2002年上海市高中实验班理科实验班入学测试试卷

2002 年上海市高中实验班理科实验班入学测试试 卷
一、填空题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1.设 x 为满足 x 2.设 m=
2002

+2002

2001

=x

2001

+2002

2002

的整数,则 x= _________ .

,则 m 的末两位数字为 _________ .

3.关于 x、y 的方程组

恰有一组实数解,则实数 a 的值为 _________ .

4.设 f(x)为一次函数,满足:f(0)=﹣1,f(f(0) )=﹣2,则 f(2002)的值为 _________ . 5.依法纳税是每个公民的义务,依我国税法规定:月收入超过 800 元的部分需要交税(800 元以内不交税) ,且根 据超过部分的多少按不同的税率交税.不超过 500 元部分税率为 5%;超过 500 元至 2000 元部分税率为 10%;…某 职员在 2002 年 3 月的应交税款为 105 元,则该职员在该月的税后收入为 _________ 元. 6.设 n 为正整数,且 n +2n 是一个奇数的平方,则满足条件的 n 中,最小的两个数之和为 _________ . 7.如图所示,一个半径为 的圆过一个半径为 2 的圆的圆心,则图中阴影部分的面积为 _________ .
3 2

8.如图所示,四边形 ABCD 是某个圆的圆外切四边形,已知∠A=∠B=120°,∠D=90°,且 BC=1,则 AD 的长为 _________ .

9.设 n 为不小于 2 的正整数,记 n 的所有正约数(包括 1 和 n)的乘积为 P(n) ,已知 P(n)=n ,则 n 的最小值 为 _________ . 10. 已知从 1, …, 中可以取出 m 个数, 2, 9 使得这 m 个数中任意两个数之和不相等, m 的最大值为 _________ . 则 二、解答题(共 4 小题,满分 0 分) 11.已知关于 x,y 的方程组 恰有两组解,求实数 a 的取值范围.

2

12.在△ ABC 中,∠A=120°,K、L 分别是 AB、AC 上的点,向△ ABC 的形外作正三角形 BKP 和 CLQ.证明: .

13.问:在 8×8 的国际象棋盘上最多可以放多少个“+”字形(其中每个“+”字形占据棋盘的 5 个小方格) ,使得任意两 个“+”字形不重叠,且每个“+”字形都不超出棋盘的边界?证明你的结论.

14.求所有的二次函数 f(x)=x ﹣ax+b,这里 a、b 为整数,且存在三个取自 1,2,…,9 的不同整数 m、n、p, 使得|f(m)|=|(fn)|=|f(p)|=7.

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2002 年上海市高中实验班理科实验班入学测试试 卷
参考答案与试题解析
一、填空题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 2002 2001 2001 2002 1.设 x 为满足 x +2002 =x +2002 的整数,则 x= 2002 . 考点:因式分解-提公因式法;方程的解。 专题:计算题。 分析:把方程进行变形以后,根据方程的解的定义,就可以直接写出方程的解. 2002 2001 2001 2002 解答:解:∵x +2002 =x +2002 , 2002 2001 2002 2001 ∴x ﹣x =2002 ﹣2002 , 2001 2001 ∴x (x﹣1)=2002 (2002﹣1) , ∴x=2002. 点评:本题考查了提公因式法分解因式,提取公因式并整理后根据对应项相等求解比较关键.

2.设 m=

,则 m 的末两位数字为 99 .

考点:二次根式的性质与化简。 分析:把被开方数化为完全平方公式的形式再进行化简即可. 解答:解:设 a=2002, 则 m= = = =2002 ﹣5=4007999. 故 m 的末两位数字为 99. 点评:解决本题的关键是把根式内的式子整理为完全平方的形式.用字母代替数字,可以使运算简便.
2

3.关于 x、y 的方程组

恰有一组实数解,则实数 a 的值为 3 .

考点:高次方程。 分析:第一个式子减去第二个式子可消去 a,再整体代入即可求得 a 的值. 解答: 解:①﹣②得, =1﹣x, 两边乘(x+y)得, (1﹣x)=(1﹣x) (x+y) , (x+y﹣1) (1﹣x)=0, ∴x+y﹣1=0 或 1﹣x=0,
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解得:x+y=1,x=1, 把这两个式子代入①得:a=3. 故本题答案为:3. 点评:有多个未知数的时候,首先考虑的应是消元后,再求解.

