三角函数的值域课件_图文

y

x

复习回顾

1.正弦函数
y ? sin x定义域是R,值域为 [?1,1] 在 x ? 2 k? ? 在 x ? 2 k? ?

? ?
2 2

(k ? Z ) 时取得最小值 ? 1 (k ? Z ) 时取得最大值 1

2.余弦函数
y ? cos x定义域是R,值域为[?1,1] 在 x ? 2k? ? ? (k ? Z ) 时取得最小值-1 在 x ? 2k? (k ? Z ) 时取得最大值1

3.正切函数

? y ? tan x 的定义域为{x | x ? k? ? , k ? Z }, 值域为R. 2
4. a sin x ? b cos x 型函数

a sin x ? b cos x ? a ? b sin ?x ? ? ?
2 2

b (其中? 由 tan ? ? 确定) a

min ? ? a ? b , max ? a ? b
2 2 2

2

典例剖析

【例1】求函数 y ? sin 2 x ? 2sin x cos x ? 3cos 2 x, ( x ? R)的

? ? sin2 x ? cos 2 x ? 2 ? 2 sin(2 x ? ) ? 2 4 ? 所以,当x ? ? k? (k ? Z )时,ymax ? 2 ? 2. 8 方法点拨: 3? 当x ? ? ? k? (k ? Z )时,ymin ? ? 2 ? 2 8 形如y ? a sin 2 x ? b sin x cos x ? c cos 2 x ? d的函数,首先要
先降幂,利用辅助角转化为y ? A sin(2 x ? ? ) ? k的形式, 再去研究此函数的相关性质

最值 1 ? cos 2 x 1 ? cos 2 x 解:y ? ? sin 2 x ? 3 ? 2 2

巩固练习

?? ? 1、已知△ABC中,tan ? A ? ? ? ?2 ? 3 ,求使 4? ? ?? ? 2 y ? 2 sin B ? sin ? 2 B ? ? 取最大值时∠C 的大小. 6? ? 1 ? tan A ? ? ?2 ? 3 , 解: tan( A ? ) ? ?2 ? 3 , 即 ? 1 ? tan A 4
? tan A ? 3, ? A ? (0, ? ) ? A ?
2

?

又 y ? 2 sin B ? sin( 2 B ? ), 6 3 1 ? 1 ? cos 2 B ? sin 2 B ? cos 2 B 2 2 ? ? sin( 2 B ? ) ? 1 定义域是什么呢?

?

3

?? ? 1、已知△ABC中,tan ? A ? ? ? ?2 ? 3 ,求使 4? ? ?? ? 2 y ? 2sin B ? sin ? 2 B ? ? 取最大值时∠C 的大小. 6? ? ? ? y ? sin(2 B ? ) ? 1 6 ? 2? 由A ? 可知,? B ? 0 3 3 ? ? 7? ? ? ? 2B ? ? 6 6 6
?当且仅当 2 B ?

巩固练习

?

6 2 ? y 有最大值,此时C ? 3

?

?

, 即B ?

?

3

时,

? ? 【例2】求函数y ? 7 ? 8cos x ? 2sin x在x ? [? , ]上的最值 6 3
2

解:y ? 7 ? 8cos x ? 2sin x
2

? 7 ? 8cos x ? 2(1 ? cos x) ? 2cos x ? 8cos x ? 5
2
2

? 2 ? cos x ? 2 ? ? 3
2

3 1 1] ? x ? [? , ] ? cos x ? [ , ? y ? [?1, ] 2 2 6 3 方法点拨:
形如y ? a sin 2 x ? b sin x ? c(或y ? a cos 2 x ? b cos x ? c) 的函数,可化归为二次函数在闭区间上的最值问题.

? ?

【例3】 求函数 y ? sin 的和最小值


x ? cos x ? sin x cos x, x ? ?0, ? ? 的最大值

? 解:设 sin x ? cos x ? t ? t ? 2 sin( x ? ) 4

? ? 3? 2 ? ? ? x? ? ?? ? sin( x ? ) ? 1 即 t ? [?1, 2] 4 4 4 2 4 1? t2 2 由( sin x ? cos x) ? 1 ? 2sin x cos x, 可得 sin x cos x ?
2
t ? [-1, 2]

?当t ? 1 时,ymax ? 1; 当t ? ?1 时,ymin ? ?1

1? t2 1 2 1 1 ?y ?t? ? ? t ? t ? ? ? (t ? 1)2 ? 1 2 2 2 2

方法点拨:

对于由sin x ? cos x,sin x ? cos x组成的三角函数可利用 (sin x ? cos x) 2 ? 1 ? 2sin x cos x求解问题,设t ? sin x ? cos x, 经过换元把三角函数问题转化为二次函数在闭区间上的最 值问题
注:换元变量的取值范围

3sin x ? 1 【例4】求函数y ? 的最值 sin x ? 2
解: y ? 由

ymin

方法点拨: 注意定义域

3sin x ? 1 ?2 y ? 1 2 得 sin x ? ,由 sin x ? 1, 则 ? 4 ? y ? sin x ? 2 y ?3 3 2 ? ?4, ymax ? ? 0? x? 3

3

a sin x ? b a cos x ? b 形如y ? (y ? )的函数,利用反函数法, c sin x ? d c cos x ? d 先解出sin x或 cos x, 根据它们的有界性求最值,或采用分 离常数的方法去解决.

变式:加条件: x 是不等边三角形的最小内角,会有什么
变化呢?

