甘肃省岷县一中高二下学期期末考试数学(文)试卷

岷县一中 2017——2018 学年第二学期期末试卷 高二数学(文科)

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)

1.设集合 U={0,1,2,3,4,5},A={0,1,3},B={1,2,5},则(?UA)∩B= ( )

A.{2,4,5} B.{1,2,4,5} C.{2,5}

D.{0,2,3,4,5}

2. 复数 z ? ?i(i ?1) ( i 为虚数单位)的共轭复数是 ( )

A.1? i

B.1? i

C. ?1? i

D. ?1? i

错误!未找到引用源。3. 命题“若 x2>y2 则 x>y”的逆否命题是 ( )

A.若 x2<y2 则 x<y

B.若 x>y 则 x2>y2

C.若 x≤y 则 x2≤y2

D.若 x≥y 则 x2>y2

4. 函数

的定义域为 ( )

A.[0,1] C.(﹣∞,0]∪[1,+∞) ∪(1,+∞)

B.(0,1) D.(﹣∞,0)

5. 已 知 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f ? x? , 当 x ? 0 时 ,

f ? x? ? l o g2 ( 2x?

,1)则 f (? 1 ) 等于( 2

)

A. log2 3

B. log2 5

C.1

D. ?1
6. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 ( )

A.54 C.66

B.60 D.72

?x ? ?1

7.若变量

x,

y

满足约束条件

? ?

y

?

x

则 z ? 2x ? y 的最大值为 ( )

??3x ? 2 y ? 5

A.1

B.2

C.3

D.4

8.运行如图所示的程序框图,若输入 n ? 4 ,则输出 S 的值为(



A.10

B.11

C.12

D.9

9. 某产品在某零售摊位的零售价 x(单位:元)与每天的销售量 y(单位:个)的统计资料如 下表所示:

x

16

17

18

19

y

50

34

41

31

由上表可得回归直线方程 y? ? b?x ? a? 中的 b? ? ?4 ,据此模型预测零售价为 15 元时,每天的销

售量为 ( ) A.51 个

B.50 个

C.49 个

D.48 个

10.函数

的图象经过下列平移,可以得到函数

图象的是

()

A.向右平移 个单位 B.向左平移 个单位

C.向右平移 个单位 D.向左平移 个单位

11. 有 5 支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这 5 支彩笔中任取 2

支不同颜色的彩笔,则取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为 ( )

4

3

A.

B.

5

5

2

1

C.

D.

5

5

12.设

P

是椭圆

x2 16

?

y2 25

?

1 上的点,若

F1,F2

是椭圆的两个焦点,则

PF1

?

PF2

等于

(

)

A.4

B.5

C.8

D. 10

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)

13. 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A,B,C 三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,

但没去过 B 城市.乙说:我没去过 C 城市.丙说:我们三人去过同一城市.由此可判断乙去

过的城市为________.

14. 角 α 的终边过点(﹣2,4),则 cosα=

.

15. 已知实数错误!未找到引用源。,若错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。的最

小值是

.

16. 已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中点,则 ?

=

.

三、解答题 (本题共 6 道小题, 第 17-21 题每道题 12 分,第 22,23 题 10 分, 共 70 分)

? ? 17 等差数列 an 前 n 项和记为 Sn ,已知 a10? 30, a20 ? 50

(I)求通项 an ;

(II)若 Sn ? 242 ,求 n .

18. 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边长分别为 a,b,c,且(2b-c)cos A=acos C. (1)求角 A 的大小; (2)若 a=3,b=2c,求△ABC 的面积.
19. 如图,正三棱柱(底面为正三角形,侧棱垂直于底面) ABC ? A1B1C1 中, D 是 BC 的中 点, AA1 ? AB ? 1 . (Ⅰ) 求证: A1C ∥平面 AB1D ;
(Ⅱ)求证:DA⊥DB1.

20. 已知函数 f(x)=-x2+ax-ln x(a∈R). (1)求函数 f(x)在??12,2??上的最大值和最小值; (2)当函数 f(x)在??12,2??上单调时,求 a 的取值范围.
21.已知点 M ( 4 , 0) 、 N(1, 0) ,若动点 P 满足 MN ? MP ? 6 | NP | . (1)求动点 P 的轨迹曲线 C 的方程; (2)在曲线 C 上求一点 Q ,使点 Q 到直线: x ? 2y ?12 ? 0 的距离最小.
选考题:请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
22. (坐标系与参数方程)已知圆 C 的极坐标方程为 ρ=2cosθ,直线 l 的参数方程为
(t 为参数,t∈R). (Ⅰ)求直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)求直线 l 与圆 C 相交的弦长.
23.(不等式选讲)已知 f(x)=|x+1|+|x-1| ,不等式 f(x)<4 的解集为 M. (1).求 M; (2).当 a,b? M 时,证明:2|a+b|<|4+ab|.

高二数学文答案
答案:1.C 2.A 3.C 4.D 5.D 6.B 7.C 8.B 9.C 10.B 11.C 12.D 13.A 14. – 错误!未找到引用源。 15. 8 16. 2 17

18. (1)由(2b-c)cos A=acos C,

得 2sin Bcos A=sin Acos C+sin Ccos A,

得 2sin Bcos A=sin(A+C),所以 2sin Bcos A=sin B,

1

π

因为 0<B<π,所以 sin B≠0,所以 cos A=2,因为 0<A<π,所以 A=3.

π (2)因为 a=3,b=2c,由(1)得 A=3,

b2+c2-a2 4c2+c2-9 1 所以 cos A= 2bc = 4c2 =2,

解得 c= 3,所以 b=2 3.

