《走向高考》2014高三数学二轮专题复习课件:1-5导数及其应用_图文

走向高考· 数学
新课标版 ·二轮专题复习

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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专题一

集 合 与 常 用 逻 辑 用 语 、 函 数 与导数

专题一 集合与常用逻辑用语、函数与导数

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专题一
第五讲 导 数 及 其 应 用

专题一

第五讲

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考向聚焦

3

高频考点

核心整合

4

课后强化作业

专题一

第五讲

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考向聚焦

专题一

第五讲

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考向分析 ( 1 ) 利用导数的几何意义求曲线的切线方程. ( 2 ) 利用导数的有关知识,研究函数的单调性、极值和最 值,进而解(证)不等式. ( 3 ) 用导数解决日常生活中的一些实际问题,以及与其他 知识相结合,考查常见的数学思想方法. ( 4 ) ( 理)考 查 定 积 分 的 性 质 及 几 何 意 义 .

专题一

第五讲

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命题规律 这是高考的重点必考内容, 一般命制一个大题或一大一小 两个题. ( 1 ) 导数的几何意义是高考考查的重点内容,常与解析几 何的知识交汇命 题 , 多 以 选 择 题 、 填 空 题 的 形 式 考 查 , 有 时 也 会出现在解答题中的关键一步. ( 2 ) 利用导数研究函数的单调性、极值、最值以及解决生 活中的优化问题,已成为近几年高考的主要考点.

专题一

第五讲

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( 3 ) 选择题、填空题侧重于利用导数确定函数的单调性和 极 值 ; 解 答 题 侧 重 于 导 数 与 函 数 、 解 析 几 何 、 不 等 式 、 数 列 等 知识的综合应用,一般难度较大,属于中高档题. ( 4 ) ( 理)对 定 积 分 部 分 的 考 查 以 利 用 微 积 分 基 本 定 理 求 定 积分和曲边平面图形面积为主,高考出题较少,一般是一个小 题,有时也可能在大题中的一个问题中涉及.

专题一

第五讲

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核心整合

专题一

第五讲

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知识方法整合 1.导数的定义 f?x+Δx?-f?x? Δy f ′(x)=Δ lim lim . x→0 Δx=Δ x→0 Δx 2.导数的几何意义 ( 1 ) 函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数 f ′(x0)就是曲线 y=f(x) 在点(x0,f(x0))处的切线的斜率,即 k=f ′(x0). ( 2 ) 曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处 的 切 线 方 程 为 ′(x0)(x-x0). y-f(x0)=f

专题一

第五讲

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3.导数的运算 ( 1 ) 基本初等函数的导数公式 ①c′=0(c 为常数); ③( s n i x)′=c o s x ; ⑤(ex)′=e;x ②(xm)′=mxm-1;

④( c o s x)′=-s n i x;

⑥(ax)′=axlna; 1 ax)′= xlna.

1 ⑦n ( l x)′= x; ⑧o ( lg

专题一

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( 2 ) 导数的四则运算法则 ①[f(x)± g(x)]′=f ′(x)± g′(x); ②[f(x)· g(x)]′=f ′(x)g(x)+f(x)g′(x); f ′?x?g?x?-f?x?g′?x? f?x? ③[ ]′= . 2 g?x? g ?x? ④(理)设 y=f(u),u=φ(x),则 y′x=y′uu′x.

专题一

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4.函数的性质与导数 在区间(a,b)内,如果 f ′(x) > 0 ,那么函数 f(x)在区间(a, b)上单调递增. 在区间(a,b)内,如果 f ′(x) < 0 ,那么函数 f(x)在区间(a, b)上单调递减.

