数学2.3.1离散型随机变量的均值与方差[1]_图文

一、复习回顾 1、离散型随机变量的分布列 X x1 x2 · · · · · · xi · · · · · · P p1 p2 pi 2、离散型随机变量分布列的性质: (1)pi≥0,i=1,2,…; (2)p1+p2+…+pi+…=1. 复习引入 对于离散型随机变量,可以由它的概率分布列确 定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中, 有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例 如,要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平, 很重要的是看平均分;要了解某班同学数学成绩是否 “两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。 我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某 个方面的特征,最常用的有期望与方差. 算术平均数 ? 如果你期中考试各门成绩为: 90、80、77、68、85、91 那你的平均成绩是多少? x1 ? x2 ? ... ? xn x? n 加权平均数 ? 你的期中数学考试成绩为70,平时 表现成绩为60,学校规定:在你学 分记录表中,该学期的数学成绩中 考试成绩占70%、平时成绩占30%, 你最终的数学成绩为多少? x ? a1 x1 ? a2 x2 ? ... ? an xn a1 ? ... ? an ? 1 加权平均数 ? 权:称棰,权衡轻重的数值; ? 加权平均:计算若干数量的平均数 时,考虑到每个数量在总量中所具 有的重要性不同,分别给予不同的 权数。 二、互动探索 1、某人射击10次,所得环数分别是:1,1,1, 1,2,2,2,3,3,4;则所得的平均环数是 多少? 1?1?1?1? 2? 2? 2? 3? 3? 4 X? ?2 10 X P 1 2 3 4 把环数看成随机变量的概率分布列: 4 10 3 10 2 10 1 10 权数 加 权 平 均 4 3 2 1 X ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 2 10 10 10 10 某商场为满足市场需求要将单价分别为18元/kg ,24 元/kg ,36元/kg 的3种糖果按3:2:1的 比例混合销 售,其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等,如 何对混合糖果定价才合理? 定价为 18×1/2+24×1/3+36×1/6 =23元/kg 糖果所属种类的单价(元 18+24+36 ? 26 3 可以吗? 假如从这种混合糖果中随机选取一颗,记X为这颗 kg ),你能写出X的分布列吗? 假如从这种混合糖果中随机选取一颗,记X为这颗 如果你买了1kg这种混合 糖果所属种类的单价(元 ),你能写出X的分布列吗? kg 糖果,你要付多少钱? 而你买的糖果的实际价值 解:随机变量X 可取值为 18 , 24和36 刚好是 23 元吗? 1 1 1 而P( X ? 18) ? , P( X ? 24) ? , P( 样本平均值 X ? 36) ? 2 3 6 所以X分布列为 x 18 24 36 合理定价=随机变量的每个取值与其对应 随机变量均值 p 1/2 1/3 1/6 的概率的乘积之和. (概率意义下的均值) 18×1/2+24×1/3+36×1/6 =18×P(X=18)+24×P(X=24)+36×P(X=36)=23 1、离散型随机变量均值的定义 一般地,若离散型随机变量X的概率分布为 X P x1 p1 x2 … p2 … xi pi … … xn pn 则称 EX ? x1 p1 ? x2 p2 ? ? xi pi ? xn pn为随机变量 X的均值或数学期望,数学期望又简称为期望。 它反映了离散型随机变量取值的平均水平。 练习1 离散型随机变量 X 的概率分布列为 X P 1 0.01 100 0.99 ①求X可能取值的算术平均数 ②求X的均值 1 ? 100 解:(1)X ? ? 50.5 2 (2)EX ? 1? 0.01 ? 100 ? 0.99 ? 99.01 例题1 随机抛掷一个均匀的骰子,求所得骰子 你能归纳求离散型随机变量均值的步骤吗 ? 的点数X的均值 解:随机变量X的取值为1,2,3,4,5,6 其分布列为 X 1 2 3 4 5 6 P 1/6 1/6 1/6 你能理解 3.5 1/6 的含义吗? 1/6 1/6 所以随机变量X的均值为EX=1× 1/6+2× 1/6 +3×1/6+4× 1/6+5× 1/6+6× 1/6=3.5 变式:将所得点数的2倍加1作为得分数, 即Y=2X+1,试求Y的均值? 例题1 随机抛掷一个均匀的骰子,求所得骰子 你能归纳求离散型随机变量均值的步骤吗 ? 的点数X的期望 解:随机变量X的取值为1,2,3,4,5,6 其分布列为 Y 3 5 7 9 11 13 P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 所以随机变量Y的均值为 EY =3× 1/6+5× 1/6 +7×1/6+9× 1/6+11× 1/6+13× 1/6=8 变式:将所得点数的2倍加1作为得分数, 即Y=2X+1,试求Y的均值? =2EX+1 (3)性质:如果X为(离散型)随机变量,则Y=aX+b(其中a, b为常数)也是随机变量,且P(Y=axi+b)=P(X=xi),i=1, 2,3,…,n.E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b. 想一想:随机变量的均值与样本的平均值有何联系与区别? 提示 (1)随机变量的均值是常数,而样本的均值,随样本 的不同而变化.(2)对于简单随机样本,随着样本容量的增 加,样本平均值越来越接近于总体均值. 两点分布与二项分布的均值 2. X X服从两点分布 X~B(n,p) np ___ E(X) p (p为成功概率) __ 若Y=aX+b,则EY=aEX+b 证:设离散型随机变量X的概率分布为 X x1 x2 … xi … xn pn p1 p2 … pi … 而P(Y ? axi ? b) ? P

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