高中数学第一章解三角形1.1.2余弦定理教学设计新人教A版必修5

1.1.2 《余弦定理》
教学目标 1.知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法,并会运用余弦定理解决两类基 本的解三角形问题。 2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论,并通过实践演算掌握运用余弦定理

解决两类基本的解三角形问题,

拼十年寒 窗挑灯 苦读不 畏难; 携双亲 期盼背 水勇战 定夺魁 。如果 你希望 成功, 以恒心 为良友 ,以经 验为参 谋,以 小心为 兄弟, 以希望 为哨兵 。

3.情态与价值:培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力;通过三角函数、余弦定理、向 量的数量积等知识间的关系,来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。 教学重、难点 重点:余弦定理的发现和证明过程及其基本应用; 难点:勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。 学法 学法:首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化,也就是研究如何从已知的两边和它 们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题,利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理。从而利 用余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边确定三角形的角 教学过程: 一、创设情景 如图 1.1-4,在 ? ABC 中,设 BC=a,AC=b,AB=c, 已知 a,b 和 ? C,求边 c A 二、新课讲解: 联系已经学过的知识和方法,可用什么途径来解决这个问题? 用正弦定理试求,发现因 A、B 均未知,所以较难求边 c。 由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来研究这个问题。 如图 1.1-5,设 CB ? a , CA ? b , AB ? c ,那么 c ? a ? b ,则 b c (图 1.1-4)

C a B

A

b

c

c ? c ?c ? a ? b a ? b ? a ? a ? b ? b ? 2a ? b 2 2 ? a ? b ? 2a ? b
从而 同理可证

2

?

??

?
C

a

B

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC

(图 1.1-5)

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A
b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B

于是得到以下定理 余弦定理:三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的 两倍。即

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A
b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC
1

思考:这个式子中有几个量?从方程的角度看已知其中三个量,可以求出第四个量,能否由三边求出一角? (由学生推出)从余弦定理,又可得到以下推论:

cos A? cos B ? cosC ?

b2 ? c 2 ? a 2 2bc a 2 ? c 2 ? b2 2ac b2 ? a 2 ? c 2 2ba

[理解定理] 从而知余弦定理及其推论的基本作用为: ①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边; ②已知三角形的三条边就可以求出其它角。 思考:勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系,余弦定理则指出了一般三角形中三边平方 之间的关系,如何看这两个定理之间的关系? (由学生总结)若 ? ABC 中,C= 90 0 ,则 cos C ? 0 ,这时 c 2 ? a 2 ? b2 由此可知余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例。 例题选讲: 例 1.在 ? ABC 中,已知 a ? 2 3 , c ? 6 ? 2 , B ? 600 ,求 b 及 A ⑴解:∵ b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B = (2 3)2 ? ( 6 ? 2)2 ? 2?2 3 ?( 6 ? 2) cos 450 = 12 ? ( 6 ? 2)2 ? 4 3( 3 ?1) =8 ∴ b ? 2 2. 求 A 可以利用余弦定理,也可以利用正弦定理: ⑵解法一:∵cos A ? ∴ A ? 600.

b2 ? c 2 ? a 2 (2 2)2 ? ( 6 ? 2 )2 ? (2 3)2 1 ? ? , 2bc 2 2? 2 2 ?( 6 ? 2)

a 2 3 ?sin450 , 解法二:∵sin A ? sin B ? b 2 2
又∵ 6 ? 2 > 2.4 ?1.4 ? 3.8,

2 3 < 2?1.8 ? 3.6,
∴ a < c ,即 00 < A < 900 , ∴ A ? 600. 评述:解法二应注意确定 A 的取值范围。 0 变式训练 1:在 ? ABC 中,若 b=4,c=6,A=60 ,求 a 的值。 (答:2 7 )
2

例 2(课本 P7 例 4)在 ? ABC 中,已知 a ?134.6cm , b ? 87.8cm , c ?161.7cm ,解三角形 解:由余弦定理的推论得: cos A?

b2 ? c 2 ? a 2 2bc

87.82 ?161.72 ?134.62 2?87.8?161.7 ? 0.5543, A ? 56020? ; ?
cos B ?

c 2 ? a 2 ? b2 2ca

134.62 ?161.72 ?87.82 2?134.6?161.7 ? 0.8398, B ? 32053? ; ?

