安徽省桐城中学高中数学《1.3.1第一课时函数的单调性》课件 新人教版必修1_图文

问题情境 赵 州 桥 动脑思考 探索新知 定义形 成 问题1:这两个函数图象的变化趋势? (上升?下降?) 问题2:函数在区间 在区间 内y随x的增大而增大, 内y随x的增大而减小; 动脑思考 探索新知 减函数 如果函数f(x)在给定区间上 增函数 如果函数f(x)在给定区间上 随着x的增大而增大, 则f(x)在这个区间上增函数。 图 像 法 判 断 单 调 性 随着x的增大而减少, 则f(x)在这个区间上减函数。 通过图像很容易判断函数的单调性, 但是给出f(x)的解析式时如何确定函数的单调性? 一般地,设函数y = f(x) 的定义域为A,区间I ? A. 那么就说y=f ( x)在区间I 上是单调增函数,I 称为y=f ( x)的单调增区间. 如果对于区间I内的任意两个值x1、x2,当x1<x2时,都有f ( x1 )<f ( x2 ), 如果对于区间I内的任意两个值x1、x2,当x1<x2时,都有f ( x1 ) ? f ( x2 ), 那么就说y=f ( x)在区间I 上是单调减函数,I 称为y=f ( x)的单调减区间. 升华讲解 动脑思考 探索新知 定义中的“任 意”能省略吗? 图象在区间I是单调增函数 当x的值增大时,函数值y也增大 区间内有两点x1 , x2 ,当x1 ? x2时,有f(x1 )<f(x2 ) 问题3:若区间内有两点x1 ? x2时,有f ( x1 ) ? f ( x2 ) 能否推出f ( x)是单调递增函数? 动画演示 单调函数的关键词: 同一区间、任意性、有大小等(通常规定x1 ? x2 ) y f ( x2 ) f ( x1 ) x1 0 x2 x 升华定义 动脑思考 探索新知 定义中的“任 意”能省略吗? 图象在区间I是单调增函数 当x的值增大时,函数值y也增大 区间内有两点x1 , x2 ,当x1 ? x2时,有f(x1 )<f(x2 ) 问题3:若区间内有两点x1 ? x2时,有f ( x1 ) ? f ( x2 ) 能否推出f ( x)是单调递增函数? 动画演示 单调函数的关键词: 同一区间、任意性、有大小等(通常规定x1 ? x2 ) 思考交 流 -6 -5 -4 -3 -2 -1 y 写出函数的递增区间和递减区间? 0 1 2 3 4.5 6 7 8 9 x 问题3:函数在哪些区间y随x的增大而增大? 在哪些区间y随x的增大而减小? 问题4:区间是写开区间还是闭区间? 问题5:递增区间能用U连接起来吗? 升华定义 动脑思考 探索新知 归纳: 1) 所研究的单调区间应为函数的定义域或其子区间。 2) 函数可能在整个定义域内没有单调性, 而只在其子区间内有单调性。 3)不能在一点处说函数的单调性。 4)多个单调增(减)区间用逗号分隔,而不用“∪”。 (三)运用定义 动脑思考 探索新知 例题1:画出函数f (x)=3x +2的图像,判断它的单调性, 并加以证明。 作差法证明函数单调性的步骤: 1.取值:设任意x1、x2属于给定区间,且x1< x2 2.作差变形:作差f(x1)-f(x2)并适当变形; 3.确定差符号:确定f(x1)-f(x2)的正负; 4.下结论:由定义得出函数的单调性. 例1: 画出函数f (x)=3x +2的图像,判断它的单调性, 并加以证明。 f(x)=3x+2 2 y 取值 作差 变形 定号 证明:设x1,x2是R上的任意两个实数,且x1<x2, x -1 0 -1 则f(x1)-f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2) =3(x1- x2) 由x1<x2 ,得 x1- x2 <0 即 f(x1)<f(x2) 于是 f(x1)-f(x2)<0 所以,函数f(x)=3x+2在R上是增函数。 下结 例2 说出函数f(x)=1/x 的单调区间,并指出 在该区间上的单调性。 解:(-∞,0)和(0,+∞)都是函f(x)=1/x 的单调区间,在这两个区间上函数f(x)=1/x 都 是递减的。 (四)巩固练习 动脑思考 探索新知 课上练习: 练习:试判断函数f ( x) ? x 2 ? 2 x在(1,+?)上是增函数还是减函数? 并给予证明. 思考题: 1:一次函数 y=kx+b (k≠0) 的单调性?(简单含参) 2.函数f(x)在R上单调递增(递减),那么 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的符号有何规律? x1 ? x2 练习:试判断函数f ( x) ? x2 ? 2 x在(1,+?)上是增函数 还是减函数?并给予证明. 证明:设x1,x2是(0,+∞)上任意两个实数,且x1<x2, 则f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x12 ? 2 x1 ) ? ( x2 2 ? 2 x2 ) ? ( x ? x2 ) ? 2( x1 ? x2 ) 2 1 2 ? ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ? 2) 取值 作差变形 1 ? x1 ? x2 即( x1 ? x2 ) ? 0, (x1 ? x2 -2) >0 ? ( x1 ? x2( ) x1 ? x2 -2) ?0 故f(x)在(1,+?)上为增函数。 定号 下结论 y 动脑思考 探索新知 解:设x1 , x2 ? R, 且x1 ? x2 , o x 则f(x1 )-f(x2 )=(kx1 +b)-(kx 2 +b) =k(x1 -x2 ) x1 ? x2 , 即x1 ? x2 ? 0 y=kx+b (k>0) y o x 若k>0时,f(x1 )-f(x2 )<0,即f(x1 )<f(x 2 ) 故:当k>0时,f ( x)在R上单调递增 当k<0时,f(x1 )-f(x2 )>0,即f(x1 )>f(x2 ) 故:当k<0时,f(x)在R上单调递减 y=kx+

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