4.设 f(x)为一次函数,满足:f(0)=﹣1,f(f(0) )=﹣2,则 f(2002)的值为 2001 . 考点:待定系数法求一次函数解析式。 专题:计算题。 分析:根据 f(x)为一次函数,满足:f(0)=﹣1,f(f(0) )=﹣2,用待定系数法可求出函数关系式,再求出 f (2002)的值. 解答:解:设 f(x)为一次函数, 可设函数的解析式是 y=kx+b, 根据 f(0)=﹣1,f(f(0) )=﹣2 得到 ,

解得



因而函数解析式是 y=x﹣1, 因而 f(2002)的值为 2001. 点评:正确理解 f(x)的含义是解决本题的关键.

5.依法纳税是每个公民的义务,依我国税法规定:月收入超过 800 元的部分需要交税(800 元以内不交税) ,且根 据超过部分的多少按不同的税率交税.不超过 500 元部分税率为 5%;超过 500 元至 2000 元部分税率为 10%;…某 职员在 2002 年 3 月的应交税款为 105 元,则该职员在该月的税后收入为 1995 元. 考点:一元一次方程的应用。 专题:应用题;经济问题。 分析:通过计算(800+500)×5%=65<105,则说明该职员交税应分两部分考虑计算.本题的等量关系:不超过 500 元部分税款+超过 500 元至 2000 元部分税款=105,据此列出方程,再求解. 解答:解:设该职员的税前收入是 x 元. 则有 500×5%+(x﹣1300)×10%=105, 解得:x=2100, 则该职员在该月的税后收入为:2100﹣105=1995(元) 答:该职员在该月的税后收入为 1995 元. 点评:此题应注意的是:不能直接设未知数,应间接设该职员的税前收入.

6.设 n 为正整数,且 n +2n 是一个奇数的平方,则满足条件的 n 中,最小的两个数之和为 30 . 考点:平方根。 专题:计算题。 分析:首先把所给的代数式进行因式分解,然后结合已知条件合理分析,从而求得最小的两个数之和. 3 2 2 解答:解:∵n +2n =n (n+2) , 而它是一个奇数的平方, ∴n 必是奇数,n+2 必为某个奇数的平方, ∴符合条件的 n 中,最小的两个正整数是 7 和 23,
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2

则最小的两个数的和是 7+23=30. 故答案为:30. 点评:此题主要考查了平方根的定义和奇数的特点;注意奇数的平方还是奇数.

7.如图所示,一个半径为

的圆过一个半径为 2 的圆的圆心,则图中阴影部分的面积为 2 .

考点:扇形面积的计算;相交两圆的性质。 分析:设小圆的圆心是 A,大圆的圆心是 B,两圆的交点为 C、D,过 B、A 作⊙A 的直径 BE,连接 AC、BC. 那么阴影部分的面积=扇形 CED 的面积+△ BCD 的面积﹣扇形 BCD 的面积. ABC 中, 在△ AC=AB= , BC=2, 可求得∠BAC=90°,∠CBA=45°,同理可求得∠BAD=90°,∠ABD=45°;这样就求得了扇形 CED(其实是个 半圆)和扇形 BCD 的圆心角.即可根据阴影部分的面积计算方法求出其面积. 解答:解:如图:过 B、A 作圆 A 的直径 BE,连接 BC、AC; 在△ ABC 中,AC=AB= ,BC=2; ∴∠BAC=90°,∠ABC=45°; 同理可得∠BAD=90°,∠ABD=45°; ∴∠CAD=180°,∠CBD=90°, ∴S 阴影=S 半圆 CED+S△ BCD﹣S 扇形 BCD= ×π×( ) + ×2
2

×



=2.

点评:本题主要考查不规则图形的面积计算方法,不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差.

8.如图所示,四边形 ABCD 是某个圆的圆外切四边形,已知∠A=∠B=120°,∠D=90°,且 BC=1,则 AD 的长为 .

