安徽省安庆一中2013届高三第三次模拟考试 数学理 Word版含答案


安庆一中 2013 届高三年级第三次模拟考试 数学(理科)试卷
第Ⅰ 卷(选择题,共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.已知 i 为虚数单位,则复数{ EMBED Equation.DSMT4 A.1 B.-1 C.i |
4 ? 3i =( (2 ? i ) 2

)

D.-i )

2.设全集 U ? R , A = { x | x( x - 2) < 0 } , B = { x | y = ln(1- x) } ,则(
( ) A. ? 2, 1

B. [1, 2)

C. (?2, 1] )

( D. 1, 2)

3.执行如图所示程序框图,输出结果 S( A.1 B.2 C.6
开始

D.10

n=1,S=1,T=1 T>7? 否
n S=T一(-1) S



输出S

结束

T=T+2

n = n+1

第 3 题图

第 4 题图 ) D.

4.如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( A.1 B. C.

5.设随机变量 X ~ N ?1,52 ? ,且 P ? X ? 0? ? P ? X ? a ? 2? ,则实数 a 的值为 ( ) A.4 B.6 C.8 D.10 6. 已知数字发生器每次等可能地输出数字或中的一个数字,则连续输出的个数 字之和能被 3 整除的概率是( ) A. B. C. D. 7. 定义在上的函数 ,则满足的的取值范围是( A.(-2,2) B.(-,2) C.(2,) ) D.(-1,2) )

8.如果数列,,?, , ,?是首项为 1,公比为的等比数列,则(

A.32

B.64

C.-32

D.-64

9.若、为双曲线的左、右焦点,为坐标原点,点在双曲线的左支上,点在双曲线 的直线上,且满足: ,则该双曲线的离心率为( ) A. B. C. D.3 10. 函数 f ( a) ? (3m ? 1)a ? b ? 2m ,当 m??0,1? 时, 0 ? f (a ) ? 1恒成立,则 最大值与最小值之和为( A.18 B.16 ) C.14 D.
49 4

9a2 ? b2 的 ab

第Ⅱ 卷(非选择题共 100 分)
二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相 应位置. 11.设 p:|4x-3|≤1,q: x 2 -(2a+1)x+a(a+1)≤0,若 p 是 q 的充分而不必要条件, 则实数 a 的取值范围是____________.
2 ? ?x ? t 2 ?1 ? 12.已知曲线 C : ? ,其中为参数,则曲线 C 被直线 l : ? cos(? ? ) ? 1 所 2t 3 ?y ? 2 t ?1 ?

截得的弦长为
1 2

.[Z
6

? 1 13.已知 a ? ? (1 ? 1 ? x )dx, 则 ?(a ? ) x ? ? 展开式中的常数项为__________. ? ?1 2 x? ? ?
14.已知是锐角的外接圆圆心, ,若,且,则_______________. 15.已知两点,若直线上存在点,使,则称该直线为“和谐直线”.现给出下列直 线:①;②;③;④,其中为“和谐直线”的是 (请写出符合题意的所 有编号) . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内. 16.(本小题满分 12 分) 已知函数,其中 (1)求函数在上的单调递增区间和最小值; (2)在中,分别是角的对边,且,求的值.

17. (本小题满分 12 分) 已知四边形 ABCD 是菱形, ?BAD ? 600 四边形 BDEF 是矩形,平面 BDEF ? 平

面 ABCD , G、H 分别是 CE、CF 的中点. (1)求证 : 平面 AEF / / 平面 BDGH ; (2)若平面 BDGH 与平面 ABCD 所成的角为 60 0 , 求直线 CF 与平面 BDGH 所成的角的正弦值.

18.(本小题满分 12 分) 甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为,假定各次射击相互之间不受 影响,则三人各射击一次,击中目标的次数记为. (1)求的分布列及数学期望; (2)在概率中,若的值最大,求实数的取值范围.

19. (本小题满分 13 分) 已知数列中,. , (1)设,求; (2)记,求数列的前项和.

20.(本小题满分 13 分) 已知函数. (1)求的最小值; (2)已知: ,求证: ; (3)图象上三点 A、B、C,它们对应横坐标分别为,,且, , ,为公差为 1 等差数 列,且均大于 0,比较与的大小.

21. (本小题满分 13 分) 如图,已知椭圆的左、右焦点分别为,若以为圆心,为半径作圆,过椭圆上一 点作此圆的切线,切点为,且的最小值不小于为. (1)求椭圆的离心率的取值范围; (2)设椭圆的短轴长为,圆与轴的右交点为,过点作斜率为的直线与椭圆相交

于两点,若,求直线被圆截得的弦长的最大值.
y P

O T

F2

x

参考答案 一.选择题: 1. C 2.B 3.A 二.填空题: 11. 4.B 5.A 6.C 7.D 8.A 9.C 10.B

? 1? ?0, 2 ? ? ?

12.

13.

14.10

15.①④

三.解答题: 16.

