m n 20 n∈{1,2,3,4,5,6,7},则这样的椭圆的个数为 ________ .

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解析: (1)法一:①公比为 2 时,等比数列可为 1, 2, 4; 2, 3 4,8;②公比为 3 时,等比数列可为 1,3,9;③公比为 时, 2 等比数列可为 4,6,9,又 4,2,1 和 8,4,2;9,3,1;9, 6, 4 也是等比数列,共 8 个. 法二:① q>1,分别以 1, 2, 4 为首项的有 1, 2, 4; 1, 3, 9;2,4,8;4,6,9;② 0<q<1 有 4,2,1;9,3,1;8,4, 2; 9, 6, 4,共 8 个. (2)∵焦点在 y 轴上,∴ 0<m< n,依次考虑 m 取 1,2,3,4, 5 时,相应符合条件的 n 值有 6, 5, 4, 3, 2 种,由分类计 数原理知,这样的椭圆的个数为 6+ 5+ 4+ 3+ 2= 20(个 ).
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分步乘法计数原理
已知集合 M= {- 3,- 2,- 1,0,1,2} ,P(a,b)(a, b∈ M)表示平面上的点,则 36 (1)P 可表示平面上 ________ 个不同的点;

6 (2)P 可表示平面上 ________ 个第二象限的点.

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[课堂笔记]
[解析](1)确定平面上的点 P(a, b)可分两步完成: 第一步确定 a 的值,共有 6 种确定方法; 第二步确定 b 的值,也有 6 种确定方法. 根据分步乘法计数原理,得到平面上的点的个数是 6× 6= 36. (2)确定第二象限的点,可分两步完成: 第一步确定 a,由于 a<0,所以有 3 种确定方法; 第二步确定 b,由于 b>0,所以有 2 种确定方法. 由分步乘法计数原理,得到第二象限的点的个数是 3× 2= 6.

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(1)明确题目中的“完成这件事”是什么,确定完成这件事 需要几个步骤,且每步都是独立的. (2)将完成这件事划分成几个步骤来完成,各步骤之间有一 定的连续性,只有当所有步骤都完成了,整个事件才算完 成,这是分步的基础,也是关键.从计数上来看,各步的 方法数的积就是完成事件的方法总数.

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2. (2012· 高考课标全国卷)将 2 名教师,4 名学生分成 2 个 小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小 组由 1 名教师和 2 名学生组成, 不同的安排方案共有 ( A ) A. 12 种 C. 9 种 B. 10 种 D. 8 种

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解析:分两步:第一步,选派一名教师到甲地,另一名到 乙地,共有 C1 2 = 2(种)选派方法; 第二步,选派两名学生到甲地,另外两名到乙地,共有 C2 4 = 6(种)选派方法. 由 分 步 乘 法 计 数 原 理 得 不 同 的 选 派 方 案 共 有 2× 6 = 12(种).

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两个计数原理的综合应用
(2014· 河北石家庄市模拟考试)为举办校园文化节 ,某班推荐2名男生、3名女生参加文艺技能培训,培训项 目及人数分别为:乐器1人,舞蹈2人,演唱2人,每人只参 加一个项目,并且舞蹈和演唱项目必须有女生参加,则不 24 同的推荐方案的种数为________ .(用数字作答)

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[课堂笔记]
[解析]若参加乐器培训的是女生, 则各有 1 名男生及 1 名女生 分别参加舞蹈和演唱培训,共有 3× 2× 2= 12(种)方案;若参 加乐器培训的是男生, 则各有 1 名男生、1 名女生及 2 名女生 分别参加舞蹈和演唱培训,共有 2× 3× 2= 12(种)方案,所以 共有 24 种推荐方案.

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用两个计数原理解决计数问题时 , 关键是明确需要分类还 是分步. (1) 分类要做到“不重不漏” , 分类后再分别对每一类进行

计数,最后用分类加法计数原理求和,得到总数.
(2) 分步要做到“步骤完整” , 只有完成了所有步骤 , 才完 成任务 , 根据分步乘法计数原理 , 把完成每一步的方法数

相乘,得到总数.
(3) 对于复杂问题 , 可同时运用两个计数原理或借助列表、 画图的方法来帮助分析.
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3 .已知集合 M∈{1 ,- 2, 3} , N∈ { - 4 , 5 , 6,- 7} ,从两

个集合中各取一个元素作为点的坐标,则这样的坐标在直角坐 标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是( D )
A.18 C.16 B.10 D.14

解析:M中的元素作点的横坐标,N中的元素作点的纵坐标, 在第一象限的点共有2×2个,在第二象限的点共有1×2个.N 中的元素作点的横坐标,M中的元素作点的纵坐标,在第一象 限的点共有2×2个,在第二象限的点共有2×2个.所求不同的

点的个数是2×2+1×2+2×2+2×2=14(个).
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利用乘法原理求解数学
问题
(2013· 高考山东卷 )用 0, 1,?, 9 十个数字,可以 组成有重复数字的三位数的个数为 ( B ) A. 243 C. 261 B. 252 D. 279

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[解析]

由分步乘法计数原理知:用 0, 1,?, 9 十个数

字组成三位数 (可有重复数字 )的个数为 9× 10× 10= 900, 组成没有重复数字的三位数的个数为 9× 9× 8= 648, 则组 成有重复数字的三位数的个数为 900- 648= 252.

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本考题是由教材人教 A 版选修 2- 3 P10 练习 T“某电话局 2 管辖范围内的电话号码由八位数字组成,其中前四位的数 字是不变的,后四位数字都是 0 到 9 之间的一个数字,那 么这个电话局不同的电话号码最多有多少个?”变换题 背景变式而成.

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1.由 1, 2, 3, 4 组成的没有重复数字的四位数,按从小 到大的顺序排成一个数列{an},其中 a18 等于 ( B ) A. 1 243 C. 4 123 B. 3 421 D. 3 412

解析:先写出以 1开头、 2开头、3开头的各6个数,再按

从小到大的顺序排列.

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94 2. 用 1, 2, ?, 9 九个数字, 可组成的四位数共有 ________ 97 个,可组成的七位数共有 ________ 个. 解析:组成四位数:个位数有9种选法,十位数有9种选法,

百位数也有9种选法,千位数同样有 9种选法,根据分步计
数原理,四位数共有9×9×9×9=94(个).同理,七位数共 有97个.

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