高考数学综合能力提升与指导 第01讲 集合与简易逻辑 (1)


数学高考综合能力题选讲 1

集合与简易逻辑
100080 北京中国人民大学附中 题型预测
《考试说明》中,对于集合、充要条件已做出明确的要求. 高考中,对于这一部分的考 查,主要集中在: (1)集合本身的性质和运算; (2)集合语言和集合思想的运用; (3)充分 条件和必要条件的判定.

梁丽平

范例选讲 例1 命题甲: x ≠ 2 或 y ≠ 3 ;命题乙: x + y ≠ 5 ,则(
A.甲是乙的充分非必要条件; B.甲是乙的必要非充分条件; C. 甲是乙的充要条件; D.甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件.



讲解 为了进行判断,首先需要构造两个命题:甲=>乙;乙=>甲. 但是,这两个命题都是否定性的命题,正面入手较为困难. 考虑到原命题与 逆否命题的等价性,可以转化为判断其逆否命题是否正确. “甲=>乙” ,即 “ x ≠ 2 或 y ≠ 3 ” =>“ x + y ≠ 5 ” , 其逆否命题为: x + y = 5 ” =>“ x = 2 且 y = 3 ” “ 显然不正确. 同理,可判断命题“乙=>甲”为真命题. 故选择 B. 点评 本题虽然看上去是一个基本的不等量关系,但实质逻辑性很强,容 易选错,解本题的关键:一是从反面入手,利用原命题与逆否命题的等价性,二 是要对逻辑联结词“或” “且”深刻理解与领悟. 例2 已 知 集 合 A = t t使 x x 2 + 2tx 4t 3 ≠ 0 = R

{ {

} }







B = t t使 x x 2 + 2tx 2t = 0 ≠ ,其中 x, t 均为实数.

{ {

} }

(1)求 A ∩ B ;

1

(2)设 m 为实数, g (m ) = m 2 3 ,求 M = {m g (m ) ∈ A ∩ B}. 讲解 (1)集合 A 实际上是:使得 x 2 + 2tx 4t 3 > 0 恒成立的所有实数 t 的 集合. 故令 1 = (2t ) 2 4(4t 3) < 0 ,解得: 3 < t < 1 . 集合 B 实际上是:使得方程 x 2 + 2tx 2t = 0 有解的所有实数 t 的集合. 故令
2 = (2t ) 4 (2t ) ≥ 0 ,解得: t ≥ 0 或 t ≤ 2
2

所以, A = ( 3,1) , B = ( ∞,2] ∪ [0,+∞ ) , A ∩ B = ( 3,2 ) . ( 2 ) 设 g (m ) = u , 则 问 题 ( 2 ) 可 转 化 为 : 已 知 函 数 u = g (m ) 的 值 域 ( u ∈ ( 3,2 ) ) ,求其定义域. 令 3 < m 2 3 < 2 ,可解得: 1 < m < 0或0 < m < 1 . 所以, M = {m 1 < m < 0或0 < m < 1}. 点评 学习数学,需要全面的理解概念,正确地进行表述、判断和推理,这 就离不开对逻辑知识的掌握和运用. 而集合作为近、现代数学的重要基础,集合 语言、集合思想也已经渗透到数学的方方面面. 集合和简易逻辑,是学习、掌握 和使用数学语言的基础. 本题以集合和逻辑为背景,主要考查对数学符号语言的 阅读、理解以及迁移转化的能力.

高考真题
1.

(1985年全国高考)设a,b是两个实数,A={(x,y)│x=n,y=na+b,n是整数},
B={(x,y)│x=,m,y=3m2+15,m是整数}, C={(x,y)│x2+y2≤144}是平面XOY

2.

内的点集合.讨论是否存在a和b使得 (1) A ∩ B = ( 表示空集)(2)(a,b)∈C同时成立. ; ( 2001 年 上 海 高 考 ) 对 任 意 一 个 非 零 复 数 z , 定 义 集 合
M z = w w = z 2 n 1 , n ∈ N

{

}

(1) α 是方程 x + 设

1 = 2 的一个根, 用列举法表示集合 M α . 若在 M α 中 x 任取两个数,求其和为零的概率.

(2)设复数 w ∈ M z ,求证: M w M z
3.

(1993 年全国高考)已知关于 x 的实系数二次方程 x
2

2

+ ax +b =0 有两个实

数根α ,β. 证明: (I ) 如果| α | < 2, | β | < 2, 那么 2| a | < 4 + b 且 | b | < 4 ; (II) 如果 2| a | < 4 + b 且 | b | < 4 , 那么| α | < 2 , | β | < 2 .
2 [答案与提示:1.不存在. 2. M α = (1 + i ), 2 (1 i ), 2 (1 + i ), 2 (1 i ) ,在 2 2 2 2
1 其中任取两数,其和为零的概率为 ;证明略. 3.略. ] 3

3


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