考点:切割线定理;勾股定理;切线的性质。 分析:设 AH=x,则 AE=BE=BF=x,OE= x,即圆的半径是 x,根据切线长定理发现等腰直角三角形 ODG,则 DG=DH= x. 根据平行线的判定以及切线的性质可以发现 B, G 三点共线, O, 从而可用式子表示 BG, CG, 即可得到 AD 的长. 解答:解:设⊙O 与 AB,BC,CD,AD 分别相切于点 E,F,G,H, 连接 OA,OB,OE,OD,OG,OH; 设 AH=x,则 AE=BE=BF=x,OE= x!, ∴圆的半径是 x;
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∵等腰直角三角形 ODG, ∴DG=DH= x, ∵B,O,G 三点共线, ∴BG=(2+ )x; ∵∠C=30°, ∴CG=CF=(2 +3)x, ∴x+(2 +3)x=1, ∴x= ∴AD=( , +1)x= .

点评:此题综合运用了切线的性质定理、切线长定理以及特殊的直角三角形的性质.

9.设 n 为不小于 2 的正整数,记 n 的所有正约数(包括 1 和 n)的乘积为 P(n) ,已知 P(n)=n ,则 n 的最小值 为 6 . 考点:有理数的乘方;有理数的乘法。 分析:取 n 的特殊值根据题意进行计算,得出规律. 解答:解:n=2 时,所有正约数为 1,2,P(2)=2; n=3 时,所有正约数为 1,3,P(3)=3; n=4 时,所有正约数为 1,2,4,P(4)=8; n=5 时,所有正约数为 1,5,P(5)=5; 2 n=6 时,所有正约数为 1,2,3,6,P(6)=36=6 ; n=7 时,所有正约数为 1,7,P(7)=7… 可见,n 的最小值为 6. 答:n 的最小值为 6. 点评:此题是一道探索性题目,将 n 的特殊值根据题意进行验算,第一个满足条件 P(n)=n2 的数即为 n 的最小值.

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10.已知从 1,2,…,9 中可以取出 m 个数,使得这 m 个数中任意两个数之和不相等,则 m 的最大值为 5 . 考点:有理数的加法。 分析:首先,两数之和的范围是:1+2=3﹣﹣﹣﹣8+9=17,共 15 个数. 如果取出超过 6 个数,任两个之和共有超过:5×6÷2=15 种,说明一定小于等于 6,否则可能的和数已经超过 15,则必有相同的. 如果取 6 个数,可能的和数正好是 15,这说明,如果取 6 个数可行,则要求其中任两个数之和可以覆盖 3﹣ ﹣﹣17 这 15 个数. 和为 3 时,要求必须有 1,2,和为 4 时,必须有 1,3,这说明 6 个数中必须存在 1,2,3.同理,和为 17 要求有 8,9,和为 16,要求有 7,9,这说明 6 个数中必须存在 7,8,9.然而这时的 6 个数已经不符合条 件了. 以上说明,6 个数是不可能的. 5 个数是可能的. 1,2,3,5,8.
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和分别是:3,4,5,6,7,8,9,10,11,13 解答:解:依题意得:可以最多取 5 个数,即:1,2,3,5,8. 和分别是:3,4,5,6,7,8,9,10,11,13. ∴m 的最大值是 5. 点评:本题利用了排列组合知识,a 个数中取 2 个的组合=a(a﹣1)÷2,应用了排除法进行分析.

二、解答题(共 4 小题,满分 0 分) 11.已知关于 x,y 的方程组 恰有两组解,求实数 a 的取值范围.

考点:二元一次方程组的解。 专题:分类讨论。 分析:观察本题主要用到了绝对值,所以本题要根据绝对值的定义分情况而定.可先假设出几种情况,比如 x≥0,x <0 时解的情况. 解答:解:①x+4|y|=|x|;②|y|+|x﹣a|=1. (1)若 x≥0 ①x+4|y|=x,得出 y=0. ②|x﹣a|=1,x﹣a=±1,x=a±1 i)若 a+1<0,a<﹣1,无解; ii)若 a+1≥0>a﹣1,﹣1≤a<1,有一组解; iii)若 a﹣1≥0,a≥1,有两组解. (2)若 x<0 由①得|y|= =﹣ 只要 x 有非 0 解,就有两组解.

②﹣ +|x﹣a|=1 i)若 a<x<0, ﹣ +x﹣a=1, x=2a+2<0,a<﹣1 x=2a+2>a,a>﹣2 当﹣2<a<﹣1,x∈(a,0)有一解. ii)若 x<a ﹣ ﹣x+a=1, x= x= <a,a>﹣2 <0,a<1

当﹣2<a<1,x∈(﹣∞,a)有一解. iii)若 x=a

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﹣ =1,x=﹣2 a=x=﹣2 当 a=﹣2,x 有一解 x=﹣2.

