yabo3037com:高中数学第2讲参数方程2.4平摆线和渐开线同步精练北师大版选修4_4-含答案

平摆线和渐开线 1 给出下列说法: ①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程; ②圆的渐开线的参数方程也可以转化为普通方程, 但是转化后的普通方程比较麻烦, 且 不容易看出坐标之间的关系,所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题; ③在求圆的平摆线和渐开线方程时, 如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同, 可能会 得到不同的参数方程; ④圆的渐开线和 x 轴一定有交点而且是唯一的交点. 其中正确的说法有( ). A.①③ B.②④ C.②③ D.①③④ 2 平摆线 ? ? x=2?t ? sint ?, (0≤t≤2π )与直线 y=2 的交点的直角坐标是( ? y =2?1 ? cost ? ). A.(π -2,2) B.(3π +2,2) C.(π -2,2)或(3π +2,2) D.(π -3,5) 3 如图,ABCD 是边长为 1 的正方形,曲线 AEFGH…叫做“正方形的渐开线”,其中 AE, EF,FG,GH…的圆心依次按 B, C, D,A 循环, 它们依次相连接, 则曲线 AEFGH 的长是( ). A.3π B.4π C.5π D.6π 4 我们知道关于直线 y=x 对称的两个函数互为反函数,则圆的平摆线 ? ? x ? r ?? ? sin ? ? , (φ 为参数)关于直线 y=x 对称的曲线的参数方程为( ? y ? r 1 ? cos ? ? ? ? ? ? x =r ?? ? sin? ?, A. ? (φ 为参数) ? y =r ?1 ? cos? ? ? x=r ?1 ? cos? ?, B. ? (φ 为参数) ? y =r ?? ? sin? ? ? x ? rsin? , C. ? (φ 为参数) ? y ? r?1 ? cos? ? ? x ? r ?1 ? cos? ?, D. ? (φ 为参数) ? y ? rsin? 2 2 6 已知圆的方程为 x +y =4,点 P 为其渐开线上一点,对应的参数 ? ? ). 5 半径为 3 的圆的平摆线上某点的纵坐标为 0,那么其横坐标为__________. π ,则点 P 的坐 2 1 标为________. 7 已知平摆线的生成圆的直径为 80 mm,写出平摆线的参数方程,并求其一拱的拱宽和 拱高. 8 已知圆的渐开线 ? ? x ? r ?cos? ? ?sin? ?, (φ 为参数,0≤φ <2π )上有一点的坐标为 ? y ? r ?sin? ? ?cos? ? (3,0),求渐开线对应的基圆的面积. 2 参考答案 1 答案:C 对于一个圆,只要半径确定,渐开线和平摆线的形状就是确定的,但是随 着选择坐标系的不同,其在坐标系中的位置也会不同,相应的参数方程也会有所区别,至于 渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置. 2 答案:C 由 y=2 得 2=2(1-cos t),∴cos t=0. ∵0≤t≤2π ,∴ t = ∴x1= 2 ? π 3 或 π. 2 2 π? ?π ? sin ? =π -2, 2? ?2 3 ? ?3 x2= 2 ? π ? sin π ? =3π +2. 2 ? ?2 ∴交点的直角坐标为(π -2,2)或(3π +2,2). 1 π 圆周长,长度为 ,继续旋 4 2 1 1 3π 转可得 EF 是半径为 2 的 圆周长,长度为 π ; FG 是半径为 3 的 圆周长,长度为 ; 4 4 2 1 GH 是半径为 4 的 圆周长,长度为 2π .所以曲线 AEFGH 的长是 5π . 4 3 答案:C 根据渐开线的定义可知, AE 是半径为 1 的 4 答案:B 关于直线 y=x 对称的函数互为反函数,而求反函数的过程主要体现了 x 与 y 的互换.所以要写出平摆线方程关于直线 y=x 的对称曲线方程,只需把其中的 x 与 y 互换. 5 答案:6kπ (k∈Z) ∵r=3,∴平摆线的参数方程为 ? ? x=3? ? 3sin?, (φ 为参数). ? y =3 ? 3cos? 把 y=0 代入,得 cos φ =1. ∴sin φ =0,∴φ =2kπ (k∈Z). ∴x=3φ -3sin φ =6kπ (k∈Z). 6 答 案 : (π , 2) 由 题 意 , 圆 的 半 径 r = 2 , 其 渐 开 线 的 参 数 方 程 为 ? x=2? cos? ? ?sin? ?, (φ 为参数). ? ? y =2?sin? ? ? cos? ? π 当 ? = 时,x=π ,y=2,故点 P 的坐标为(π ,2). 2 7 答 案 : 解 : ∵ 平 摆 线 的 生 成 圆 的 半 径 r = 40 mm , ∴ 此 平 摆 线 的 参 数 方 程 为 ? x =40?t ? sint ?, (t 为参数), 它一拱的拱宽为 2π r=2π ×40=80π (mm), 拱高为 2r=2×40 ? ? y =40?1 ? cost ? =80(mm). 8 答案:解:把已知点(3,0)代入参数方程得 ? 圆的面积 S=π r =π ×3 =9π . 2 2 ?3=r ?cos? ? ?sin? ?, ?? =0, 解得 ? 所以基 ?0=r ?sin? ? ? cos? ?, ?r =3. 3 - 高氯酸 对阿胶 进行湿 法消化 后, 用 导数火 焰原子 吸收光 谱技术 测定阿 胶中的 铜、 “中 药三大 宝, 人 参、鹿 茸和阿 胶。 ”阿胶 的药用 已有 两千多 年的悠 久历史, 历代 宫① 马 作峰. 论疲劳 源于肝 脏[J]. 广西中 医药,20 08,31( 1):31. ① 史 丽萍,马 东明, 解丽芳 等.力 竭性运 动对小 鼠肝脏 超微结构 及肝糖 原、肌糖 元含量 的影响 [J]. 辽宁中 医杂志 ,① 王 辉武, 吴行明, 邓开蓉 .《内经 》 “肝者 罢极之 本”的临 床价值 [J] . 成都中 医药大 学学报

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