2 ? sin x 【例5】 思考:如何求函数y ? 的最值呢? 2 ? cos x
解法一: 原式可化为sin x ? y cos x ? 2 ? 2 y

即sin( x ? ? ) ?
2 ? 2y

2 ? 2y 1? y
2

,因为 sin( x ? ? ) ? 1

4? 7 4? 7 所以 ? 1, 解得 ? y? 2 1? y 3 3

所以ymin

4? 7 4? 7 ? , ymax ? 3 3

2 ? sin x 思考:如何求函数y ? 的最值呢? 2 ? cos x 本题可转化为圆上动点 M (cos x, x) 解法二: sin

与定点 A ? 2, 2 ? 连线的斜率的最大值和最小值.
y 2

?
1 2

解:过A(2, 2)的直线方程设为
A ? 2, 2 ?

y ? 2 ? k ( x ? 2)

M1

1

经整理得kx ? y ? 2k ? 2 ? 0

O x

| 2 ? 2k | 1? k 2

4? 7 ? 1得k ? 3

M2

所以ymin

4? 7 4? 7 ? , ymax ? 3 3

方法点拨:

a sin x ? b a cos x ? b 形如y ? (y ? )的函数 c cos x ? d c sin x ? d
(1)可化归为sin( x ? ? ) ? g ( y),利用 sin( x ? ? ) ? 1, 求出y的取值范围.

(2)当a ? c时,可以利用数形结合的方法去处理

1 【例6】已知 sin x ? sin y ? ,求 sin y ? cos2 x 的 3 最大值和最小值
1 解:由已知,得 sin y ? ? sin x 3 1 2 2 ? sin y ? cos x ? ? sin x ? 1 ? sin x 3 2 1 ? 11 ? 易错点:忽略题 ? ? sin x ? ? ? 目中的隐含条件 2 ? 12 ? 1 ?sin y ???1,1? ??1 ? ? sin x ? 1 即 ? 2 ? sin x ? 4

?

?

3

又? sin x ? 1

2 ?? ? sin x ? 1 3 1 当 sin x ? 时, sin y ? cos2 x 有最小值 2
2 当 sin x ? ? 时, 3

3

3

?

sin y ? cos x
2

11 12

有最大值

4 9

实战演练

? ? ?? 1. 函数y ? 3 sin x ? cos x, x ? ? ? , ? 的值域是( ? 6 6?

D )

A.[? 3, 3] B.[?2, 2] C.[0, 2] D.[0, 3]

2. 函数 y ? 2sin x(sin x ? cos x) 的最大值是( A )
A.1 ? 2 B. 2 ? 1 C. 2 D.2
3.求函数f ( x) ? sin x ? 3 sin x cos x在区间[ , ] 4 2 上的最大值( C )
2

? ?

A.1

1? 3 B. 2

3 C. 2

D.1+ 3

? 4.函数y ? x ? sin x在[ , ? ]上的最大值是( D ) 2 ? 3? 3? 2 A. ? 1 B. ? 1 C. ? D.?
2 2 2 2

5.函数y ? sin x ? sin x 的值域为( B )
A.[?2, 2] C.[?2,1] B.[0,2] D.[ ? 1,1]

6.已知k ? ?4,则函数y ? cos 2 x ? k (cos x ? 1) 的最小值是( A )

A. 1 C. 2k ? 1

B. ? 1 D. ? 2k ? 1

归纳总结

知识小结
1、本节课的重点是:掌握求解三角函数 值域的基本题型与基本方法。
2、树立数形结合与转化的数学思想, 锻炼发散思维能力。

1、y ? a sin x ? b ? 设t ? sin x
化为一次函数y ? at ? b在闭区间t ???1,1?上的最值求解

2、y ? a sin x ? b cos x ? c
引入辅助角?,将其化为y ? a2 ? b 2 sin ? x ? ? ? ? c求解

3、y ? a sin 2 x ? b sin x ? c ? 设t ? sin x
转化为二次函数y ? at 2 ? bt ? c在的最值问题

4、y ? a sin x ? b sin x cos x ? c cos x ? d
2 2

先降幂,再利用辅助角,将其转化为y ? A sin(2 x ? ? )的形式, 的最值问题.

5、y ? a sin x cos x ? b(sin x ? cos x) ? c
设t ? sin x ? cos x,换元转化为二次函数求最值 a sin x ? b a cos x ? b 6、y ? (y ? ) c sin x ? d c cos x ? d
(1)反函数法,利用正弦或余弦函数的有界性求最值 (2)分离常数法求最值 a sin x ? b a cos x ? b 7、y ? (y ? ) c cos x ? d c sin x ? d (1)转化为sin( x ? ? ) ? g ( y ), x ? ? ) ? 1,求最值. sin(

(2)利用数形结合的方法去处理最值
8、其它方法 (1)单调性 (2)图像法 (3)判别式法

布置作业
期末单元专题卷《三角函数的值域》

课外思考题
2 已知 sin x ? sin y ? , 则 cos x ? cos y的 2 最大值和最小值( C )
4 2 4 2 A.最小值是, 最大值是 3 3 2 2 B.最小值是- ,最大值是 3 3 14 14 C.最小值是,最大值是 2 2 2 2 D.最小值是,最大值是 2 2

补充练习
cos 2 x 当 0 ? x ? 时,函数f ( x) ? 4 cos x ? sin x ? sin 2 x 4 的最小值是 ____

?


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