专题一

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5.导数的应用 ( 1 ) 求可导函数 f(x)极 值 的 步 骤 ①求导数 f ′(x); ②求方程 f ′(x)=0 的 根 ; ③检验 f ′(x)在方程 f ′(x)=0 的 根 的 左 、 右 的 符 号 , 如

果在根的左侧附近为正, 右侧附近为负, 那么函数 y=f(x)在这 个根处取得极大值; 如果在根的左侧附近为负, 右侧附近为正, 那么函数 y=f(x)在 这 个 根 处 取 得 极 小 值 .

专题一

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( 2 ) 求函数 f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤 ①求 f(x)在区间[a,b]上的极值; ②求区间端点的函数值 f(a),f(b); ③比较极值与 f(a),f(b)的大小,下结论. ( 3 ) 利用导数解决优化问题的步骤 ①审 题 , 设 未 知 数 ; ②结合题意列出函数关系式;③确定

函数的定义域;④在定义域内求极值、最值;⑤下结论.

专题一

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( 4 ) 定积分在几何中的应用(理) 被积函数为 y=f(x), 由 曲 线 y=f(x)与直线 x=a, x=b(a<b)

和 y=0 所围成的曲边梯形的面积为 S.
b ①当 f(x) > 0 时,S=? ? f(x)dx; ?
?

a

b ②当 f(x) < 0 时,S=-? ? f(x)dx; ?
?a

③当 x∈[a,c]时,f(x) > 0 ;当 x∈[c,b]时,f(x) < 0 ,则 S
c ?b =? ? f(x)dx-? f(x)dx. ? ?
?a ?c

专题一

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疑 难 误 区 警 示 1.( s n i x)′=c o s x 与( c o s x)′=-s n i x,(xn)′=n x
* x x n -1

(n∈

1 N )与(a )′=a lna(a> 0 ) , 而o ( lg ax)′=xlna(a>0 且 a≠1 ), 这 是 应 用 公 式 中 易 混 易 错 的 地 方 . 2. 求 过 某 点 的 曲 线 的 切 线 方 程 与 求 曲 线 在 某 点 处 的 切 线 方 程 应 区 分 . 3.f(x)的极大(小)值 与 最 大 (小)值 要 区 分 ; 导 数 为 零 的 点 不 一 定 是 极 值 点 . 4.(理)曲 边 梯 形 的 面 积 与 定 积 分 的 关 系 .
专题一 第五讲

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高频考点

专题一

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导数的几何意义
(文 ) ( 2 0 1 2 · 山 西 四 校 联 考 ) B.y=-3x-1 D.y=-2x-1 )曲线 y=xex+2x-1

在点(0,-1)处的切线方程为( A.y=3x-1 C.y=3x+1

[答案] A
[解析] k=y′|x=0=(ex+xex+2)|x=0=3,

∴切线方程为 y=3x-1,故选 A.
专题一 第五讲

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(理)已 知 曲 线 ( 1 ) 求 曲 线 在 点 ( 2 ) 求 曲 线 过 点

1 y= . x P( 1 1 ,) Q( 1 0 ,) 处 的 切 线 方 程 ; 的 切 线 方 程 ; 1 的 曲 线 的 切 线 方 程 . 3

( 3 ) 求 满 足 斜 率 为 -

专题一

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[解析] 又 P( 1 1 ,)

1 ( 1 ) ∵y′=- 2. x 是 曲 线 上 的 点 ,

∴P 是切点,所求切线的斜率为 k=f ′( 1 ) =-1. 所以曲线在 P 点处的切线方程为 y-1=-(x-1). 即 y=-x+2.

专题一

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( 2 ) 显 然 Q( 1 0 ,)

不 在 曲 线

1 y= 上 , 则 可 设 过 该 点 的 切 线 的 x k1=f ′(a)= - 1 . a2

1 切 点 为 A(a, ), 则 该 切 线 斜 率 为 a 则 切 线 方 程 为

1 1 y-a= - a2(x-a).①

1 1 将 Q(1, 0 ) 代 入 方 程 ①得 0-a= - a2(1-a), 1 解 得 a=2, 故 所 求 切 线 方 程 为 y= - 4x+4 .

