2013年北京市各区高三二模试题汇编--三角函数(文科)


2013 年北京市各区高三二模试题汇编--三角函数(文科)
(2013 年东城二模文科) (本小题共 13 分)已知函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x ? sin x ? .
2π ? ? (1) 求 f ? x ? 的最小正周期; (2)当 x ? ? 0 , ? 时,求 f ? x ? 的取值范围. 3 ? ?

1 解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? sin x( 3 cos x ? sin x) ? 3 sin x cos x ? sin 2 x = (2 3 sin x cos x ? 2sin 2 x) 2 1 1 ? 1 = ( 3 sin 2 x ? cos 2 x) ? ? sin(2 x ? ) ? . 2 2 6 2

所以 f ( x) 的最小正周期 T ?

2? ??. ?

(Ⅱ) 因为 0 ? x ?

2? ? ? 3? 3 1 ,所以 ? 2x ? ? . 所以 f ( x) 的取值范围是 (? , ] . ………13 分 3 6 6 2 2 2

(2013 年西城二模文科)11.在△ ABC 中, BC ? 2 , AC ? 7 , B ?
面积是___

? ,则 AB ? ____ 3 __;△ ABC 的 3

3 3 ;___. 2

(2013 年西城二模文科)16. (本小题满分 13 分)
如图,在直角坐标系 xOy 中,角 ? 的顶点是原点,始边与 x 轴正半轴重合,终边交单位圆于点 A ,且

? ? ? , ) .将角 ? 的终边按逆时针方向旋转 ,交单位圆于点 B .记 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) .
(Ⅰ)若 x1 ?

? ? 6 2

? 3

1 ,求 x2 ; 3

(Ⅱ)分别过 A, B 作 x 轴的垂线,垂足依次为 C , D .记△ AOC 的面积为 S1 ,△ BOD 的面积为 S2 .若 S1 ? 2S2 ,求角 ? 的值. 16. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:由三角函数定义,得 x1 ? cos ? , x2 ? cos(? ? 因为 ? ? ? , ) , cos ? ? 所以 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ?

? ) . …2 分 3

? ? 6 2

1 , 3

2 2 . 3

………………3 分

所以 x2 ? cos(? ? ) ?

? 3

1 3 1? 2 6 . cos ? ? sin ? ? 2 2 6
? ). 3

………………5 分

(Ⅱ)解:依题意得 y1 ? sin ? , y2 ? sin(? ? 所以 S1 ?

1 1 1 x1 y1 ? cos ? ? sin ? ? sin 2? , 2 2 4
1

………………7 分

北京市昌平区华清学校—李老师

1 1 ? ? 1 2? | x2 | y2 ? [? cos(? ? )] ? sin(? ? ) ? ? sin(2? ? ) . ……………9 分 2 2 3 3 4 3 2? ) , 整理得 cos 2? ? 0 . 依题意得 sin 2? ? ?2sin(2? ? …………11 分 3 ? ? ? ? ? ? ? ? , 所以 ? 2? ? ? ,所以 2? ? , 即 ? ? . ………13 分 因为 6 2 3 2 4 S2 ?

(2013 年海淀二模文科)13.已知函数 f ( x) ? sin(2?x ? ) (0 ? ? ? 1) 的图象经过点 ( ,0) ,则 ? ? _____,
1 π 2π ;(? , ) 3 3 ) f ( x ) 在区间 [0, π] 上的单调递增区间为____ (答案: 2

π 6

π 6

(2013 年海淀二模文科)16.(本小题满分 13 分)已知点 D 为 ?ABC 的边 BC 上一点,且 BD ? 2 DC ,
?ADB ? 75? , ?ACD ? 30? , AD ? 2 .(I)求 CD 的长; (II)求 ?ABC 的面积.
16. 解: (I)因为 ?ADB ? 75? ,所以 ?DAC ? 45? 在 ?ACD 中, AD ? 2 , 根据正弦定理有

CD AD ………………4 分所以 CD ? 2 ……………6 分 ? ? sin45 sin30?
又在 ?ABD 中, ?ADB ? 75? ,

(II)所以 BD ? 4 ………7 分

sin 75? ? sin(45? ? 30? ) ?

