高中数学第二章2.3.2等差数列前n项和的性质课件新人教A版必修


2.3.2 等差数列前 n 项和的性质

1.掌握等差数列前 n 项和公式及其获取思路.
2.会用等差数列的前 n 项和公式解决一些简单的与前 n 项 和有关的问题.

等差数列的单调性. 当等差数列的公差 ________ d >0 时 , 数列为递增数列; 当

d=0 时,数列为常数列. d <0 时,数列为递减数列;当_______ ______
练习:已知等差数列{an}的通项公式为an=-2n+8,则{an}

n(7-n) ,S 的最大值为___ 12 . 的前 n 项和 Sn=________ n

已知数列{an}前 n 项和公式为 Sn,首项为 a1,则该数列的
通项公式 an 与前 n 项和有什么样的关系式? (n=1), ?S1 ? 答案:an= ?Sn-Sn-1 (n≥2)

题型1

等差数列的前 n 项和的性质及应用

例1:等差数列{an}的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,

则它的前 3m 项和为(
A.30 C.210

)

B.170
D.260

思维突破:(1)把问题特殊化,即令m=1来解.
n(n-1) (2)利用等差数列的前n项和公式Sn=na1+ 2 d进行求解.

n(a1+an) (3)借助等差数列的前n项和公式Sn= 及性质m+n 2 =p+q?am+an=ap+aq求解. (4)根据性质:“已知{an}成等差数列,则Sn,S2n-Sn,S3n -S2n,…,Skn-S(k-1)n,…(k≥2)也成等差数列”解题. (5)根据Sn=an2+bn求解. n(n-1) (6)运用等差数列求和公式Sn=na1+ d的变形式解 2 题.

答案:C 解析一:取m=1,则a1=S1=30,a2=S2-S1= 70, ∴d=a2-a1=40,a3=a2+d=70+40=110, S3=a1+a2+a3=210. ? ?S =ma +m(m-1)d=30, 1 2 ? m 解析二:由已知,得? 2m(2m-1) ? S =2ma1+ d=100, ? 2 ? 2m 10 20 40 解得a1= m +m2,d=m2. 3m(3m-1) ∴S3m=3ma1+ d=210. 2

?m(a1+am)=60, ① ? ?m(a1+a2m)=100, ② 解析三:由已知,得? ?3m(a1+a3m)=2S3m, ③ ? ?a3m-a2m=a2m-am, ④ 由③-②及②-①结合④,得 S3m=210. 解析四:根据上述性质知:Sm,S2m-Sm,S3m-S2m 成等差 数列, 故 Sm+(S3m-S2m)=2(S2m-Sm), ∴S3m=3(S2m-Sm)=210.

解析五:∵{an}为等差数列,∴设Sn=a· n2+b· n. ∴Sm=am2+bm=30,S2m=4m2a+2mb=100, 20 10 解得a=m2,b= m .∴S3m=9m2a+3mb=210. n(n-1) 解析六:由Sn=na1+ 2 d,
?Sn? Sn d 即 n =a1+(n-1)2,由此可知:数列? n ?也成等差数列, ? ? Sm S2m S3m 即 m ,2m , 3m 成等差数列. 2Sm Sm S3m 由 2m = m + 3m ,得Sm=30,S2m=100,∴S3m=210.

【变式与拓展】 1.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=9,S6=36,

则 a7+a8+a9=( B )
A.63 C.36 B.45 D.27

2.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S2=2,S4=10,则

S6=( C )
A.12 B.18

C.24

D.42

题型2 等差数列前 n 项和的最值问题 例2:在等差数列{an}中,a1=25,S17=S9,求 Sn 的最值.

d? d 2 ? 思维突破:由Sn= 2 n + ?a1-2? n,可知本题可用二次函数 ? ? 求最值.
自主解答:由S17=S9, 17×16 9×(9-1) 得25×17+ 2 d=25×9+ d,解得d=-2. 2 n(n-1) ∴Sn=25n+ 2 · (-2)=-n2+26n. 由二次函数的性质可知: 当n=13时,Sn有最大值为169.

等差数列前n项和的最值问题除了用二次函数
求解外,还可利用下面的方法讨论:①若 d >0, a1 < 0 ,当

且仅当an≤0且an+1>0时,Sn有最小值;②若d<0,a1>0,
当且仅当an≥0且an+1<0时,Sn有最大值.取最值时,应考 虑n在正整数范围内取值.

