人教版高中数学必修一集合与函数基础知识讲解

集合与函数概念
§1.1 集合
(一)集合的有关概念 ⒈定义:一般地,我们把研究对象统称为元素,一些元素组成的总体叫集合,也简称集。 2.表示方法:集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母 A,B,C?表示,

而元素用小写的拉丁字母 a,b,c?表示。 3.集合相等:构成两个集合的元素完全一样。 4.元素与集合的关系:(元素与集合的关系有“属于 ? ”及“不属于 ? 两种) ⑴若 a 是集合 A 中的元素,则称 a 属于集合 A,记作 a ? A; ⑵若 a 不是集合 A 的元素,则称 a 不属于集合 A,记作 a ? A。 5.常用的数集及记法: 非负整数集(或自然数集) ,记作 N; 正整数集,记作 N 或 N+;N 内排除 0 的集. 整数集,记作 Z; 有理数集,记作 Q; 实数集,记作 R;
*

6.关于集合的元素的特征 ⑴确定性:给定一个集合,那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。 如: “地球上的四大洋” (太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋)“中国古代四大发明” 。 (造纸,印刷,火药,指南针)可以构成集合,其元素具有确定性;而“比较大 的数”“平面点 P 周围的点”一般不构成集合,因为组成它的元素是不确定的. , ⑵互异性:一个集合中的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重复出现的。. 如:方程(x-2)(x-1)2=0 的解集表示为 ? 1,-2

? ,而不是 ?

1,1,-2

?

⑶无序性:即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。 7.元素与集合的关系:(元素与集合的关系有“属于 ? ”及“不属于 ? ”两种) ⑴若 a 是集合 A 中的元素,则称 a 属于集合 A,记作 a ? A; ⑵若 a 不是集合 A 的元素,则称 a 不属于集合 A,记作 a ? A。 例如,我们 A 表示“1~20 以内的所有质数”组成的集合,则有 3∈A,4 ? A,等等。 一、集合的表示方法 ⒈列举法:把集合中的元素一一列举出来, 并用花括号“ ?
2 3 2 2

? ”括起来表示集合的方法叫列举法。

如:{1,2,3,4,5},{x ,3x+2,5y -x,x +y },?; ⒉描述法:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法,称为描述法。 。 一般格式: ? x ? A p( x)

?

如:{x|x-3>2},{(x,y)|y=x2+1},{x|直角三角形},?; 说明:描述法表示集合应注意集合的代表元素, 如{(x,y)|y= x2+3x+2}与 {y|y= x2+3x+2}是不同的两个集

合,只要不引起误解,集合的代表元素也可省略,例如:{整数},即代表整数集 Z。 辨析:这里的{ }已包含“所有”的意思,所以不必写{全体整数}。写法{实数集},{R}也是错误的。 用符号描述法表示集合时应注意: 1、弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)是数还是点、还是集合、还是其他形式? 2、元素具有怎么的属性?当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时,要去伪存真,而不能 被表面的字母形式所迷惑。 例 2.用描述法表示下列集合: 2 (1) 由适合 x -x-2>0 的所有解组成的集合; (2) 到定点距离等于定长的点的集合; (3) 方程 x ? 2 ? 0 的所有实数根组成的集合
2

(4) 由大于 10 小于 20 的所有整数组成的集合。 说明:列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意, 一般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法。 练习:5 页 2 题 1.用适当的方法表示集合:大于 0 的所有奇数 4 2.集合 A={x| ∈Z,x∈N},则它的元素是 x ?3
2



3.已知集合 A={x|-3<x<3,x∈Z},B={(x,y)|y=x +1,x∈A},则集合 B 用列举法表示 是 4.判断下列两组集合是否相等? (1)A={x|y=x+1}与 B={y|y=x+1}; 二、集合的分类 观察下列三个集合的元素个数 1. {4.8, 7.3, 3.1, -9}; 2. {x ? R∣0<x<3}; 2 3. {x ? R∣x +1=0} 由此可以得到 (2)A={自然数}与 B={正整数}

?有限集 : 含有有限个元素的集合 集合的分类 ?无限集 : 含有无限个元素的集合 ? ?空集 : 不含有任何元素的集合?(empty ? set ) ?