6 ? 2 ………9 分 4

1 AD ? BD ? sin75? ? 3 ? 1 ……………………12 分 2 3 3 3?3 AC AD 所以 S?ABC ? S?ABD ? …………13 分同理,根据根据正弦定理有 ? ? 2 2 sin105 sin30? 6? 2 而 sin105? ? sin(45? ? 60? ) ? …………8 分 4
所以 S?ADB ? 所以 AC ? 3 ? 1 ……………10 分又 BD ? 4 , BC ? 6 …………………11 分

S ?ABC ?

1 3 3?3 AC ? BC ? sin 30? ? ……………………13 分 2 2

? (2013 年朝阳二模文科) (3)函数 f ( x ) ? sin( x ? ) ( x ? R )的图象的一条对称轴方程是(B) 4 π π π A. x ? 0 B. x ? ? C. x ? D. x ? 4 2 4

(2013 年朝阳二模文科) (15) (本小题满分 13 分)
在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且 f ( A) ? 2 cos (Ⅰ)求函数 f ( A) 的最大值; (Ⅱ)若 f ( A) ? 0, C ? (15) (本小题满分 13 分)
2 北京市昌平区华清学校—李老师

A A A A sin( ? ? ) ? sin 2 ? cos 2 . 2 2 2 2

?? , a ? 6 ,求 b 的值 12

(Ⅰ)

f ( A) ? 2 cos

A A A A ? . sin ? sin 2 ? cos 2 ? sin A ? cos A ? 2 sin( A ? ) 2 2 2 2 4

? ? ?? ? A? ? . 4 4 4 ? ? 3? 则所以当 A ? ? ,即 A ? 时, f ( A) 取得最大值,且最大值为 2 .……7 分 4 4 2 ? ? (Ⅱ)由题意知 f ( A) ? 2 sin( A ? ) ? 0 ,所以 sin( A ? ) ? 0 . 4 4 ? ? ?? ? ? 又知 ? ? A ? ? ,所以 A ? ? 0 ,则 A ? . 4 4 4 4 4
因为 0 ? A ? ? ,所以 ?

?? 7? ? a b a sin B ? 因为 C ? ,所以 A ? B ? ,则 B ? .由 得, b ? ? 12 12 3 sin A sin B sin A

6 ? sin sin
?
12

? 4

? 3 ? 3 . 13 分

(2013 年丰台二模文科)5. 下列四个函数中,最小正周期为 ? ,且图象关于直线 x ?
x ? (A) y ? sin( ? ) 2 3 x ? (B) y ? sin( ? ) 2 3

对称的是(D)

(C) y ? sin(2 x ? ) 3

?

(D) y ? sin(2 x ? ) 3

?

(2013 年丰台二模文科)若 tan(? ? x) ? 2 ,则 tan 2 x 的值是
(Ⅰ)求 A 的度数; (Ⅱ)若 BC ? 7, AC ? 5, 求 ?ABC 的面积 S.

4 3

.

(2013 年丰台二模文科) 本小题 13 分)已知 ?ABC 的三个内角分别为 A,B,C,且 2sin 2 (B ? C) ? 3sin 2 A. 15.
15. 解: (Ⅰ)? 2sin 2 ( B ? C) ? 3sin 2 A. ? 2sin 2 A ? 2 3 sin A cos A ,…………….2 分

?sin A ? 0,?sin A ? 3 cos A,? tan A ? 3 ,

……………………….4 分

? 0 ? A ? ? ,? A ? 60 °.

…………….6 分

2 2 2 ? (Ⅱ)在 ?ABC 中, ? BC ? AB ? AC ? 2 AB ? AC ? cos60 , BC ? 7, AC ? 5,

? 49 ? AB2 ? 25 ? 5 AB, ? AB2 ? 5 AB ? 24 ? 0,? AB ? 8 或 AB ? ?3 (舍),………….10 分
? S?ABC ? 1 1 3 AB ? AC ? sin 60? ? ? 5 ? 8 ? ? 10 3 . 2 2 2
…………………….13 分

1 ? (2013 年顺义二模文科)9.设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 cos A ? , ?B ? , b ? 5 , 3 4
则 sin C ? _____, ?ABC 的面积 S ? .(答案:

4 ? 2 100 ? 25 2 ) , 6 9

3 北京市昌平区华清学校—李老师

(2013 年顺义二模文科)15.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

( 3 cos x ? sin x)sin 2 x 1 ? . 2cos x 2

(Ⅰ)求 f ( ) 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及单调递减区间

?

3

15.解(Ⅰ) f ( ) ?

?

( 3 cos

?