专题一

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1 ( 3 ) 设切点坐标为 A(a, ), 则 切 线 的 斜 率 为 a 解得 a=± 3, 3 3 ∴A( 3, 3 )或 A′(- 3,- 3 ). 代入点斜式方程得

1 1 k2=- 2=- , a 3

3 1 3 1 y- 3 =-3(x- 3)或 y+ 3 =-3(x+ 3). 即切线方程为 x+3y-2 3=0 或 x+3y+2 3=0.

专题一

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[点评]

( 1 ) 在点 P 处 的 切 线 即 是 以

P 为切点的切线, P一

定在曲线上. ( 2 ) 过点 Q 的切线即切线过点 Q,Q 不一定是切点,所以 本题的易错点是把点 Q 作为切点.因此在求过点 P 的切线方 程时,应首先检验点 P 是否在已知曲线上.

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( 2 0 1 2 ·

北京西城区期末)若曲线 y=x3+ax 在 坐 标 原 点 处 的 a=________.

切线方程是 2x-y=0, 则 实 数
[答案]
[解析]

2
∵曲线 y=x3+ax 的切线斜率 k=y′=3x2+a,

又曲线在坐标原点处的切线方程为 2x-y=0, ∴3×02+a=2,故 a=2.

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[方法规律总结] 1.求曲线 y=f(x)的 切 线 方 程 的 类 型 及 方 法 ( 1 ) 已知切点 P(x0,y0),求 y=f(x)过点 P 的 切 线 方 程 : 求出切线的斜率 f ′(x0),由点斜式写出方程; ( 2 ) 已知切线的斜率为 k,求 y=f(x)的切线方程: 设切点 P(x0,y0), 通 过 方 程 式写出方程; k=f ′(x0)解得 x0, 再 由 点 斜

专题一

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( 3 ) 已 知 切 线 上 一 点

(非 切 点 ), 求 y=f(x)的 切 线 方 程 : f ′(x0), 再 由

设 切 点 P(x0,y0), 利 用 导 数 求 得 切 线 斜 率 斜 率 公 式 求 得 切 线 斜 率 , 列 方 程 点 式 写 出 方 程 .

(组)解 得 x0, 再 由 点 斜 式 或 两

2.若曲线的切线与已知直线平行或垂直,求曲线的切线 方程时, 先由平行或垂直关系确定切线的斜率, 再由 k=f′ (x0) 求出切点坐标(x0,y0),最后写出切线方程.

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利用导数研究函数单调性

( 2 0 1 2 · 1(a> 0 ) ,g(x)=x3+bx.

北京理, 18) 已知函数 f(x) = ax2 +

( 1 ) 若曲线 y=f(x)与 曲 线 y=g(x)在 它 们 的 交 点 有公共切线,求 a、b 的值; ( 2 ) 当 a2=4b 时 , 求 函 数 在区间(-∞,-1]上 的 最 大 值 .

(1,c)处具

f(x)+g(x)的 单 调 区 间 , 并 求 其

专题一

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[分析]

( 1 ) 运 用 导 数 的 几 何 意 义 即 可 求 解 ;

( 2 ) 根据导函数的正负可求出函数的单调区间; 根据导函数 的零点与-1 的关系分类讨论,求得函数的最值.
[解析] ( 1 ) f ′(x)=2ax,g′(x)=3x2+b. (1, c)处具有

因为曲线 y=f(x)与 曲 线 y=g(x)在 它 们 的 交 点 公共切线,所以 f( 1 ) =g( 1 ) ,且 f ′( 1 ) =g′( 1 ) . 即 a+1=1+b,且 2a=3+b. 解得 a=3,b=3.