所以 S△ABC=12bcsin A=12×2





23=3

2

3 .

19. 证明:连接 A1B,设 A1B∩AB1 = E,连接 DE. ∵AA1=AB ∴四边形 A1ABB1 是正方形,
∴E 是 A1B 的中点, 又 D 是 BC 的中点, ∴DE∥A1C.

∵DE 平面 AB1D,A1C ∴A1C∥平面 AB1D. (Ⅱ)略

平面 AB1D,

20. (1)当 a=3 时,f′(x)=-2x+3-1x=-2x2-x3x+1=-(2x-1)x(x-1),

令 f′(x)=0,解得 x=12或 1.

当 x∈??0,12??∪(1,+∞)时,f′(x)<0,故 f(x)在??0,12??和(1,+∞)上单调递减;

当 x∈??12,1??时,f′(x)>0,故 f(x)在??12,1??上单调递增,

所以函数 f(x)在区间??12,2??上仅有极大值点 x=1,
故这个极大值点也是最大值点,

故函数 f(x)在??12,2??上的最大值是 f(1)=2.

又 f(2)-f??12??=(2-ln 2)-??54+ln 2??=34-2ln 2<0,

故 f(2)<f??12??,函数在??12,2??上的最小值为 f(2)=2-ln 2.

1

1

(2)f′(x)=-2x+a-x,令 g(x)=2x+x,

1

?1 2?

则 g′(x)=2-x2,则函数 g(x)在?2, 2 ?上单调递减,

?2 ? 在? 2 ,2?上单调递增,

由于

g??12??=3,g(2)=92,g??

2? 2 ?=2

2,

故函数 g(x)在??12,2??的值域为??2 2,92??.

若要 f′(x)≤0 在??12,2??上恒成立,

即 a≤2x+1x在??12,2??上恒成立,只要 a≤2 2;

若要 f′(x)≥0 在??12,2??上恒成立,



a≥2x+1x在??12,2??上恒成立,只要

9 a≥2,

综上所述,a 的取值范围是(-∞,2 2]∪??92,+∞??.

21. (1)设点 P 坐标为 (x, y) ,

则 MN ? (?3, 0) , MP ? (x ? 4, y) , NP ? (x ?1, y) , | NP |? (x ?1)2 ? y2 .

因为 MN ? MP ? 6 | NP | ,所以 ?3(x ? 4) ? 0 ? 6 (x ?1)2 ? y2 ,化简得 x2 ? y2 ? 1. 43

所以动点 P 的轨迹为 x2 ? y2 ? 1………………………6 分 43

(2) 设与椭圆 x2 ? y2 ? 1相切并且直线 x ? 2y ?12 ? 0 平行的直线 l 的方程为: 43
x ? 2y ? c ? 0(c ? ?12)

? x2



? ?

4

?

y2 3

?1

得16 y2 ?12cy ? 3c2 ?12 ? 0

??x ? 2 y ? c ? 0

?? ? (12c)2 ? 4 ?16 ? (3c2 ?12) ? 0 ?c ? ?4
故当 c ? ?4 时,直线 l 与已知直线的距离 d 最小,

并且 d ? | ?4 ?12 | ? 8 ? 8 5 ……………12 分 12 ? 22 5 5
将 c ? ?4 代入16 y2 ?12cy ? 3c2 ?12 ? 0 中得 4y2 ?12y ? 9 ? ?2y ? 3?2 ? 0
? y ? 3 代入 x ? 2y ? 4 ? 0 中得 x ?1 2
即点 Q 坐标为 (1 , 3) . 2
22. (Ⅰ)由 ρ=2cosθ?ρ2=2ρcosθ?x2+y2﹣2x=0?(x﹣1)2+y2=1,

直线 l 的参数方程为

(t 为参数,t∈R)的普通方程为 x﹣y﹣2=0;

(Ⅱ)圆心到直线距离为:d=

= .∴弦长|AB|=2

=.

23. (1)由 f (x) ? 4,即 x ?1 ? x ?1 ? 4 ,

当 x ? ?1时,则 ? x ?1?1? x ? 4 ,得 x ? ?2 ,∴ ? 2 ? x ? ?1;

当 ?1? x ?1时,则 x ?1?1? x ? 4 ,得 2 ? 4 ,恒成立,∴ ?1? x ?1;

当 x ?1时,则 x ?1? x ?1? 4 ,得 x ? 2 ,∴1? x ? 2 ;

综上, M ? ?x | ?2 ? x ? 2?.

………5 分

(2)当 a,b ? M 时, 则 ? 2 ? a ? 2 , ? 2 ? b ? 2 .

即: a2 ? 4 , b2 ? 4 ,∴ 4 ? a2 ? 0 , 4 ? b2 ? 0
? ?? ? ∴ 4 ? a2 4 ? b2 ? 0 ,即16 ? 4a2 ? 4b2 ? a2b2 ? 0,

也就是 4a2 ? 4b2 ? 16 ? a2b2 , ∴ 4a2 ? 8ab ? 4b2 ? 16 ? 8ab ? a2b2 ,
即: ?2a ? 2b?2 ? ?4 ? ab?2 ,
即 2 a ? b ? 4 ? ab .
满,比体 力你精 力充沛 ,综上 所述, 高考这 场比赛 你想不 赢都难 ,祝高 考好运 ,考试 顺利。

………10

分 比知识你海纳 百川, 比能力 你无人 能及, 比心理 你处变 不惊, 比信心 你自信 满


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