综上可知: a<﹣2,方程组无解; a=﹣2,方程组有两解[根据(1)i(2)iii]; ﹣2<a<﹣1,方程组有 4 解[根据(1)i(2)i,ii]; ﹣1≤a<1,方程组有 3 解[根据(1)ii, (2)ii]; a≥1,方程组有 2 解[根据(1)iii]. a 的取值范围:a≥1 或 a=﹣2. 点评:本题主要考查了方程解的情况及绝对值的定义.

12.在△ ABC 中,∠A=120°,K、L 分别是 AB、AC 上的点,向△ ABC 的形外作正三角形 BKP 和 CLQ.证明: .

考点:等边三角形的性质;解直角三角形。 专题:证明题。 分析:应构造线段 AB,AC 所在的能利用特殊三角函数的直角三角形.那么应做∠A 的平分线,并且过点 B,C 向 角平分线引垂线, 得到和 AB,AC 有关的线段的长.然后根据 PQ 的不同位置得到相应判断. 解答:证明:过 B,C 作∠A 平分线的垂线 BD,CE,D,E 为垂足; 过 Q 作 QF⊥PB 交直线 PB 于 F. 则 PB∥AD∥QC. ∵∠BAD=∠CAD=60°, ∴BD= AB,CE= AC.

∵BD+CE=QF, ∴PQ≥QF≥ (AB+AC) .

当 P,F 重合,即 PQ⊥PB 时取等号.

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点评:作辅助线构造所求线段所在的特殊直角三角形是常用的辅助线方法.

13.问:在 8×8 的国际象棋盘上最多可以放多少个“+”字形(其中每个“+”字形占据棋盘的 5 个小方格) ,使得任意两 个“+”字形不重叠,且每个“+”字形都不超出棋盘的边界?证明你的结论.

考点:推理与论证。 专题:网格型。 分析:本题可根据小“+”字形的中心来求,那么小“+”字形的中心应该在 6×6 的方格中,每 3×3 的方格中最多可放 2 个因此“+”字形的最多的个数为 8 个. 解答:解:8 个. 证明:设“+”字形的中心为中间的那个方格, 显然所有的中心在 6×6 的方格内,而每个 3×3 的方格内最多放 2 个中心, 6×6 的棋盘内够有 3×3 的个数为 6×6÷(3×3)=4, 因此最多的个数应该是 4×2=8 个. 点评:解决问题的关键是读懂题意,找到所求的量的等量关系.

14.求所有的二次函数 f(x)=x ﹣ax+b,这里 a、b 为整数,且存在三个取自 1,2,…,9 的不同整数 m、n、p, 使得|f(m)|=|(fn)|=|f(p)|=7. 考点:待定系数法求二次函数解析式。 专题:分类讨论。 分析:先将原题转化为一元二次方程根的判别式的问题,然后分情况进行讨论. 2 2 解答:解:可以这样考虑:原命题等价于方程 x ﹣ax+b=7①与 x ﹣ax+b=﹣7②. 存在三个取自 1,2,…,9 的不同整数根时,求整数 a,b 的值. 2 2 (1)首先如果方程 x ﹣ax+b=7 有一个整数根,则另一根也必为整数,方程 x ﹣ax+b=﹣7 也是这样. (2)分几种情况讨论: 第一: 这两个方程中有一个方程有两个相等的实数根, 另一个方程有两个不等实根, 且这三个根是在 1, …, 2, 2 2 9 中的不同整数.①的判别式△ 1=a ﹣4b+28,②的判别式△ 2=a ﹣4b﹣28, 只有△ 2=0,但此时△ 1 不是完全平方数,不合题意. 第二:两个方程都有两个不等实根,且都为整数,但其中有一个不在[1,9]区间之内,或两方程有一公共根. 通过讨论判别式(是否为完全平方数) ,可以得到 4 组符合条件的(a,b)(7,﹣1) : (9,7) (11,17) (13, 29) .
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点评:此题难度很大,不仅要有强大的计算能力,更要有很高的逻辑思维能力,进行必要的判断.

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参与本试卷答题和审题的老师有: ZJX;lanchong;110397;kuaile;ln_86;HLing;CJX;星期八;MMCH;开心;mmll852;HJJ;zhjh;zhehe;心 若在;lf2-9。 (排名不分先后) 菁优网 2012 年 6 月 15 日

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