平面向量的坐标运算及共线的坐标表示_图文

平面向量的坐标运算及共线 的坐标表示

复习 平面向量基本定理

?? ?? 如果e1、2是同一平面内的两个 e

不共线的向量,那么对于这一 ? 两向量的夹角 平面内的任一向量a,有且只有 一对实数?1、?2,可使 ? ?? ?? a ? ?1 e1 +?2 e2
y
? a

平面向量的正交分解

平面向量的坐标表示 向量 a 一一对应 点A坐标( x , y )

A(x,y)
? j

? o i

x

例题讲解 ?? ? ? ? 例1.设 i, j为平面内一组单位正交基,已知a ? i ? 4 j , ? ? ? ? ? ? ? b ? ki ? j , 且满足 a ? b, 求a和b的坐标 ? ? 解: 依题意可得: ? (1, -4), b ? ( k ,1) a

? ? ?a ? b ? ? ? 存在唯一的实数?,使得b ? ? a ? ? ? ? ? ? 即 ki ? j ? ? ( i ? 4 j ) ? ? i ? 4? j

?k ? ? 由平面向量基本定理,得 ? ?1 ? -4? ? 1 1 ? b ? ( ? ,1) 解得 k ? ? 4 4

练习 ?? ?? ? ?? 1.已知向量 e1 , e2 不共线,实数x、y满足(3x-4y) e1 + ?? ? ?? ?? ? (2x-3y) e 2 =6 e1 +3 e 2 ,则x﹣y的值等于( A ) A.3 B.-3 C.0 D.2 ? ? ? ? ? ? 2.已知 a , b 不共线,且 c ? ?1 a ? ?2 b (λ1,λ2∈R),若 与 c ? . b 共线,则λ1= 0 ?? ? ? ? ? ? ? 3.设平面内一组单位正交基i , j,若a ? i ? 2 j , b ? 2i ? j, ? ? (1,-2) b的坐标为______. (2,1) 则a的坐标为______, ? ? ? ? ? ? 若c ? 6i ? 2 j,则向量a ? b与c 不能 填“能”或“不能” ____( )
构成一组基底.

? ?? ?? ? ?? ?? ?? ?? 4.已知向量a=2e1 -3e2 ,=2e1 +3e2 , 其中e1,不共线. b e2 ?? ?? ?? (1)用向量a, b表示e1,; e2 ? ? (2)a与b是否共线?请说明理由.

平面向量的坐标运算 ? ? ? ? ? ? ? 思考:已知: ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 求向量a ? b, a ? b,? a. a=

? ? ? ? ? ? 解: ? b=(x1i+y1 j a )+(x 2 i+y 2 j ) ? ? ? ? =x1i+y1 j+x 2i+y 2 j ? ? =(x1 +x 2) i+(y1 +y 2) j ? ? ? ? 即: ? b=(x1 +x 2 , y1 +y 2 ); 同理可得: ? b=(x1 -x 2 , y1 -y 2 ) a a ? ? ? ? ? ? ? a ? ? x1i+y1 j ? ? x1i+? y1 j;即:? a ? (? x1 , ? y1 ) ( )
两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标 的和与差

实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向 量的相应坐标.

平面向量的坐标运算
y2 例2.已知 A( x1 , y1 ),B( x2 , . ) 求
解:

AB
A( x1 , y1 )
y

AB ? OB ? OA

? ( x2 , y2 ) ? ( x1 , y1 ) ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 )

B( x2 , y2 )

O

x

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点 的坐标减去始点的坐标. ? ? ? ? ? ? ? ? 例3.已知 a ? ( 2,1), b ? ( ?3, 4),求 a ? b, a ? b, 3a ? 4b 的坐标。
解: a+b=(2,1)+(-3,4)=(-1,5); a-b=(2,1)-(-3,4)=(5,-3); 3a+4b=3(2,1)+4(-3,4) =(6,3)+(-12,16) =(-6,19)

例4.已知平行四边形ABCD的三个顶点A , B , C 的坐标分 别为(-2,1)(-1,3)(3,4),求顶点D的坐标。
解:设顶点D的坐标为(x,y)

