苏教版高中数学选修2-1同步课堂精练:2.3.1 双曲线的标准方程 Word版含答案

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1.已知定点 F1(-2,0),F2(2,0),在满足下列条件的平面内动点 P 的轨迹中是双曲线 的为__________.(填序号) ①|PF1-PF2|=4;②|PF1-PF2|=3;③PF1-PF2=3;④PF1-PF2=±1. 2.双曲线 2x -3y =12 的右焦点坐标为__________. 3.若双曲线 x -ky =1 的一个焦点是(3,0),则实数 k=__________. 4.已知双曲线 C:
2 2 2 2

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1,F2,P 为 C 右支上的一点,且 PF2 9 16 x2 y 2 ? ? 1 上一点 M 的横坐标是 3,则 M 到双曲线右焦 4 12

=F1F2,则△PF1F2 的面积等于__________. 5.在平面直角坐标系中,双曲线 点的距离是______. 6.下列说法正确的个数为__________. ①双曲线

x2 y 2 ? ? ?1 的焦点为(-5,0)和(5,0); 16 9

②方程

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 x 轴上的双曲线; 3? m 2? m x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 与椭圆 ? ? 1 的焦点相同,则 a=1. a 2 6 3
2

③若双曲线

7.设 F1,F2 分别是双曲线 x -

???? ???? ? y2 =1 的左、右焦点,若点 P 在双曲线上,且 PF1 · PF2 9

=0,则| PF1 + PF2 |等于__________. 8.如果

????

???? ?

x2 y2 ? ? ?1 表示焦点在 y 轴上的双曲线,那么它的半焦距 c 的取值范围 | k | ?2 1 ? k

是__________.

x2 y 2 ? ? 1 有共同的焦点,且与椭圆相交,在第一象限的交点 A 的 9.设双曲线与椭圆 27 36
纵坐标为 4,求此双曲线的方程. 10.已知方程 kx +y =4,其中 k∈R,试就 k 的不同取值讨论方程所表示的曲线类型.
2 2

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参考答案 1. 答案:②④ 解析:①中轨迹是两条射线;②④由双曲线定义得轨迹是双曲线;③中 轨迹是双曲线的一支.

x2 y 2 ? ?1. 2. 答案:( 10 ,0) 解析:方程 2x -3y =12 化为标准方程为 6 4
2 2

∴a =6,b =4. ∴c =a +b =10,解得 c ? 10 .
2 2 2

2

2

∴右焦点坐标为( 10 ,0). 3. 答案:

1 8

解析:方程化为标准方程为 x -

2

y2 1 =1.由焦点为(3,0),得 1+ =9.∴ 1 k k

1 1 ? 8 ,∴ k ? . k 8
4. 答案:48 解析:依题意得 PF2=F1F2=10,由双曲线的定义,得 PF1-PF2=6, ∴PF1=16. ∴ S ?PF1F2 ?

1 ? 16 ? ?16 ? 102 ? ? ? ? 48 . 2 ? 2?

2

5. 答案:4 解析:把 x=3 代入 右焦点 F 的坐标为(4,0),∴ MF ?

x2 y 2 ? ? 1 ,得 y2=15,∴M 点坐标为(3, ? 15 ).而 4 12

(3 ? 4) 2 ? 15 ? 4 .

6. 答案:1 解析:①中双曲线方程化为

y 2 x2 ? ? 1 ,焦点在 y 轴上,故①错误; 9 16

②中当 m=4 时,方程为

y2 2 -x =1 表示焦点在 y 轴上的双曲线,故②错误; 2

③由已知得 a+2=6-3,∴a=1.故③正确. 7. 答案: 2 10 解析:∵ PF1 · PF2 =0,

????

???? ?

∴△F1PF2 为直角三角形.

? 1 ???? | F1F2 |= 10 . 2 ??? ? ???? ???? ? ∴| PF1 + PF2 |=2| PO |= 2 10 .
∴| PO |=

??? ?

8. 答案:c>1 解析:根据题意,双曲线的标准形式为

y2 x2 ? ?1. k ? 1 | k | ?2

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∴?

?k ? 1 ? 0 ?k>2. ?| k | ?2 ? 0
2

又 c =k-1+|k|-2=2k-3>1,∴c>1.

x2 y 2 ? ? 1 ,得椭圆的两个焦点为 F1(0,-3),F2(0,3). 9. 答案:解法一:由椭圆方程 27 36
因为椭圆与双曲线在第一象限的交点 A 的纵坐标为 4,所以这个交点为 A( 15 ,4).

? 42 ( 15) 2 ?a 2 ? 4, y 2 x2 ? 1, ? ? 2 设双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0),由题意得 ? a 2 解得 ? 2 b a b ?b ? 5. ?a 2 ? b2 ? 32. ?
故所求双曲线方程为

y 2 x2 ? ?1. 4 5

解法二:由椭圆方程得 F1(0,-3),F2(0,3),A( 15 ,4). ∴2a=|PF1-PF2| = =4. ∴a=2,b =c -a =5.
2 2 2

( 15) 2 ? (4 ? 3) 2 ? ( 15) 2 ? (4 ? 3) 2

y 2 x2 ? ?1. 故所求双曲线方程为 4 5
10. 答案:解:(1)当 k=0 时,方程变为 y=±2,表示两条与 x 轴平行的直线; (2)当 k=1 时,方程变为 x +y =4,表示圆心在原点,半径为 2 的圆;
2 2

y2 x2 ? ? 1 ,表示焦点在 y 轴上的双曲线; (3)当 k<0 时,方程变为 4 ?4 k
(4)当 0<k<1 时,方程变为

x2 y2 ? ? 1 ,表示焦点在 x 轴上的椭圆; 4 4 k

(5)当 k>1 时,方程变为

x2 y2 ? ? 1 ,表示焦点在 y 轴上的椭圆. 4 4 k

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