3

? 2? 1 3 3 ? sin )sin 1 ( 3 ? 2 ? 2 )? 2 1 3 3 3 ? ? ? ? 1 2 2 2cos 2? 3 2

? 0?

1 1 ? …………………………4 分 2 2

(Ⅱ)由 cos ? 0得x ? k? ?

?

? ? ? ( k ? Z ) 故 f ( x ) 的定义域为 ? x ? R x ? k? ? , k ? Z ? 2 2 ? ?

因为 f ( x ) ?

1 ( 3 cos x ? sin x )sin 2 x 1 ? ? sin x( 3 cos x ? sin x ) ? 2 2cos x 2

?

3 1 3 1 ? cos 2 x 1 3 1 sin 2 x ? sin 2 x ? ? sin 2 x ? ? ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2 2 2 2 2 2

? sin(2 x ?

?
6

) 所以 f ( x ) 的最小正周期为 T ?

2? ?? 2

因为函数 y ? sin x 的单调递减区间为 ? 2k? ?

? ?

?

3 ? , 2k? ? ? ? (k ? Z ) , 2 2 ?
得 k? ?

由 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

3? ? , x ? k? ? ( k ? Z ) 2 2

?
6

? x ? k? ?

2? ? , x ? k? ? 3 2

所以 f ( x ) 的单调递减区间为 ? k? ?

? ?

?
6

, k? ?

?? ?

? 2? ? ? , ? k? ? 2 , k? ? 3 ? (k ? Z ) 2? ? ?

(2013 年昌平二模文科)在△ABC 中,若 a ? 4, b ? 5, c ? 61 ,则 ?C 的大小为__120? _______. (2013 年昌平二模文科) (16) (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? 3sin(? ? 2x) ? 2cos2 x ?1, x ? R .
(Ⅰ)求 f ( ) ; (Ⅱ)求 f (x) 的最小正周期及单调递增区间.

?

2

(16) (本小题满分 13 分)
2 解: (Ⅰ)? f ( x) ? 3 sin(? ? 2 x) ? 2 cos x ? 1 ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ?

?
6

)

4 北京市昌平区华清学校—李老师

………………………………………………………………………………………..4 分

? ? 1 ? f ( ) ? 2sin(? ? ) ? 2 ? ? 1 …………………………………….6 分 2 6 2 ? (Ⅱ) f ( x) ? 2sin(2 x ? ) 的最小正周期 T ? ? ,…………………………8 分 6 ? ? ? ? ? 又由 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? ? k? ? ? x ? k? ? ( k ? Z) 可得 2 6 2 6 3
函数 f (x) 的单调递增区间为 ? k? ?

? ?

?
6

, k? ?

??
3? ?

(k ? Z) .………13 分
3 , 则 t a nA ? 5


( 2013 年 房 山 二 模 文 科 ) 10. 已 知 角 A 为 三 角 形 的 一 个 内 角 , 且 cos A ?
? tan( A ? ) ? 4
. (答案: 4 )

3

, ?7

(2013 年房山二模文科) 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) (? ? 0,0 ? ? ? ?) 的最小正周期为 ? ,且图象过点
? 1 ( , ). 6 2
? (Ⅰ)求 ?,? 的值; (Ⅱ)设 g ( x) ? f ( x) f ( x ? ) ,求函数 g ( x) 的单调递增区间. 4

(Ⅰ)由最小正周期为 ? 可知

1 得 6 2 ? 5? ?? ? 所以 3 6
由 f( )? (Ⅱ)由(Ⅰ)知

?

2? ? 2, ………………2 分 T ? 1 ? ? ? sin( ? ? ) ? ,又 0 ? ? ? ? , ? ? ? ? ? ? 3 2 3 3 3

??

??

?

2



………………5 分

? 1 ) ? ] ? cos 2 x sin 2 x ? sin 4 x …………9 分 4 2 2 ? ? k? ? k? ? ? ?x? ? (k ? Z) 解 2 k? ? ? 4 x ? 2 k? ? 得 ………12 分 2 2 2 8 2 8 k ? ? k? ? ? , ? ] (k ? Z) . ……………13 分 所以函数 g ( x) 的单调增区间为 [ 2 8 2 8
所以 g ( x) ? cos 2 x ? sin[2( x ?

f ( x) ? sin(2 x ? ) ? cos 2 x 2

?

?

集所能集,不足之处敬请见谅!

5 北京市昌平区华清学校—李老师


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