快速解决高考选择题中的压轴题的九种方法_图文


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中学数学研究                 2 0 1 3年第 8期( 上)

快速解决高考选择题中的压轴题的九种方法
广东省深圳市松岗中学  ( 5 1 8 1 0 5 )   王朝璇( 特级教师)
   各地的 2 0 1 3年的高考题中的选择题总有一道题把关, 我们将它称为“ 亚压轴题” , 这些题目题型新颖, 综合性强, 有一定的难度, 常常让考生望而生畏. 下面就部分“ 亚压轴 题”进行解析, 归纳其解题方法.
2 即为 3 ( f ( x ) ) - 3 f ( x ) =0 , 即有 f ( x ) =0 或f ( x ) =1 , =0

作出 y=f ( x )的草图( 图1 ) , 显然, f ( x ) =0时有两个根,
2 f ( x ) =1 时有一个根, 故方程 3 ( f ( x ) ) + 2 a f ( x )+b=0 的

. 不同实根个数是 3 评注: 对于直接计算比较困难的题目, 可以从反面考虑, ( x )有极值点 x , x , 可以先 考 虑 导 函 数 根据题设, 函数 f 1 2 f ′ ( x ) , 然后逆水行舟, 寻求原函数 f ( x ) , 同时, 为了简化运 算, 可以采用直接赋值的方法.

1 . 赋值检验
例1 ( 2 0 1 3年高考广东理( 8 ) )设整数 n , 集合 X = ?4 { 1 , 2 . 3 . …, n } . 令集合 S={ ( x , y , z ) | x , y , z ,且三条件 ∈X x<y<z , y<z <x , z <x<y 恰有一个成立} 若( x , y , z ) 和 ( z , w , x )都在 S 中, 则下列选项正确的是(  ) A . ( y , z , w )∈ S , ( x , y , w )? S B . ( y , z , w )∈ S , ( x , y , w )∈ S C . ( y , z , w )? S , ( x , y , w )∈ S D . ( y , z , w )? S , ( x , y , w )? S 解析: 令 x=2 , y=3 , z =4 , w=1 , 则有( y , z , w ) =( 3 , 4 , 1 )∈ S , ( x , y , w ) =( 2 , 3 , 1 )∈ S , 故选 B . 评注: 对于数集中的问题, 往往采用排除法, 直接赋值检 验. 1 0 }

3 . 构造函数
例3 ( 2 0 1 3 年高考福建理( 1 0 ) )设 S , T是 R的两个非空 子集, 如果存在一个从 S 到 T的函数 y=f ( x )满足: ( i ) T= { f ( x )| x } ; ( i i )对任意 x , x , 当x 恒有 ∈S 1 2∈ S 1 <x 2 时, f ( x ) <f ( x ) , 那么称这两个集合“ 保序同构” . 以下集合对 1 2  ) 不是“ 保序同构”的是(
? A . A=N , B =N

B . A={ x | -1? x } , B={ x | x=-8 或 0<x ?2 ? C . A={ x | 0 <x<1 } , B =R

2 . 逆向思维
例2 ( 2 0 1 3年高考安徽理( 1 0 ) )若函数 f ( x ) =x +a x +b x+c 有极值点 x , x , 且f ( x ) =x , 则关于 x的方程 1 2 1 1 3 ( f ( x ) ) +2 a f ( x )+b=0的不同实根个数是 A . 3 B . 4 C . 5 D . 6 解析: 设x , x , 则 1 =0 2 =1
2 f ′ ( x ) =3 x ( x-1 ) =3 x -3 x , 则 3 f ( x ) =x - 2 3 2

D . A=Z , B =Q 解析: 由条件( i i )可知 y=f ( x )在区间上单调递增. 对 于A , 令f ( x )=x - 1 , 则 A选项正确; 对于 B , 联想分段函数, 令f ( x )= 5 5 x+ ( -1 <x ) ?3 2 2 对于 , 则 B选项正确; -8 ( x=-1 ) π ) , 则 C选项正确. 2

{

32 x +c , 此时 a=- 2

C , 联想三角函数, 令f ( x ) =t a n ( x- π 故答案为 D .

3 , b=0 , 由f ( x ) =x , 有f ( 0 ) 1 1 2
3 =0 , 解得 c= 0 , 故f ( x ) =x -

评注: 对于隐函数问题, 可以化隐为显, 构造符合条件的 图1 函数, 使问题明朗化.