三、文氏图 集合的表示除了上述两种方法以外,还有文氏图法,即 画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合,如下图所示: A 表示任意一个集合 A 3,9,27 表示{3,9,27}

典型例题 【题型一】 元素与集合的关系 2 1、设集合 A={1,a,b},B={a,a ,ab},且 A=B,求实数 a,b. 2 2 2、已知集合 A={a+2, (a+1) ,a +3a+3}若 1∈A,求实数 a 的值。 【题型二】 元素的特征

2

1、⑴已知集合 M={x∈N∣ ⑵已知集合 C={

6 ∈Z},求 M 1? x

6 ∈Z∣x∈N},求 C 1? x
x,满足

点拔:要注意 M 与 C 的区别,集合 M 中的元素是自然数 C 是的元素是整数

6 是整数,集合 1? x

6 ,满足条件是 x∈N 1? x

集合间的基本关系
⒈子集:对于两个集合 A,B,如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,我们说这 两个集合有包 含关系,称集合 A 是集合 B 的子集(subset) 。 记作: A ? B(或B ? A) 读作:A 包含于 B,或 B 包含 A 当集合 A 不包含于集合 B 时,记作 A?B(或 B?A) 用 Venn 图表示两个集合间的“包含”关系: B A 表示: A ? B

⒉集合相等定义:如果 A 是集合 B 的子集,且集合 B 是集合 A 的子集,则集合 A 与集合 B 中的元素是一样的,因此集合 A 与集合 B 相等,即若 A ? B且B ? A ,则 A ? B 。 如:A={x|x=2m+1,m ? Z},B={x|x=2n-1,n ? Z},此时有 A=B。 ⒊真子集定义:若集合 A ? B ,但存在元素 x ? B, 且x ? A ,则称集合 A 是集合 B 的真子集。 记作:A B(或 B A) 读作:A 真包含于 B(或 B 真包含 A) 4.空集定义:不含有任何元素的集合称为空集。记作: ? 5.几个重要的结论: ⑴空集是任何集合的子集;对于任意一个集合 A 都有 ? ? A。 ⑵空集是任何非空集合的真子集; ⑶任何一个集合是它本身的子集; ⑷对于集合 A,B,C,如果 A ? B ,且 B ? C ,那么 A ? C 。 ⑶结论:一般地,一个集合元素若为 n 个,则其子集数为 2n 个,其真子集数为 2n-1 个, 特别地,空集的子集个数为 1,真子集个数为 0。 (二)例题讲解: 【题型1】集合的子集问题 1、写出集合{a,b,c}的所有子集,并指出其中哪些是真子集,哪些是非空的真子集。 2、已知集合 M 满足{2,3} ? M ? {1,2,3,4,5}求满足条件的集合 M 3、已知集合 A={x|x2-2x-3=0},B={x|ax=1}若 B A,则实数 a 的值构成的集合是( ) A.{-1,0,

1 } 3

B.{-1,0}

C.{-1,

1 } 3

D.{

1 ,0} 3

4.设集合 A={2,8,a}B={2,a2-3a+4}且 B A,求 a 的值。 5.已知集合 A ? x ?2 ? x ? 5 , B ? x ? m ? 1 ? x ? 2m ? 1 且 A ? B , 求实数 m 的取值范围。 (m ? 3) 练习: 1、判断下列集合的关系. (1) N_____Z; (2) N_____Q; (3) R_____Z; (4) R_____Q; 2 2 (5) A={x| (x-1) =0},B={y|y -3y+2=0}; (6) A={1,3},B={x|x2-3x+2=0}; (7) A={-1,1},B={x|x2-1=0}; (8)A={x|x 是两条边相等的三角形},B={x|x 是等腰三角形}。 2、设 A={0,1},B={x|x ? A},问 A 与 B 什么关系? 3、判断下列说法是否正确?

?

?

?

?

(1)N ? Z ? Q ? R; (4)N ? Z;

(2) ? ? A ? A; (3){圆内接梯形} ? {等腰梯形}; (5) ? ? { ? }; (6) ? ? { ? }

4.有三个元素的集合 A,B,已知 A={2,x,y},B={2x,2,2y},且 A=B,求 x,y 的值。 解答题: 1.已知集合 A ? {x | a ? x ? 5} , B ? {x | x ≥ 2} ,且满足 A ? B ,求实数 a 的取值范围。 2.已知三个元素集合 A={x,xy,x-y},B={0,∣x∣,y}且 A=B,求 x 与 y 的值。

1.1.3 集合间的基本运算(共 1 课时)
考察下列集合,说出集合 C 与集合 A,B 之间的关系: (1) A ? {1,3,5} , B ? {2,4,6}, C ? ?1,2,3,4,5,6? ; (2) A ? {x x是有理数} , B ? {x x是无理数},

C ? ?x x 是实数? ;

1.并集:一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合,称为集合 A 与集合 B 的并集,即 A 与 B 的所有部分, 记作 A∪B, 读作:A 并 B 即 A∪B={x|x∈A 或 x∈B}。 Venn 图表示:

说明:定义中要注意“所有”和“或”这两个条件。 讨论:A∪B 与集合 A、B 有什么特殊的关系? A∪A= , A∪Ф = , A∪B B∪A A∪B=A ? , A∪B=B ? . 巩固练习(口答) : ①.A={3,5,6,8},B={4,5,7,8},则 A∪B= ; ②.设 A={锐角三角形},B={钝角三角形},则 A∪B= ; ③.A={x|x>3},B={x|x<6},则 A∪B= 。 2.交集定义:一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合,叫作集合 A、B 的交集 (intersection set) , 记作:A∩B 读作:A 交 B 即:A∩B={x|x∈A,且 x∈B} Venn 图表示: (阴影部分即为 A 与 B 的交集)

常见的五种交集的情况: B A A(B) A B A B A B

说明:当两个集合没有公共元素时,两个集合的交集是空集,而不能说两个 集合没有交集 讨论:A∩B 与 A、B、B∩A 的关系? A∩A= A∩ ? = A∩B B∩A A∩B=A ? A∩B=B ? 巩固练习(口答) : ①.A={3,5,6,8},B={4,5,7,8},则 A∩B= ; ②.A={等腰三角形},B={直角三角形},则 A∩B= ③.A={x|x>3},B={x|x<6},则 A∩B= 。 3.一些特殊结论

;

4

⑴若 A ? B ,则 A∩B=A;

⑵若 B ? A ,则 A ? B=A;

⑶若 A,B 两集合中,B= ? ,,则 A∩ ? = ? , A ? ? =A。 【题型一】 并集与交集的运算 【例 1】设 A={x|-1<x<2},B={x|1<x<3},求 A∪B。 解:A∪B={x|-1<x<2}∪{x|1<x<3}={x|-1<x<3}. -1 【例 2】设 A={x|x>-2},B={x|x<3},求 A∩B。 解:在数轴上作出 A、B 对应部分如图 A∩B={x|x>-2}∩{x|x<3}={x|-2<x<3}。 1 2 3

-2

3

【例 3】已知集合 A={y|y=x2-2x-3,x∈R},B={y|y=-x2+2x+13,x∈R}求 A∩B、A∪B 【题型二】 并集、交集的应用 例:设集合 A={∣a+1∣,3,5},B={2a+1,a2+2a,a2+2a-1},当 A∩B={2,3}时,求 A∪B 解:∵∣a+1∣=2 ∴a=1 或-3 当 a=1 时,集合 B 的元素 a2+2a=3,2a+1=3, 由集合的元素应具有互异性的要求可知 a≠1. 当 a=-3 时,集合 B={-5,2,3} ∴A∪B={-5,2,3,5}

集合的基本运算㈡
(一). 全集、补集概念及性质: ⒈全集的定义:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么 就称这个集合为全集,记作 U,是相对于所研究问题而言的一个相对概念。 ⒉补集的定义:对于一个集合 A,由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合,叫作集 合 A 相对于全集 U 的补集, 记作: CU A ,读作:A 在 U 中的补集,即 CU A ? x x ?U , 且x ? A Venn 图表示: (阴影部分即为 A 在全集 U 中的补集)

?

?

U A CUA
说明:补集的概念必须要有全集的限制 讨论:集合 A 与 CU A 之间有什么关系?→借助 Venn 图分析

A ? C A? ? , U CUU ? ?,
【题型 1】求补集

A ? U A? ,U C CU ? ? U

U

C (

U

C) A ?

A

【例 1】 .设全集 U ? x x是小于9的正整数 , A ? ?1, 3?,B ? ?3, 5, , 2, 4,6? 求 CU A , CU B . 【例 2】设全集 U ? x x ? 4 , 集合A ? x ?2 ? x ? 3 , B ? x ?3 ? x ? 3 ,求 CU A ,

?

?

?

?

?

?

?

?

A? B , A ? B, CU ( A ? B),(CU A) ? (CU B),(CU A) ? (CU B), CU ( A ? B) 。
(结论: CU ( A ? B) ? (CU A) ? (CU B), CU ( A ? B) ? (CU A) ? (CU B) ) 【例 3】设全集 U 为 R, A ? x x ? px ? 12 ? 0 ,
2

?

?

B ? x x 2 ? 5 x ? q ? 0 ,若

?

?

(答案: ?2,3, 4? ) (CU A) ? B ? ?2?, A ? (CU B) ? ?4? ,求 A? B 。

【题型 1】集合的混合运算 已知全集为 R,集合 P={x|x=a2+4a+1,a∈R},Q={y|y=-b2+2b+3,b∈R}求 P∩Q 和 P∩ CR Q 。

6


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