? C ?1800 ? ( A? B) ?1800 ? (56020? ? 32053)
? 90047?.
变式训练 2:在 ? ABC 中,若 a 2 ? b 2 ? c 2 ? bc ,求角 A (答案:A=120 0 )

例 3:在△ABC 中,bcosA=acosB 试判断三角形的形状 解法一:利用余弦定理将角化为边
王新敞
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∵bcosA=acos
2 2 2 2

,∴b·
2 2

b2 ? c2 ? a2 a2 ? c2 ? b2 ? a? 2bc 2ac
2 2
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∴b +c -a =a +c -b ,∴a =b ,∴a=b,故此三角形是等腰三角形 解法二:利用正弦定理将边转化为角 ∵bcosA=acos 又 b=2RsinB,a=2Rsin ,∴2RsinBcosA=2RsinAcos ∴sinAcosB-cosAsinB=0 ∴sin(A-B)=0 ∵0<A,B<π ,∴-π <A-B<π ,∴A-B=0 即 A=
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故此三角形是等腰三角形

王新敞
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变式训练 3:在 ? ABC 中,已知 a ? 7 , b ? 5 , c ? 3 ,判断 ? ABC 的类型。 解: 72 ? 52 ? 32 ,即 a 2 ? b 2 ? c 2 ,cos A? 所以 ?ABC是钝角三角形 .

b2 ? c 2 ? a 2 <0,角 A 为钝角. 2bc

3

三、课堂小结 (1)余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律,勾股定理是余弦定理的特例; (2)余弦定理的应用范围:①.已知三边求三角;②.已知两边及它们的夹角,求第三边。 四、课时必记: 余弦定理:三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的 两倍。即

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B
cos A? b2 ? c 2 ? a 2 2bc cos B ? a 2 ? c 2 ? b2 2ac

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC
b2 ? a 2 ? c 2 2ba

cosC ?

五、分层作业: A 组: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1、 在△ABC 中,若 a >b +c ,则△ABC 为_______;若 a =b +c ,则△ABC 为___________;若 a <b +c 且 b2<a2+c2 且 c2<a2+b2,则△ABC 为_________ (答:钝角三角形,直角三角形,锐角三角形)
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2、在 ? ABC 中,已知:(a+b+c)(a+b-c)=3ab,则角 C=_______ 0 (答:60 ) 3、在 ? ABC 中,已知 a=7,b=3,c=5,求最大角和 sinC。 (答:最大角为:A=120 ,sinC=
0

5 3 ) 14

4、在 ? ABC 中,B=30 ,AB=2 3 ,面积 S= 3 ,求 AC 的长。
0

(答:先求得 BC=2,再求得 AC=2)

B 组: 1、在△ABC 中,已知 sinB·sinC=cos

A ,试判断此三角形的类型 2 1 ? cos A 2 A 解:∵sinB·sinC=cos , ∴sinB·sinC= 2 2
2

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∴2sinB·sinC=1+cos[180°-(B+C) ] 将 cos(B+C)=cosBcosC-sinBsinC 代入上式得

4

cosBcosC+sinBsinC=1, ∴cos(B-C)=1 又 0<B,C<π ,∴-π <B-C<π ∴B-C=0 ∴B=C 故此三角形是等腰三角形
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2、在 ? ABC 中,

tan A a 2 ? ,试判断这个三角形的形状。 tan B b 2

(答:化弦化简,三角形为等腰三角形或直角三角形) C 组: 1、已知:k 是整数,钝角 ? ABC 的三内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c。

? x 2 ? y ? 7k (1) 若方程组 ? 有实数解,求 k 值。 2 ?2kx ? y ? 3(k ? 1)
(2) 对于(1)中 k 值,若 sinC=

k 2

,且有关系式(c-b)sin A+bsin B=csin C,试求 A、B、C 的度数。

2

2

2

(答: (1)消去 y 对判别式判断:
0 0

1 0 0 0 ? k ? 3 ,所以得 k=1,2,3; (2)先求得 C=45 或 135 ,再求得 B=45 2
0 0 0

或 135 ,但是 C=135 不合舍去,所以求得 A=120 ,C=45 ,B=15 )

5


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