高考数学一轮复习北师大版函数的奇偶性和周期性名师公开课省级获奖课件_图文

第二章 函数与基本初等函数 第4课时 函数的奇偶性和周期性 1.了解奇函数、偶函数的定义,并能运用奇偶性的定义 判断一些简单函数的奇偶性. 2.掌握奇函数与偶函数的图像对称关系,并能熟练地利 用对称性解决函数的综合问题. 请注意 函数的奇偶性在高考中占有重要的地位,在命题时主要 是与函数的概念、图像、性质综合在一起考查.而近几年的 高考中加大了对非三角函数的周期性和抽象函数的奇偶性、 周期性的考查力度. 课前自助餐 授人以渔 自助餐 题组层级快练 课前自助餐 1.奇函数、偶函数、奇偶性 对于函数f(x),其定义域关于原点对称: (1) 如 果 对 于 函 数 定 义 域 内 任 意 一 个 x , 都 有 f(-x)=-f(x) ,那么函数f(x)就是奇函数; (2)如果对于函数定义域内任意一个x,都有 f(-x)=f(x) , 那么函数f(x)就是偶函数; (3) 如果一个函数是奇函数 ( 或偶函数 ) ,那么称这个函数 在其定义域内具有奇偶性. 2.证明函数奇偶性的方法步骤 (1)确定函数定义域关于 原点 对称; (2)判定f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x)),从而证得函数是奇 (偶)函数. 3.奇偶函数的性质 (1)奇函数图像关于 原点 对称,偶函数图像关于 y轴对 称; (2)若奇函数f(x)在x=0处有意义,则f(0)= 0 ; (3)若奇函数在关于原点对称的两个区间上分别单调,则 其单调性 一致 ; 若偶函数在关于原点对称的两个区间上分别单调,则其 单调性 相反 . (4)若函数f(x)为偶函数,则f(x)=f(|x|),反之也成立. 4.一些重要类型的奇偶函数 (1)函数f(x)=ax+a-x为 偶 函数,函数 f(x) = ax - a - x 为 奇 函数; ax-a-x a2x-1 (2)函数 f(x)= x -x= 2x (a>0 且 a≠1)为 奇 函数; a +a a +1 1-x (3)函数 f(x)=loga 为 奇 1+x 函数; (4)函数 f(x)=loga(x+ x2+1)为 奇 函数. 5.周期函数 若f(x)对于定义域中任意x均有 f(x+T)=f(x) (T 为 不 等 于 0的常数),则f(x)为周期函数. 6.函数的对称性 若f(x)对于定义域中任意x,均有f(x)=f(2a-x),或f(a+x) =f(a-x),则函数f(x)关于 x=a 对称. 1.判断下列说法是否正确(打“√”或“×”). (1) 偶函数图像不一定过原点,奇函数的图像一定过原 点. (2)函数f(x)=0,x∈(0,+∞)即是奇函数又是偶函数. (3) 若函数 y = f(x + a) 是偶函数,则函数 y = f(x) 关于直线 x =a对称. (4)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)关于点(b,0) 中心对称. ?x+1??x+a? (5)若函数 f(x)= 为奇函数,则 a=-1. x (6)若函数f(x)在定义域上满足f(x+a)=-f(x),则f(x)是周 期为2a(a>0)的周期函数. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√ (6)√ 2.下列函数为偶函数的是( A.y=sinx C.y=ex 答案 D ) B.y=x3 D.y=ln x2+1 解析 选项中的四个函数的定义域都是 R.选项 A,y= sinx 为奇函数.选项 B,幂函数 y=x3 也为奇函数.选项 C, 指数函数 y=ex 为非奇非偶函数.选项 D,根据函数奇偶性 的定义可以判断为偶函数.令 f(x)=ln x2+1,得到 f(-x)= ln ?-x?2+1=ln x2+1=f(x),所以选 D. 3 . (2014· 新课标全国Ⅰ) 设函数 f(x) , g(x) 的定义域都为 R ,且 f(x) 是奇函数, g(x) 是偶函数,则下列结论中正确的是 ( ) A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 答案 C 解析 D.|f(x)g(x)|是奇函数 利 用 函 数 奇 偶 性 的 定 义 求 解 . A 项 , 令 h(x) = f(x)· g(x) , 则 h( - x) = f( - x)· g( - x) = - f(x)· g(x) = - h(x) , ∴h(x)是奇函数,A错. B 项 , 令 h(x) = |f(x)|g(x) , 则 h( - x) = |f( - x)|g( - x) = |-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x)=h(x),∴h(x)是偶函数,B错. C项,令 h(x) = f(x)|g(x)| , 则 h( - x) = f( - x)|g( - x)| = - f(x)|g(x)| = - h(x),∴h(x) 是奇函数,C正确.D项,令h(x) =|f(x)·g(x)|,则 h(-x)=|f(-x)·g(-x)|=|-f(x)·g(x)|=|f(x)·g(x)|=h(x),∴h(x) 是偶函数,D错. 4 .若函数y=f(x)(x∈R) 是奇函数,则下列坐标表示的点 一定在函数y=f(x)图像上的是( A.(a,-f(a)) C.(-a,-f(-a)) 答案 B ) B.(-a,-f(a)) D.(a,f(-a)) 解析 ∵函数y=f(x)为奇函数,∴f(-a)=-f(a). 即点(-a,-f(a))一定在函数y=f(x)的图像上. 5. (2015· 山西四校联考)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 3 f(x)=-f(x+ ),且 f(2)=3,则 f(2 015)=________. 2 答案 3 3 解析 ∵f(x)=-f(x+ ), 2 3 3 3 ∴f(x+3)=f[(x+ )+ ]=-f(x+ )=f(x). 2 2 2 ∴f(x

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