32 2 x, 方程 3 ( f ( x ) ) +2 a f ( x )+b 2 4 y 0 -2 y 0 x 2 2 x y 0+ 0 0 2 = = 2 . 点 P的坐标满足椭圆方程: x 0 + 2-x x 4 0 0 - 2 x y 2 x y x 2 y 0 0 0 0 0 0 4 y =4 , ∴k = , 又k , 所 Q N = 2 Q O = 2 =- 2 y x x 4 -4 y 0 0 0 - 0
2 0

4 . 以数助形
例4 ( 2 0 1 3年高考湖南理 ⑻)在等腰直角三角形 A B C 何的直观性,一定会给审题、形成解题思路带来启发、灵 感.在解题教学中注重典型案例的精讲和总结, 将坐标法和 几何法有机的结合起来, 不要让学生只成为解题运算的机 器、 只会模式的套用, 而是能够从形的角度把握其本质特征, 这样有利于激发学生思维的深刻性和创造性, 更有效的把握 广东特色的解析几何.
参考文献 [ 1 ]宫 前 长. 关 注 几 何 性 质,唤 出 简 捷 解 法 [ J ] .中 学 数 学, 2 0 1 0 ( 1 0 ) .

以Q N⊥ Q O .
2 又因为点 Q ( x , 2 y )满足以 A B为直径的圆 O方程 x + 0 0 2 y =4 , 所以直线 Q N与 A B为直径的圆 O相切.

几何性质是解析几何的灵魂,抓住了它, 就会暴露出几

2 0 1 3年第 8期( 上)                  中学数学研究 中, A B=A C=4 , 点P 是边 A B 上异 , B的一点, 光线从点 P出发, 于A C , C A 发射后又回到点 P ( 如图 经B 2 ) . 若光线 Q R经过 Δ A B C的重心, 则A P等于 8 4 A . 2 B . 1 C .  D . 3 3 解析: 建立如图( 图3 )所示的 直角坐标系, 则B ( 4 , 0 ) 、 C ( 0 , 4 ) , 4 4 A B C的重心坐标为 直 Δ , , 3 3 图2

1 1

( ] ( ] 5 7 C . . ,2    D ,2 (槡 (槡 2 槡] 2 槡]
5    B 5槡 5 槡 A .0 .槡 , , 2 2 2

解析: 由A B B , A P =A B B , 可以知道四边形 1⊥ A 2 1 +A 2 A B P B 抽去向量的概念, 此题即是这样的一道平 1 2 构成矩形, ) , 已知点 O在矩形 A B P B 面几何题: 如图( 图5 1 2 的外接圆圆 C上, O B B , 点 P为圆 C上的动点, 若O P< 1 =O 2 =1 O A的取值范围. 取两 个 特 殊 位 置 即 可 以 解 决 问 题, 其一是点 O和点 P 重合, 此时 O A= 1 2 ,其 二 是 O P = 时, O A = 槡 2
2 2 A P -O P = 槡

?→

?→ ?→

?→

?→

1 , 求 2

(

)

线B C的方程为 x +y=4 , 设P ( a , 0 ) ( 0<a<4 ) , 容易知道点 P 关于 y 轴的对称点 P -a , 1 的坐标为( 0 ) , 点 P关于直线 x +y=4 的对称 点P 4 , 4 -a ) , 连结 2 的坐标为( P P , 根据入射线和反射线的原 1 2 P C的交点即 理, 可知 P 1 2 与直线 B 图3 4-a 为Q , 与y 轴的交点即为 R , 直线 P P ( x 1 2 的方程为 y= 4+a ) , 由光线 Q R经过 Δ A B C的重心, 有 +a 上, 将点 D . 评注: 直接利用图形的性质不好解决的问题, 可以借助 于数, 解析几何就是连接数和形的桥梁.



2 ( 2 ) - 1 槡 2

( )





7 槡 7 ?→ 槡 , 即 < | O A| 2 . 故选 D . ?槡 2 2 图5 评注: 他山之石, 可以攻玉. 平面几何简洁、 直观, 常常利 用它解决解析几何中稍微复杂的问题.

