高中新课程数学(新课标人教A版)选修4-4《1.2.1极坐标系的的概念》知能提升演练


第二节

极坐标系

一、选择题 1.点 P 的直角坐标为(- 2, 2),那么它的极坐标可表示为 π? ? A.?2, ? 4? ? 5π ? ? C.?2, ? 4 ? ? 解析 答案 3π ? ? B.?2, ? 4 ? ? 7π ? ? D.?2, ? 4 ? ? ( ).

直接利用极坐标与直角坐标的互化公式. B

π? ? π? ? 2.已知 A,B 的极坐标分别是?3, ?和?-3, ?,则 A 和 B 之间的距离等于 4? ? 12? ? ( A. 3 2+ 6 2 B. 3 2- 6 2 3 6-3 2 2 ).

C.

3 6+3 2 2

D.

解析

极坐标系中两点 A(ρ1,θ1),B(ρ2,θ2)的距离|AB|=

2 ρ2+ρ2-2ρ1ρ2cos(θ1-θ2). 1

答案

C

2 ? ? 3.在极坐标系中,已知点 P? 2,3π ?,若 P 的极角满足-π <θ <π ,ρ∈R, ? ? 则下列点中与点 P 重合的是 4 ? ? 5 ? π? ? ? A.? 2, ?,? 2,3π ?,?- 2,3π ? 3? ? ? ? ? ? 8 ? ? 4 ? ? 5 ? ? B.? 2,3π ?,? 2,3π ?,?- 2,3π ? ? ? ? ? ? ? 4 ? ? 5 ? ? 4 ? ? C.?- 2,3π ?,?- 2,3π ?,? 2,-3π ? ? ? ? ? ? ? π? ? D.?- 2,- ? 3? ? 答案 D ( ).

π π? ? 4. 已知点 M 的极坐标是?-2,- ?, 它关于直线 θ= 2 的对称点坐标是 ( 6? ? 11π ? 7π ? ? ? ? A.?2, B.?-2, ? 6 ? 6 ? ? ? π? 11π ? ? ? ? C.?2,- ? D.?-2,- 6? 6 ? ? ? 解析 当 ρ<0 时,我们找它的极角应按反向延长 π π? ? 线上去找.描点?-2,- ?时,先找到角- 6 的 6? ? 终边.又因为 ρ=-2<0,所以再沿反向延长线上

).

π? ? 找到离极点 2 个单位的点即是点?-2,- ?. 6? ? π π 直线 θ= 2 ,就是由极角为 2 的那些点的集合. π π? π? ? ? 故 M?-2,- ?关于直线θ= 2 的对称点为 M′?2, ?,但是选择支没有这 6? 6? ? ? 样的坐标. π? 7π? ? ? 又因为 M′?2, ?的坐标还可以写成 M′?-2, ?,故选 B. 6? 6 ? ? ? 答案 B 二、填空题 3 ? ? π? ? 5. 在极坐标系中, 已知点 A?1,4π ?, ?2, ?, A、 两点间的距离为________. B 则 B ? ? ? 4? 解析 答案 利用极坐标系中两点间距离公式. 5

6.已知点 M 的直角坐标为(-3,-3 3),若 ρ>0,0≤θ<2π ,则点 M 的极坐标 是________. 答案 4 ? ? ?6,3π ? ? ?

π? ? 7.在极坐标系中,已知点 P?3, ?,则点 P 在-2π ≤θ <2π ,ρ ∈R 时的另 3? ? 外三种极坐标形式为__________. 答案 5 ? ? 4 ? ? 2 ? ? ?3,-3π ?,?-3,3π ?,?-3,-3π ? ? ? ? ? ? ?

π? ? 8.(极坐标意义的考查)极坐标系中,点 A 的极坐标是?3, ?,则 6? ? (1)点 A 关于极轴对称的点是________;

(2)点 A 关于极点对称的点的极坐标是________; π (3)点 A 关于直线 θ= 2 的对称点的极坐标是________.(规定 ρ>0,θ∈[0,2 π )) 解析 如图所示,在对称的过程中极径的长度始终没有变化,主要在于极角

的变化.另外,我们要注意:极角是以 x 轴正向为始边,按照逆时针方向得 到的.

答案

11π ? ? ? (1)?3, 6 ? ?

7π ? ? (2)?3, ? 6 ? ?

5π ? ? (3)?3, ? 6 ? ?

三、解答题 π? ? 9.(1)把点 M 的极坐标?-5, ?化成直角坐标; 6? ? (2)把点 N 的直角坐标(- 3,-1)化成极坐标. π π 5 5 (1)x=-5cos 6 =-2 3,y=-5sin 6 =-2. 5? ? 5 ∴点 M 的直角坐标是?-2 3,-2?. ? ? 解 (2)ρ= (- 3)2+(-1)2=2,tan θ = -1 3 =3. - 3

7 又∵点 N 在第三象限,ρ>0.∴最小正角 θ=6π . 7 ? ? 故点 N 的极坐标是?2,6π?. ? ? π? ? 5π ? ? 10.(极坐标的应用)已知 A、B 两点的极坐标分别是?2, ?,?4, ?,求 A、B 3? ? 6 ? ? 两点间的距离和△AOB 的面积. 解 求两点间的距离可用如下公式: ?5π π ? 4+16-2×2×4×cos? - 3 ?= 20=2 5. ? 6 ?

|AB|=

1 1? ?5π π ?? 1 S△AOB=2|ρ 1ρ 2sin(θ1-θ2)|=2?2×4×sin? - ??=2×2×4=4. 3 ?? ? ? 6

11.已知点 Q(ρ,θ),分别按下列条件求出点 P 的极坐标. (1)点 P 是点 Q 关于极点 O 的对称点; π (2)点 P 是点 Q 关于直线 θ= 2 的对称点. 解 (1)由于 P、Q 关于极点对称,得它们的极径|OP|=|OQ|,极角相差(2k+

1)π (k∈Z). 所以, P 的极坐标为(ρ, 点 (2k+1)π +θ)或(-ρ, 2kπ +θ)(k∈Z). π (2)由 P、Q 关于直线 θ= 2 对称,得它们的极径|OP|=|OQ|,点 P 的极角 θ′ 满足 θ′=π -θ+2kπ (k∈Z), 所以点 P 的坐标为(ρ,(2k+1)π -θ)或(-ρ,2kπ -θ)(k∈Z).


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