专题一

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1 2 ( 2 ) 记 h(x)=f(x)+g(x).当 b= a 时, 4 1 h(x)=x3+ax2+4a2x+1, 1 2 h′(x)=3x +2ax+ a . 4
2

a a 令 h′(x)=0,得 x1=-2,x2=-6. a>0 时,h(x)与 h′(x)的变化情况如下表:

专题一

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x h′(x) h(x)

a (-∞, - ) 2 + ↗

a - 2 0 极大值

a a (- , - ) 2 6 - ↘

a - 6 0 极小值

a (- , +∞) 6 + ↗

a a 所以函数 h(x)的单调递增区间为(-∞, - )和(- , +∞); 2 6 a a 单调递减区间为(-2,-6).

专题一

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a 当-2≥-1,即 0<a≤2 时, 函数 h(x)在区间(-∞, -1]上单调递增, h(x)在 区 间 (-∞, 1 2 -1]上的最大值为 h(-1)=a-4a . a a 当- <-1,且- ≥-1,即 2<a≤6 时, 2 6 a 函数 h(x)在区间(-∞,-2)内 单 调 递 增 , 在 区 间 1]上单调递减,h(x)在区间(-∞,-1]上 的 最 大 值 为 1.
专题一 第五讲

a (-2,- a h(-2)=

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a a 当- <-1,即 a>6 时,函数 h(x)在区间(-∞,- )内单 6 2 a a 调递增,在区间(-2,-6)内 单 调 递 减 , 在 区 间 单调递增, a 1 2 1 又因 h(-2)-h(-1)=1-a+4a =4(a-2)2>0,所以 h(x) 在区间(-∞,-1]上 的 最 大 值 为 a h(-2)=1. a (-6,-1]上

专题一

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[点评]

本 题 考 查 了 切 线 、 函 数 单 调 性 、 极 值 等 基 础 知 识 ,

考查分类讨论的数 学 思 想 . 本 题 是 较 常 规 的 题 目 , 学 生 一 般 都 能 掌 握 , 难 点 在 于 第 二 问 , 两 个 极 值 点 和 最 值 的 求 解 , 对 学 生 的概念理解要求很高,数学思维也要清晰,因此在复习中,应 加大这方面的训练.

专题一

第五讲

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( 2 0 1 2 ·

无锡市调研)已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0,x∈

R)为奇函数,且 f(x)在 x=1 处取得极大值 2. ( 1 ) 求函数 y=f(x)的 解 析 式 ; f?x? ( 2 ) 记 g(x)= +(k+1 n ) l x,求函数 y=g(x)的 单 调 区 间 ; x ( 3 ) 在( 2 ) 的条件下, 当 k=2 时 , 若 函 数 线 y=x+m 的 下 方 , 求 m 的取值范围. y=g(x)的图象在直

专题一

第五讲

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[解析]

( 1 ) f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)为 奇 函 数 ,

所以 f(-x)=-f(x). 代入得 b=0. 所以 f ′(x)=3ax2+c,且 f(x)在 x=1 取 得 极 大 值
? ?f ′?1?=0, 所以? ? ?f?1?=2, ? ?3a+c=0, ?? ? ?a+c=2.

2.

解得 a=-1,c=3,所以 f(x)=-x3+3x.

专题一

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( 2 ) 因为 g(x)=-x2+3+(k+1)lnx,
2 1 -2x +?k+1? 所以 g′(x)=-2x+(k+1)·= . x x

因为函数定义域为(0,+∞),所以 ①当 k=-1 时,k+1=0,g′(x)=-2x<0,函数在(0, +∞)上单调递减; ②当 k<-1 时,k+1<0,因为 x>0, -2x2+?k+1? 所以 g′(x)= <0. x 所以函数在(0,+∞)上单调递减;
专题一 第五讲

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③k>-1 时,k+1 > 0 , -2x2+?k+1? 令 g′(x) > 0 ,得 >0, x 因为 x>0,所以-2x2+(k+1 ) > 0 , 即- k+1 <x< 2 k+1 ,结合 x>0,得 0<x< 2 k+1 ; 2

-2x2+?k+1? 令 g′(x) < 0 ,得 <0, x 同上得 2x >(k+1),x>
2

k+1 2 ,

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所以 k>-1 时,单调递增区间为(0, 区间为( k+1 ,+∞). 2

k+1 2 ),单调递减

综上,当 k≤-1 时 , 函 数 的 无单调递增区间;

单调递减区间为(0,+∞),

当 k>-1 时 , 函 数 的 单 调 递 增 区 间 为 单调递减区间为( k+1 2 ,+∞).

