概率统计综合检测题(二)参考答案(1)

概率论与数理统计综合检测 概率论与数理统计综合检测( 综合检测(二)参考答案
一、填空题(24 分) 1. 某 人 射 击 命 中 率 为 p (0 < p < 1) , 则 其 射 击 直 到 命 中 为 止 所 需 次 数 X 的 分 布 律 为 P( X = k ) = p (1? p) k?1 , k = 1, 2,? ;
P(至少射击 3 次)= P( X ≥ 3) = 1? P( X ≤ 2) = (1? p) 2 . 2. 设 X ~ B (n, p ), 则其分布律为 P( X = k ) = Cnk p k (1? p ) n?k , k = 0,1,?, n;

EX = np; EX 2 = np (1 ? p ) + ( np )2 .
3. 设 X 1, X 2 ,? , X n 为总体 X 的简单随机样本, X ~ N (?, σ 2 ) ,当 σ 2 已知时,? 的置信度为 1? α 的

置信区间为 X ?

σ σ zα ≤ ? ≤ X + zα . n 2 n 2

4. 设 X ~ N (?, σ 2 ) , Y ~ π (λ ) , X 与 Y 相互独立,则 E ( XY ) = λ? ;

D ( X ? 2Y ) = σ 2 + 4λ.
5. 设 X ~ U [a, b], E ( X ) = 4, D ( X ) = 3, 则 a = 1 ;b = 7 . 0.8 ; 6. 设 A, B 相互独立, P ( A ∪ B ) = 0.92, P ( A) = 0.6, 则 P ( B ) =

P ( AB ) = 0.32 . 7. 设 ? θ 是 θ 的无偏估计,则 E (? θ) =

θ

; 若 X ~ χ 2 (100), 则 DX = 200.
2

x ? ? ? 2 ? ? 8. 设连续型随机变量 X 的分布函数为 F ( x) = ?a + be , x > 0 , 则 ? ? 0 x≤0 ? ? x ? ? ? 2 ? ? xe , x > 0. 常数 a = 1 ; b = ? 1 ; X 的概率密度 f ( x ) = ? ? ? 0 x≤0 ? ? 二、1. 设二维随机变量(X,Y)的联合分布率如下表所示: (1) 求 X 和 Y 的边缘分布律 (填入右边 Y 表格中) ; -1 X (2) X 与 Y 是否独立,为什么? 1 0.2 (3) 求 Z=X 2 +Y 2 的分布律; (4) 求 Cov( X , Y ) 及 ρ XY . 2 0.3
2

0 0.1 0 0.1

1 0.3 0.1 0.4

P(X = xi ) 0.6 0.4

P(Y = y j )

0.5

解:(2) 不独立, P ( X = 1, Y = 0) = 0.1 ≠ P ( X = 1) P(Y = 0) = 0.06 ; (3) (X,Y) (1,-1) (1,0) (1,1) (2,-1) (2,1) P 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1 2 2 2 1 2 5 5 Z=X +Y
Z=X 2 +Y 2 的分布律: Z 1 2 5 P 0.1 0.5 0.4 (4) E ( XY ) = ?0.2 + 0.3 ? 0.6 + 0.2 = ?0.3, EX = 1.4, EY = ?0.1, Cov( X , Y ) = ?0.16, DX = 0.24, DY = 0.89 , ρ XY = ?0.3462. 2. 设甲袋中有 3 个白球,5 个红球;乙袋中有 4 个白球 6 个红球。从甲袋中任取一球放入乙
1

袋,再从乙袋中任取一球。 (1) 求从乙袋取出红球的概率; (2) 已知从乙袋中取到红球,求从甲袋中取出的是红球的概率。 解: 记 A 为从甲袋中取得红球, B 为从乙袋中取得红球,则
(1) P ( B ) = P (( A ∪ A) B ) = P( AB ∪ AB ) = P( AB ) + P( AB )
5 7 3 6 53 + = ; 8 11 8 11 88 5 7 P ( AB ) P ( A) P ( B | A) 8 11 35 (2) P ( A | B ) = = = = . 53 P( B ) P( B ) 53 88 三、1. 设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数 ?1 + x ? y, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 1 f ( x, y ) = ? 其他 ? 0, (1)分别求 X 和 Y 的边缘概率密度 f X ( x) 和 fY ( y ) ; = P ( A) P ( B | A) + P( A) P( B | A) = (2)随机变量 X 和 Y 是否独立?为什么?
1 ? 1 ? ∫0 (1 + x ? y )dy = + x, 0 < x < 1 解: (1) f X ( x ) = ? ; 2 ? 0, other ? 3 ? 1 ? ∫0 (1 + x ? y )dx = ? y , 0 < y < 1 fY ( y ) = ? ; 2 ? 0, other ? (2)不独立;因为在 0 < x < 1,0 < y < 1 内, f ( x, y ) ≠ f X ( x) fY ( y ). 1 1 2. 设随机变量 X 的概率密度函数为 f ( x) = ,x∈? , 求 Y=2X 2 +1 的概率密度函数 fY ( y ). 2 π 1+ x y ?1 解: FY ( y ) = P (2 X 2 + 1 ≤ y ) = P( X 2 ≤ ) , 当 y ≤ 1 时, FY ( y ) = 0, fY ( y ) = 0; 2 ? ? ? y ?1 ? ? ? ? y ?1 y ?1 ? y ?1 ? ? ? ? ? ? 当 y > 1 时, FY ( y ) = P ? ? ≤ X ≤ = F ? F ? ? ? ? ? ? ?, X ? X ? ? ? ? ? 2 2 ? 2 ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ?? 1 2 ?? ? 1 ? y ?1 ? ?? y ?1 ? ?= 2 ? ? fY ( y ) = f + f ? ? ? ? X ? X ? ? ? ? ? ? 4 y ?1 ?? ? 2 ??? π ( y + 1) y ?1 ? 2 ? ? ? ? 2 1 +∞ ? , y >1 ? ? 所以, fY ( y ) = ? π ( y + 1) y ?1 . 【令 t = y ?1 ,易验证 ∫ fY ( y )dy = 1. 】 ? ?∞ ? ? 0, y ≤1 ? ? ? ?2 x , 0 < x < 1 3. 设 X 的概率密度函数为 f ( x) = ? , 求 X 的分布函数 F ( x). ? ? other ? ? 0,