C B A O D

?   ? ( ?1 ? ? 2),? 1)(1, AB ( 3 ? 2) DC ? ( 3 ? x ,4 ? y ) 由AB ? DC,得 (1,2) ? ( 3 ? x ,4 ? y )
1? ?  3 ? x ?    ? ?2 ? 4 ? y ?x ? 2 ?? ?y ? 2

?  顶点D的坐标为(2, 2)

例4.已知平行四边形ABCD的三个顶点A , B , C 的坐标分 别为(-2,1)(-1,3)(3,4),求顶点D的坐标。

C B A O D A B D

C

O

??? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ??? ? ??? ? 提示:先由BD=BA+AD=BA+BC求得BD,再求OD

平面向量共线的坐标表示 ? 1. 向量 与非零向量 b 平行(共线)的等价条件是有且 ? ? 只有一个实数 , 使得a ? b 2. 如何用坐标表示向量平行(共线)的等价条件? 会得到什么样的重要结论? ? ? ? ? 设 a ? ( x , y ), b ? ( x , y ) , b ? 0

? a

?

?



? ? ? x交叉相乘 a ? ( x , ya)? ?b 得 , y2 中,至少有一个不为0 ,则由 2 1 1
1 1
2 2

( x1 , y1 ) ? ? ( x2 , y2 ) ? (? x2 , ? y2 )

? x1 ? ? x2 ??(1) ? (1)* y2 ? (2)* x2 : ?? ? y1 ? ? y2 ??(2) b ? ( x2 , y2 ) x1 y2 ? x2 y1 ? ? x2 y2 ? ? y2 x2 ? 0

这就是说:

x1 y2 ? x2 y1 ? 0

? ? ? ? a // b (b ? 0) 的等价条件是

平面向量共线的坐标表示 3、向量平行(共线)的两种形式:

? ? ? ? ? ? (1)a // b (b ? 0) ? a ? ?b ; ? ? ? ? ? ? (2)a // b (a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), b ? 0) ??x1 y2 ? x2 y1?? 0

? ? 例5.已知 a ? (4, 2), b ? (6, y ), 且a / / b , 求y .

? ? 解: a?? b, ? ? y=3

? 4y-2 ? 6=0

例6. 已知A(-1,-1) (1,3) (2,5) ,B ,C ,试判断 A,B,C三点之间的位置关系。
解:如图,平面直角坐标系中作出A,B,C三点, 观察图形,我们猜想A、B、C三点共线。证明如下:
y

· ·
C B 1

???? ? AB=(1-(-1) -(-1))=(2,4) ,3 ???? AC=(2-(-1) -(-1))=(3,6) ,5

又? 2 ? 6-3 ? 4= 0,
O A

·

x

??? ??? ? ? ? AB?? AC

又? 直线AB、直线AC有公共点A, ? A、B、C三点共线。

例7.设点P是线段P1P2上的一点,P1、P2的坐标分别是

( x1 , y1 ),( x2 , y2 ) 。
(1)当点P是线段P1P2的中点时,求点P的坐标; (2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时,求点P的坐标。

???? ???? (3)若P1 P ? ? PP2 ,时,P点的坐标是什么?(思考)
M

y
P P1

P2

O
(1)

x

解:(1) ??? 1 ???? ???? ? ? OP ? (OP1 ? OP2 ) 2 x1 ? x2 y1 ? y2 ?( , ) 2 2
所以,点P的坐标为(
x1 ? x2 y1 ? y2 , ) 2 2

例7.设点P是线段P1P2上的一点,P1、P2的坐标分别是

( x1 , y1 ),( x2 , y2 ) 。
(1)当点P是线段P1P2的中点时,求点P的坐标; (2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时,求点P的坐标。

???? ???? (3)若P1 P ? ? PP2 ,时,P点的坐标是什么?(思考)
M y

y
P P1

P2

P2 P1

P

O
(1)

x

O

x

(2)

???? ? 有向线段 P1 P2 的定比分点坐标公式与定比分值公式。
x1 ? ?x 2 ? ?x ? 1? ? ? ? ? y ? y1 ? ?y 2 ? ? 1? ?

x ? x1 y ? y1 ?? = 或? = x2 ? x y2 ? y (? ? ?1)