(0,

k+1 ), 2

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( 3 ) 当 k=2 时,g(x)=-x2+3+3 n l x, 令 h(x)=g(x)-(x+m)=-x2-x+3 n l x+3-m, 3 h′(x)=-2x-1+x , -2x2-x+3 令 h′(x)=0, =0,得 x 3 x=1,x=-2(舍去).

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由函数 y=h(x)定 义 域 为 (0,+∞)知, 当 0<x<1 时,h′(x) > 0 ,当 x>1 时 h′(x) < 0 , 所以当 x=1 时,函数 h(x)取得最大值 1-m. 要使函数 y=g(x)的 图 象 在 直 线 m<0,所以 m> 1 . 故 m 的取值范围是(1,+∞). y=x+m 的 下 方 , 则 1-

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[方法规律总结] 1.( 1 ) 若求单调区间(或 证 明 单 调 性 ), 只 需 在 函 数 f(x)的定

义域内解(或证明)不等式 f ′(x) > 0 或 f ′(x) < 0 . ( 2 ) 若已知函数的单调性求参数的值或取值范围, 只需转化 为不等式 f ′(x)≥0 或 f ′(x)≤0 在 单 调 区 间 内 恒 成 立 的 问 题 求 解 , 解 题 过 程 中 要 注 意 分 类 讨 论 ; 函 数 单 调 性 问 题 以 及 一 些

相关的逆向问题,都离不开分类讨论思想.

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2.利用导数研究函数的单调性的步骤. ( 1 ) 找出函数 f(x)的 定 义 域 ; ( 2 ) 求 f ′(x); ( 3 ) 在定义域内解不等式 f ′(x) > 0 ,f ′(x) < 0 .

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用导数研究函数的极值与最值
(文)函数 f(x)=x3+ax2+bx+a2 在 x=1 处有 极小值 10,求 a、b 的值.
[解析] f ′(x)=3x2+2ax+b,由题意知 f ′(1)=0,且 f(1)=10,即 2a+b+3=0,且 a2+a+b+1=10, 解之得 a=4,b=-11 或 a=-3,b=3.

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当 a=4,b=-11 时, f ′(x)=3x2+8x-11=(3x+1 1 ) ( x-1)在 x=1 附近两侧的 符号相反, ∴a=4,b=-11 满足题意; 当 a=-3, b=3 时, f ′(x)=3(x-1)2 在 x=1 附近两侧的 符号相同, ∴a=-3,b=3 应舍去. 综上所述,a=4,b=-1 1 .

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[点评]

此 题 中 “f(x)在 x=1 处有极值 10”与“f ′( 1 ) =0

且 f( 1 ) =10”不等价.事实上,“f(x)在 x=1 处有极值 10”? “1 是 f ′(x)=0 的 变 号 零 点 且 f( 1 ) =10”. 准确理解极值的定

义才能准确解答与极值有关的函数问题.

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1 2 (理)已知函数 f(x)= ax +lnx,其中 a∈R. 2 ( 1 ) 求 f(x)的单调区间; ( 2 ) 若 f(x)在( 0 1 ,]
[解 析]

上的最大值是-1,求 a 的值.

ax2+1 ( 1 ) f ′(x)= x ,x∈(0,+∞).

当 a≥0 时,f ′(x)>0,从而函数 f(x)在(0,+∞)上单调递 增; 当 a<0 时, 令 f ′(x)=0, 解得 x= 1 -a, 舍去 x=- 1 -a .

