标题-2017-2018学年高中数学三维设计苏教版必修5:第2章 2.2 第一课时 等差数列的概念及通项公式_图文

第一课时 等差数列的概念及通项公式

预习课本P35~39,思考并完成以下问题
(1)等差数列的定义是什么?

(2)等差数列的通项公式怎样表示?
(3)如何判定一个数列是等差数列?

[新知初探]
1.等差数列的定义 如果一个数列从第二项起,每一项减去它的前一项所得的差 都等于 同一个 常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫 做等差数列的 公差 ,通常用字母 d 表示.

[点睛]

(1)“从第二项起”是指第1项前面没有项,无法与后

续条件中“与前一项的差”相吻合. (2)“每一项减去它的前一项所得的差”这一运算要求是指 “相邻且后项减去前项”,强调了:①作差的顺序;②这两项必 须相邻. (3)定义中的“同一个常数”是指全部的后项减去前一项都等 于同一个常数,否则这个数列不能称为等差数列.

2.等差数列的通项公式 已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d.

定义
an-an-1 =d(n≥2) _________

通项公式 an= a1+(n-1)d (n∈N*)

[点睛] 由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d可得an=dn +(a1-d),如果设p=d,q=a1-d,那么an=pn+q,其中p,q是 常数.当p≠0时,an是关于n的一次函数;当p=0时,an=q,等 差数列为常数列.

[小试身手]
1.下列数列是等差数列的是________(填序号). ①5,5,5,5,5; ②3,7,11,15,19; ③-2,-1,0,2,4,6.

解析:①所给数列是首项为5,公差为0的等差数列. ②所给数列是首项为3,公差为4的等差数列. ③因为0-(-1)≠2-0,所以这个数列不是等差数列. 综上,①②为等差数列. 答案:①②

2.已知等差数列{an}中,首项a1=4,公差d=-2,则通项公式为 ________.
解析:∵a1=4,d=-2, ∴an=4+(n-1)×(-2)=6-2n. 答案:an=6-2n

3.已知等差数列{an}的前三项依次为a-1,a+1,2a+3,则实数a 的值为________.
解析:由题意知:a+1-(a-1)=2a+3-(a+1), 即2=a+2,∴a=0. 答案:0

4.在-1和8之间插入两个数a,b,使这四个数成等差数列,则 公差为________.
解析:由已知a-(-1)=b-a=8-b=d,∴8-(-1)=3d, ∴d=3. 答案:3

等差数列的通项公式及应用
[典例] 在等差数列{an}中,

(1)已知a5=-1,a8=2,求a1与d; (2)已知a1+a6=12,a4=7,求a9.
[解 ] (1)∵a5=-1,a8=2,
? ?a1=-5, 解得? ? ?d=1.

? ?a1+4d=-1, ∴? ? ?a1+7d=2,

(2)设数列{an}的公差为 d.
? ?a1+a1+5d=12, 由已知得,? ? ?a1+3d=7, ? ?a1=1, 解得? ? ?d=2.

∴an=1+(n-1)×2=2n-1, ∴a9=2×9-1=17.

在等差数列{an}中,首项a1与公差d是两个最基本的元 素,有关等差数列的问题,如果条件与结论间的联系不明 显,则均可化成有关a1,d的关系列方程组求解,但是要注 意公式的变形及整体计算,以减少计算量.

[活学活用]
1.在等差数列{an}中,a2=2,a3=4,则a10=________.

解析:设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,依题意得
? ?a1+d=2, ? ? ?a1+2d=4. ? ?a1=0, 由此解得? ? ?d=2.

所以a10=a1+9d=18.

答案:18

2.已知等差数列{an}中,a15=33,a61=217,试判断153是不是这 个数列的项,如果是,是第几项?
解:设首项为a1,公差为d,则an=a1+(n-1)d,
? ?a1+?15-1?d=33, 由已知? ? ?a1+?61-1?d=217, ? ?a1=-23, 解得? ? ?d=4.

所以an=-23+(n-1)×4=4n-27, 令an=153,即4n-27=153,解得n=45∈N*,所以153是所给 数列的第45项.

等差数列的判定与证明
[典例] 已知数列{an}满足a1=4,an=4- 4 an-1 (n>1),记bn

1 = .求证:数列{bn}是等差数列; an-2 1 1 [证明] ∵bn+1-bn= - an+1-2 an-2

an-2 1 1 an 1 1 = - = - = = , 4 2 an-2 2?an-2? an-2 2?an-2? ?4-a ?-2 n 1 1 又∵b1= = , a1-2 2 1 1 ∴数列{bn}是首项为2,公差为2的等差数列.

要判定或证明一个数列{an}是等差数列,主要是利用等差数 列的通项公式,证明an+1-an=d(常数).

[活学活用]
判断下列数列是否为等差数列. (1)在数列{an}中an=3n+2; (2)在数列{an}中an=n2+n.

解:(1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(n∈N*), 由n的任意性知,这个数列为等差数列. (2)an+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2,不是常数, 所以这个数列不是等差数列.

等差数列通项公式的综合应用
题点一:求通项公式中的未知项

1.在等差数列{an}中,首项a1=1,公差d≠0,若7ak=a1+a2+? +a7,则k=________.
解析:因为a1+a2+?+a7=7a1+21d=7+21d, 而ak=1+(k-1)d,所以7ak=7+7(k-1)d, 所以7+7(k-1)d=7+21d,即k=4. 答案:4

题点二:求通项公式中公差的范围
2.在等差数列{an}中,首项a1=1,且从第10项起开始比2大,则 公差d的取值范围为________.

解析:由an=1+(n-1)d,
? ?a10>2, 所以? ? ?a9≤2, ?1 1? 答案:?9,8? ? ? ? ?1+9d>2, 即? ? ?1+8d≤2

1 1 所以9<d≤8.

题点三:求通项公式中共同项 3.等差数列{an}中,a1=1,公差d=4,若存在另一等差数列{bm},

bm=3m-1,它们的项数均为100,则它们有多少对相同的项.

解:显然,通项分别为an=4n-3,bm=3m-1(m,n∈N*, 且1≤n≤100,1≤m≤100), 3m+2 令an=bm,得4n-3=3m-1,即n= 4 . 由m,n∈N*,1≤n≤100,1≤m≤100, 3m+2 ? ?1≤ ≤100, 4 即? 所以m=2,6,10,?,98. ? ?1≤m≤100, 所以共有25对相同项.

等差数列通项公式的应用主要使用的是方程思想,要注意 公式使用时的准确性与合理性,更要注意运算的准确性,遇到 一些复杂的方程组时,要注意整体代换思想的运用,使运算更 加便捷.

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