注意:

在运用公式时,要注意 分清起点坐标、终点坐 标和分点 坐标,在每个等式中涉 及到四个不同的量,它 们分别是 三个坐标和定比?,只要知道其中的任意 三个量便可以 求出第四个量。
① ? 的符号由点P在线段P1P2上,还是在P1P2或P2P1

的延长线上决定。

| P1 P | 起点到分点的有向线段的长度 ② | ? |? ,即 | ? |? | PP2 | 分点到终点的有向线段的长度

小结与作业 ? 1.求向量a的起点A的坐标( x1 , y2 ), 终点B的坐标( x2 , y2 ) ? 则向量a的坐标为

a ? AB ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 )
2、向量平行(共线)的两种形式:

? ? ? ? ? ? (1)a // b (b ? 0) ? a ? ?b ; ? ? ? ? ? ? (2)a // b (a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), b ? 0) ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0

? ? ? ? ? ? 1.已知a =(1,2),b ? ( x ,1), 若a +2b与2a ? b平行, 则x的值为? _____. ? 解:a ? 2b ? (1, 2) ? 2( x ,1) ? (1 ? 2 x , 4) ? ? 2a ? b ? 2(1, 2) ? ( x ,1) ? ( 2 ? x , 3) ? ? ? ? ? a +2b与2a ? b平行 ? 4( 2 ? x ) ? 3(1 ? 2 x ) ? 0 8 ? 4x ? 3 ? 6x ? 0 5 ? 10 x ? 0 1 x? 2

2.已知A(4, 7), B(2, 4), C ( ?6, y)三点共线,则y的值为____.
解: ???? AB ? ( 2 ? 4, 4 ? 7 ) ? ( ?2, ?3) ???? BC ? ( ?6 ? 2, y ? 4) ? ( ?8, y ? 4) ? A , B , C 三点共线 ???? ??? ? ? AB?? BC ? ( ?8) ? ( ?3) ? ( ?2) ? ( y ? 4) ? 0 24 ? 2 y ? 8 ? 0 2 y ? ?16 y ? ?8

3.已知点A(0,1),B(1,0),C(1,2),D(2,1), 试判断AB与CD的位置关系,并给出证明.
y A 0

· ·· ·
C D B x

解:在直角坐标系中做出A,B,C,D四点, ???? ???? 由图形猜想AB?? CD,证明如下: ???? ???? ? AB=(1-0,0-1)=(1,-1), CD=(2-1.1-2)=(1,-1) ? 1 ? (-1)-1 ? (-1)=0 ???? ???? ? AB?? CD 显然AB与CD无公共点 ? AB??CD

? ? ? 4.平面内给定三个向量a ? (3, 2), b ? ( ?1, 2), c ? ( 4,1), 回答下列问题: ? ? ? (1)求 3a +b ? 2c; ? ? ? ( 2)求满足 a =mb ? nc的实数m , n; ? ? ? 解:(1) 3a ? b ? 2c ? 3(3, 2) ? ( ?1, 2) ? 2( 4,1)

? (9 ? 1 ? 8, 6 ? 2 ? 2) ? (0, 6) ? ? ? (2) ? a ? (3, 2), mb ? nc ? m( ?1, 2) ? n( 4,1) ? ( ? m ? 4n, 2m ? n) ? (3, 2) ? ( ? m ? 4n, 2m ? n) ? 3= ? m ? 4n 即? ? 2= 2m ? n 解得 ? 8 ? n= 9 ? ? ? m= 5 ? 9 ?

例题讲解 ? ? ? ? ? ? ? 例2.如图,分别用基底 i , 表示向量 a 、 、 、 , j b c d 并求出它们的坐标。 y A2 解:如图可知 ? ???? ???? ? ? ? ? ? ? a a ? AA1 ? AA2 ? 2i ? 3 j b ? ? a ? ( 2, 3) A1 A 同理 ? ? ? b ? ?2i ? 3 j ? ( ?2, 3); O x ? ? ? c ? ?2i ? 3 j ? ( ?2, ?3); ? ? ? ? ? ? c d ? 2i ? 3 j ? ( 2, ?3). d


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