? ? x 0dx =0, x≤0 ? ∫?∞ ? ? ? x ? 0 2 解: F ( x ) = ? 0 < x ≤ 1. ?∫?∞ 0dx + ∫0 2tdt = x , ? ? 0 1 x ? ? 0 + 2 + dx tdt ? ∫0 ∫1 0dt =1, x > 1 ? ? ?∫?∞
2

四 、 1. 设 X 1, X 2 ,? , X n 为 总 体 X 的 简 单 随 机 样 本 , 且 设 总 体 X 的 概 率 密 度 函 数 为
? ?θα xα ?1e ?θ x , x > 0 ,其中参数 θ > 0 为未知参数, α > 0 为已知常数。 f ( x) = ? 其他 0, ? ? 求θ的极大似然估计量。 解: 似然函数与对数似然函数: ? ? ?θ ∑ x n ? n n α?1 ? L ( x , ? , x ; θ ) = θ α Π x e , when x1 ,?, xn > 0, ? 1 n i=1 i ? ? n ? ? n n α?1 ? ? ? ? ln L = n ln θ + ln α Π x ? θ xiα , when x1 ,?, xn > 0 ? ? ∑ i ? ? i = 1 ? ? ? i=1 ? n ? ? ? xiα ? ? ∑ ? n ? n d ln L n ? ? n n ? θ? ? = 0 得, ? θ= n 由 = ? ∑ xiα = i=1 ? ? ? dθ θ i=1 θ ? ? ? xiα xiα ? ? ∑ ∑ ? ? ? i=1 ? i=1 ? θ (0, ? θ) (? θ , +∞) θ
α
n α i i=1

d ln L dθ L

+

0
最大

?
?

?

θ= 所以,当 θ = ? θ 时,L 取得最大值, θ 的最大似然估计量为 ?

n

∑X
i=1

n

.
α i

2. 某校 2010 级概率统计平均成绩为 65 分,现从某班随机抽取 20 份试卷,其分数为: 72, 76, 68, 78, 62, 59, 64, 85, 70, 75, 61, 74, 87, 83, 54, 76, 56, 66, 68, 62. 设概率统计考试成绩服从 N (?, σ 2 ) 。问在显著性水平 α = 0.05 时,该班概率统计平均分数 与该年级平均成绩有无显著差异( H 0 : ? = 65 )?
解: H 0 : ? = 65; H1 : ? ≠ 65 ; 由于 T = 当 H 0 成立时,检验统计量 T =

X ?? ~ t (19) , 所以 S / 20

X ? 65 ~ t (19) ,拒绝域: | t |> t0.025 (19) = 2.093 , S / 20 又 x = 69.8, s = 9.4735, |T|的观测值 | t |= 2.2659 > 2.093, 于是,拒绝 H 0 ,即该班均成绩与年级平
均成绩有显著差异。即在 α = 0.05 之下,拒绝 ? = 65. (可以检验该班平均成绩大于 65?) 3. 现有一批袋装水泥,第 i 袋重量为随机变量 X i (i = 1, 2,? ,198) , 它们独立同分布,且每袋重 量的数学期望为 EX i = 25(kg) , 方差 DX i = 2.52 , i = 1, 2,?,198 . 如用一辆载重量为 5000(kg)的 卡车一次运走这批水泥,试用中心极限定理计算超载的概率。 ? 198 ? ? ? X i ? 4950 ? ? ∑ 198 198 ? i=1 5000 ? 4950 ? ? ? 解: P (∑ X i > 5000) = 1? P(∑ X i < 5000) = 1? P ? < ? ? ? 35.178 35.178 ? i=1 i=1 ? ? ? ? ? ? ? ? ≈ 1?Φ(1.4213) ≈ 1? 0.9224 = 0.0776. 1 n 4. 设样本 X 1 ,? , X n 来自总体 X , EX = ? , DX = σ 2 ,样本方差 S 2 = ( X i ? X )2 . ∑ n ? 1 i =1 证明: ES 2 = σ 2 . n 1 1 1 ? n ? n ? ? 证明: ES 2 = E ∑ ( X i ? X )2 = E ? ∑ X i2 ? nX 2 ? = EX i2 ? nEX 2 ? ∑ ? n ? 1 i =1 n ? 1 ? i =1 ? n ? 1 ? i =1 ?
3

又 EX i2 = DX i + ( EX i ) 2 = σ 2 + ? 2 , i = 1, 2,? , n ; E X = D X + ( E X )2 =
ES 2 = 1 ? n 1 ? [nσ 2 + n? 2 ? (σ 2 + n ? 2 )] = σ 2 . EX i2 ? nEX 2 ? = ∑ ? 1 n ? 1 ? i =1 n ? ?

2

σ2
n

+ ? 2 ,所以,

4


相关文档

概率统计综合检测题(二)参考答案
概率统计检测题(二)参考答案
概率统计综合检测题(一)参考答案
概率统计综合检测题(二)
概率统计综合检测题(四)参考答案
概率统计综合检测题(一)
概率统计综合检测题(三)参考答案
概率统计综合检测题(4)参考答案
概率统计综合检测题(6)参考答案
《概率论与数理统计(二)》综合测试题一
电脑版