………3 分 由单调递增知:……..…4 分
..............…5分 …............ 6分

..............…8分

..............…12分

17. 解:

(1) G、H 分别是 CE、CF 的中点 所以 EF / / GH ------------① 连接 AC 与 BD 交与 O ,因为四边形 ABCD 是菱形,所以 O 是 AC 的中点 连 OG , OG 是三角形 ACE 的中位线 OG / / AE ---------② 由①②知,平面 AEF / / 平面 BDGH (2) BF ? BD, 平面 BDEF ? 平面 ABCD ,所以 BF ? 平面 ABCD 取 EF 的中点 N , ON / / BF ? ON ? 平面 ABCD ,

,0 0, 建系 {OB,OC,ON} ,设 AB ? 2,BF ? t ,则 B ?1 0,? , C 0,3, 0 , F ?1, t ? ,

??? ??? ???? ? ?

?

?

? ???? ? 1 3 t ? ? 1 3 t ? ??? H? , , ? , OB ? ?1, 0, 0 ? , OH ? ? , ?2 2 2? ?2 2 ,2? ? ? ? ? ?, ?? 设平面 BDGH 的法向量为 n1 ? ? x, y, z ?

?? ??? ? ? n1 ? OB ? x ? 0 ?? ? ,所以 n1 ? 0, ?t , 3 ? ?? ???? 1 3 t y? z ?0 ?n1 ? OH ? x ? ? 2 2 2 ?? ? 平面 ABCD 的法向量 n2 ? ? 0,0,1?

?

?

?? ?? ? | cos ? n1 , n2 ?|?
??? ?

3 3 ? t2

?

1 2 ,所以 t ? 9, t ? 3 2

所以 CF ? 1, ? 3,3 ,设直线 CF 与平面 BDGH 所成的角为 ?

?

?

sin ? ?| cos?CF , n1 ? |?

6 3 3 13 ? 13 13 ? 2 3

18. 解: (1)设是“个人射中,个人未射中”的概率,其中的可能取值为 0,1,2,3. , 所以的分布列为

0

1

2

3

的数学期望为. (2)由, , , 可得及,解得. 即实数的取值范围是. 19. 证明: (1)由条件,得, 则. 即,所以, . 所以是首项为 2,公比为 2 的等比数列. ,所以.两边同除以,可得.于是为以首项,- 为公差的等差数列.所以. (2) ,由,则. 而. (3)∴. , ∴. 令 Tn=, ① 则 2Tn=. ② ①-②,得 Tn=,Tn=. ∴. 20.(1) ,时,时, 故在时,取最小值, 分) (4 (2)由(1)可得: ,故: , 只需证明,只需比较与大小 ∵,∴,故结论成立 (3) , ∵在为增函数,∴, ∴比较和大小,只需比较和大小 (9 分)

∵ ∴<∴ 21.解析: (1)依题意设切线长 | PT |? | PF2 | ?(b ? c)
2 2

∴当且仅当 | PF2 | 取得最小值时 | PT | 取得最小值,而 | PF2 |min ? a ? c ????2 分

? (a ? c)2 ? (b ? c) 2 ?

b?c 1 3 2 3 ? ,从而解得 ? e ? (a ? c) ,? 0 ? ,故离心率 e a?c 2 5 2 2

3 2 ?e? ; ????????????5 分 5 2 (2)依题意 Q 点的坐标为 (1, 0) ,则直线的方程为 y ? k ( x ? 1) 设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) , ,
的取值范围是

? y ? k ( x ? 1) ? 联立方程组 ? x 2 得 (a2 k 2 ? 1) x2 ? 2a2k 2 x ? a2k 2 ? a2 ? 0 , 2 ? 2 ? y ?1 ?a 2a 2 k 2 a2k 2 ? a2 由根与系数的关系,则有 x1 ? x2 ? 2 2 , x1 x2 ? 2 2 ,???????7 分 a k ?1 a k ?1 k 2 (1 ? a 2 ) k 2 ? a2 代入直线方程得 y1 y2 ? k 2 [ x1x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1] ? 2 2 , x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 2 2 , a k ?1 a k ?1 ??? ??? ? ? 又 OA ? OB ,?OA ? OB ? 0,? x1x2 ? y1 y2 ? 0,?k 2 ? a2 ,? k ? a ,???????9 分 | ac ? a | 直线的方程为 ax ? y ? a ? 0 ,圆心 F2 (c , 0) 到直线 l 的距离 d ? ,由图象可知 a2 ? 1

s?

2d 2 | c ? 1| c 2 ? 2c ? 1 c 2 ? 2c ? 1 4 ? ?2 ?2 ? 2 1? , 2 2 9 a a ?1 c ?2 a2 ? 1 2c ? 1 ? ?2 2c ? 1

?

3 5 3 2 2 41 2 41 ?e? ] ,所以 smax ? ,? ? c ? 1, ? 2c ? 1 ? 3 ,? s ? (0, . 4 2 5 2 41 41
??????????????????13 分


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