(

4 4 在直线 P P , 1 2 3 3

)

7 . 整体变换
2 例7 ( 2 0 1 3年高考山东理 ⑿)设正实数 x , y , z 满足 x - x y 2 1 2 2 3 x y+4 y -z=0 . 则当 取得最大值时, + - 的最 z x y z

(

4 4 4 代入直线 P P 的方程, 解得 a= . 故选 , 1 2 3 3 3

)

大值为 9 A . 0  B . 1  C .  D . 3 4 2 2 2 2 解析: 由 x- 3 x y + 4 y -z=0 , 有 z=x - 3 x y + 4 y , 所 x y 1 1 x y 以 = 2 = ? 2 2 = z x x 4 y -3 x y+4 y x 4 y + -3 · - 3 y x y x x 4 y 2 = , 1 , 当且仅当 即 x=2 y 时等号成立, 此时 z=2 y , y x 2 1 2 2 1 2 x y =1 .则 + - = + - = x y z 2 y y x y z ma x

5 . 以形助数
2 例5 ( 2 0 1 3年高考辽宁理( 1 1 ) )已知函数 f ( x ) =x - 2 2 2 2 ( a+2 ) x +a ,g ( x ) =-x + 2 ( a- 2 ) x -a + 8 . 设H ( x ) 1

=m a x { f ( x ) , g ( x ) } ,H ( x ) =m i n { f ( x ) , g ( x ) } , ( m a x { p , 2 q } )表示 p , q 中的较大值, m i n { p , q }表示 p , q 中的较小值, 记 H ( x )得最小值为 A , H ( x )得最小值为 B , 则 A-B = 1 2 A . 1 6       B .-1 6
2 2 C . a -2 a-1 6  D . a +2 a-1 6 2 解析: f ( x ) =[ x -( a+ 2 ) ] - 4 a- 4 , 其顶点坐标为( a 2 +2 ,- 4 a- 4 ) , g ( x ) =-[ x -( a- 2 ) ] - 4 a+ 1 2 , , 其顶点



( ) (

坐标( a-2 ,-4 a+1 2 ) , 注意到 f ( x )与 g ( x )的顶点都在对 方的图象上, ( 如图 4 ) , A 、 B分别为两个二次函数顶点的纵坐 - 4 a- 4 )-( - 4 a+ 1 2 ) =- 1 6 . 故选 B . 标, 所以 A-B=( 评注: 数缺形时少直觉. 以形 助数可以使复杂问题简单化, 抽象 问题具体化.

1 1 2 2 +1- 1 =2 1 . 故选 B . ?4 2 1- 1- y 2 y =1 y y x 2 y 2 评注: 在研究某些数学问题时, 往往将需要解决的数学

)

(

)

(

)

问题或这些问题的一部分看作一个整体. 此题中, 有三个整
2 2 体变换, 其一, 是将 z=x -3 x y+4 y 整体代入所求的式子 x y 2 1 中; 其二是将 变形后利用均值不等式; 其三是将 + - z x y 2 变形后再次利用均值不等式. z

6 . 借石攻玉 ?→ ?→ ?→ ?→ ?→ ?→ | O B |= | O B| =1 , A P=A B+
1 2 1

例 6 ( 2 0 1 3年 高 考 重 庆 理

8 . 考虑极限
例8 ( 2 0 1 3年高考新课标 I I 理( 1 2 ) )已知点 A ( -1 , 0 ) , B ( 1 , 0 ) , C ( 0 , 1 ) , 直线 y=a x +b ( a>0 )将 Δ A B C分割为面 图4 积相等的两部分, 则b 的取值范围是 2 1 A . ( 0 , 1 )      B . 1-槡 , 2 2 1 2 1  D C . 1-槡 . 1, , 3 2 2 3

( 1 0 ) )在 平 面 上, A B B , 1 ⊥ A 2

. 若| O P| < A B 2 值范围是(  )

?→

?→

1 ?→ , 则| O A | 的取 2

(

)

(

]

[

)

1 2

中学数学研究                 2 0 1 3年第 8期( 上)

高中数学解题课型及其教学设计
广州市教育局教研室  ( 5 1 0 0 3 0 )   谭国华
   笔者依据科学心理学, 最主要是学习心理学和教学心 理学的有关理论, 通过对高中数学蕴含的知识类型的深入分 析以及通过实证研究后认为, 高中数学教学的基本课型只有 五种, 即高中数学概念课型、 规则课型、 解题课型、 复习课型 和测评课型. 在文[ 1 ]和[ 2 ]中分别介绍了笔者对高中数学 概念课型和高中数学规则课型的研究成果, 本文将介绍笔者 对高中数学解题课型的研究成果. 以普通高中数学课程标准作为命题的依据、 解题需要的数学 根据题中涉及的知识 知识较多或没有统一答案的数学习题. 点是否在同一教学单元内, 高中数学综合题又可进一步分为 两类: 一类是题中涉及的知识点在同一教学单元的单元内综 合题, 如函数综合题, 解析几何综合题等; 另一类是题中涉及 的知识点不在同一教学单元的跨单元综合题, 如函数、 数列 对这两类综合 与不等式综合题, 数列与解析几何综合题等. 题的正确识别, 会影响对解题中所需数学知识的选择范围及 高中数学综合题的解法教学通常需要单独设课讲授. 速度. 如在一个单元教学结束后, 或者是在数学高考复习教学中, 都需要设置这样的解题课. 高中数学综合题是相对于高中数学基本题而言的. 高中 数学基本题是指以普通高中数学课程标准作为命题的依据、 高中数学基本题 解题需要的数学知识较为单一的数学习题. 又可以进一步分为两种情形: 一种是数学概念、 公式、 定理等 的直接应用, 如判定直线与平面平行的数学基本题就属于直 线与平面平行的判定定理的直接应用. 另一种是某一特定类 型的数学基本题, 这类数学基本题不属于数学概念、 公式、 定 如一元二 理等的直接应用, 其解法是需要加以特别研究的,