【变式与拓展】 3.在等差数列{an}中,a1<0,S6=S8,该数列前多少项和

最小?
解:由a1+ a2+…+ a6= a1+ a2+…+ a7+ a8, 得a7+ a8=0, 又a1<0,故d必大于0. ∴a7<0, a8>0. 则S7最小,即数列前7项的和最小.

4.数列{an}是首项为 23,公差为整数的等差数列,且第 6 项为正,第 7 项为负. (1)求数列的公差; (2)求前 n 项和 Sn 的最大值; (3)当 Sn>0 时,求 n 的最大值.
解:(1)由已知,得a6=a1+5d=23+5d>0, a7=a1+6d=23+6d<0, 23 23 解得- 5 <d<- 6 . 又d∈Z,∴d=-4.

(2)∵d<0,∴数列{an}是递减数列.又∵a6>0,a7<0, ∴当n=6时,Sn取得最大值为: 6× 5 S6=6×23+ 2 ×(-4)=78. n(n-1) (3)Sn=23n+ 2 ×(-4)>0, 整理,得n(25-2n)>0, 25 ∴0<n< 2 . 又∵n∈N*,∴n的最大值为12.

题型3

等差数列前 n 项和的实际应用

例3:已知 Sn为等差数列{an}的前n项和,Sn=12n-n2. (1)求|a1|+|a2|+|a3|; (2)求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a10|; (3)求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.

思维突破:先求出数列的通项公式an. 自主解答:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=12n-n2-12(n-1)+
(n - 1)2 =- 2n + 13 ;当 n = 1 时, a1 = S1 = 11 ,符合 an =- 2n + 13.∴an=-2n+13. (1)当-2n+13≥0时,n≤6.5, 又∵n∈N*,∴n≤6. ∴|a1|+|a2|+|a3|=a1+a2+a3=S3=27.

(2)由(1)可知:|a1|+|a2|+|a3|+…+|a10|=a1+a2+…+ a6 - a7 - a8 - a9 - a10 = S6 - (a7 +…+ a10) = S6 - (S10 - S6) = 2S6-S10=72-20=52. (3)由(1)(2)可知: 当n≤6时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=Sn=12n-n2;

当 n≥7 时, |a1| + |a2| + |a3| +…+ |an| = a1 + a2 +…+ a6
-(a7+a8+…+an)=S6-(Sn-S6)=2S6-Sn=72-(12n-n2) =n2-12n+72.
2 ? ?12n-n (n≤6), 综上所述,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=? 2 ? ?n -12n+72(n≥7).

【变式与拓展】 5.(2010 年浙江)等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,前

n 项和为 Sn,满足 S5S6+15=0.
(1)若 S5=5,求 S6 及 a1; (2)求 d 的取值范围.

-15 解:(1)由题意知:S6= S =-3,a6=S6-S5=-8, 5
? ?5a1+10d=5, ∴? ? ?a1+5d=-8.

解得a1=7.

∴S6=-3,a1=7.

(2)∵S5S6+15=0, ∴(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,
2 即 2a2 + 9 da + 10 d +1=0. 1 1

故(4a1+9d)2=d2-8. ∴d2≥8. 故 d 的取值范围为 d≤-2 2或 d≥2 2.

例4:已知一个等差数列{an}的通项公式 an=25-5n,求数
列{ |an|} 的前 n 项和 Sn.
试解:由an=25-5n≥0,得n≤5. ∴当n≤5时, n(45-5n) Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=Sn= ; 2 当n≥6时, Sn=|a1|+|a2|+…+|an| =a1+a2+…+a5-(a6+a7+…+an) n(45-5n) =S5-(Sn-S5)=2S5-Sn=100- . 2

易错点评:解本题易出现的错误就是:(1)由an≥ 0,得n≤ 5 理解为n=5,得出结论:Sn=a1+a2+a3+a4+a5=50(n ≤ 5), (20-5n)(n-5) Sn= ;(2)把“前 n 项和”认为“从 n ≥ 6 起”的 2 和.事实上,本题要对 n 进行分类讨论.

求等差数列前 n 项和的最值问题有两种方法如下: (1)利用 an:当 an>0,d<0 时,Sn 有最大值可由 an≥0 且 an+1 ≤0,求得 n 的值; 当 an<0,d>0 时,Sn 有最小值可由 an≤0 且 an+1≥0,求得 n 的值. d 2 ? d? (2)利用 Sn: 由 Sn=2n +?a1-2?n 利用二次函数配方法求得最 ? ? 值时 n(n∈N*)的值.


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