一、 高中数学解题课型的基本特点
本文所指的课型主要是指课的类型, 是根据一节课( 有 时是连续的两节或三节课)承担的主要教学任务来划分的, 但同时它也兼具课的模型的含义. 这是因为根据教学心理学 的有关理论, 不同的教学任务分属不同的知识类型, 而不同 类型知识的学习过程与学习所需满足的条件是不同的, 这就 具有某种特点的课堂教学结构 导致了不同的课堂教学结构. 实际上就是微观的课堂教学模式, 也即是课的模型. 笔者研 究课型的主要目的是为了揭示某一类课所具有的共同的课 堂教学结构, 以便为教学过程的设计奠定科学的基础. 本文所称的高中数学解题课型是指以高中数学综合题 解法教学作为主要教学任务的一类课. 高中数学综合题是指

   解析: 如图( 图6 ) , 解联立方程组 a+b = , 直线 y=a x + b ( a>0 ) 在 a+1 b x 轴上的截距为 - , 由直线 y= a a x + b ( a>0 ) 将Δ A B C 分割为面积 相等 的 两 部 分,有 1 a+b × × 2 a+1


y=a x+b , 得到 y { x+y= 1



e +x-a ( a , e 为自然对数的底数) . 若曲线 y= s i n x ∈R 槡 上存在( x , y )使得 f ( f ( y ) ) =y , 则a 的取值范围是(  ) 0 0 0 0
- 1 A . [ 1 , e ]     B . [ e , 1 ] - 1 C . [ 1 , 1+e ]  D . [ e , e +1 ]



解 析; 由于点( x , y ) 在曲线 y=s i n x 上, 有y i n x 0 0 0 =s 0∈ [ - 1 , 1 ] , 而f ( x )? 0 , f ( f ( y ) ) =y , 则y 0 , 1 ] , 注意到 0 0 0∈ [ 函数 y = f ( x )单 调 递 增, 由 f ( f ( y ) ) =y ,有 f ( y )= 0 0 0 图6
- 1 - 1 ( y ) , 且函数 y=f ( x ) 与函数 y=f ( x ) 的交点一定在直 f 0 x x 2 线 y=x 上, 故槡 e +x-a=x , x 0 , 1 ] , 整理后有 e -x ∈[ x 2 x +x=a , 考察函数 g ( x ) =e -x +x , 有g ′ ( x ) =e -2 x+ x x 1 , 令h ( x ) =g ′ ( x ) =e - 2 x + 1 , 则h ′ ( x ) =e - 2 , 易知, 当

b b = 1, > ( 1+ a ) 2 即有 a=1- 2 b

1 2 0 , 解得 b< , 考虑极限位置, 当 a=0 时, b=1-槡 , 故选 2 2 B . 评注: 考虑极限位置是是解决数学问题的一个重要方 法, 从极端情形找出极端元素往往能找到解决问题的突破 口。 此解法在解不等式、 唯一性和存在性等一类问题中用途 广泛.

x 0 , I n 2 )时, y=h ( x )单调递减, 当x I n 2 , 1 ]时, y= ∈[ ∈( h ( x )单调递增, h ( x )? h ( l n 2 ) =3-2 l n 2 >0 , 即g ′ ( x )> 0 , 所以 y=g ( x )单调递增, 则g ( 0 )? g ( x )? g ( 1 ) , 即1 ? g ( x )? e , 故 1? a . ?e 评注: 对于比较复杂的题目, 常常采取循序渐进, 步步为 营的方法.

9 . 抽丝剥茧
例9 . ( 2 0 1 3年高考四川理( 1 0 ) )设函数 f ( x )=


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