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此时,f(x)与 f ′(x)的情况如下: x f ′(x) f(x) (0, + ↗ f( 1 - ) a 1 - a 0 1 - ) a 1 -a); ( 1 - ,+∞) a - ↗

所以,f(x)的单调递增区间是(0, 单调递减区间是( 1 -a,+∞).

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( 2 ) ①当 a≥0 时 , 由 ( 1 ) 得 函 数 f(x)在( 0 1 ,] a =2.

上 的 最 大 值 为

f( 1 )

a 令2= - 1, 得 a= - 2, 这 与 a≥0 矛 盾 , 舍 去 ②当 - 1≤a<0 时 , 的 最 大 值 为 a f( 1 ) =2. 1 -a≥1, 由( 1 ) 得 函 数

a= -2 . f(x)在( 0 1 ,] 上

a 令2= - 1, 得 a= - 2, 这 与 - 1≤a<0 矛 盾 , 舍 去 2 .
专题一

a= -

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③当 a<-1 时,0< 最大值为 f( 令 f( 1 -a).

1 - <1,由( 1 ) 得函数 f(x)在( 0 1 ,] a

上的

1 -a)=-1,解得 a=-e,满足 a<-1. 上的最大值是-1 时,a=-e.

综上,当 f(x)在( 0 1 ,]

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1 2 (文)设 a>0 且 a≠1, 函 数 f(x)= x -(a+1)x+alnx. 2 ( 1 ) 当 a=2 时,求曲线 y=f(x)在(3,f( 3 ) 处 切 线 的 斜 率 ; ( 2 ) 求函数 f(x)的 极 值 点 .
[解 析] ( 1 ) 由 已 知 x>0,

2 当 a=2 时 , f ′(x)=x-3+x , 曲线 y=f(x)在(3,f( 3 ) 处 切 线 的 斜 率 为 2 f ′( 3 ) =3.

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2 a x -?a+1?x+a ( 2 ) f ′(x)=x-(a+1 )+ = x x

?x-1??x-a? = . x 由 f ′(x)=0 得 x=1 或 x=a, ①若 0 < a<1, 则 当 x∈(0,a)时 , f ′(x) > 0 , 函 数 f(x)单 调 递 增 ; 当 x∈(a ,1 )时 , f ′(x) < 0 , 函 数 f(x)单 调 递 减 ; 当 x∈(1, + ∞)时 , f ′(x) > 0 , 函 数 f(x)单 调 递 增 . 此 时 x=a 是 f(x)的极 大 值 点 , x=1 是 f(x)的 极 小 值 点 .
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②若 a>1,则 当 x∈( 0 1 ,) 时,f ′(x) > 0 ,函数 f(x)单调递增;

当 x∈(1,a)时,f ′(x) < 0 ,函数 f(x)单 调 递 减 ; 当 x∈(a,+∞)时,f ′(x) > 0 ,函数 f(x)单 调 递 增 . 此时 x=1 是 f(x)的 极 大 值 点 , 综 上 , 当 的极小值点; 当 a>1 时,x=1 是 f(x)的极大值点,x=a 是 f(x)的极小值 点.
专题一 第五讲

x=a 是 f(x)的 极 小 值 点 . x=1 是 f(x)

0<a<1 时,x=a 是 f(x)的 极 大 值 点 ,

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(理)已知函数 f(x)=x2-4x+(2-an ) l x,(a∈R,a≠0). ( 1 ) 当 a=18 时,求函数 f(x)的单调区间; ( 2 ) 求函数 f(x)在区间[e,e2]上的最小值.

专题一

第五讲

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[解析]

( 1 ) f(x)=x2-4x-1 6 n l x,

16 2?x+2??x-4? f ′(x)=2x-4- = . x x 由 f ′(x) > 0 及 x>0 得 x> 4 . 所以函数 f(x)的 单 调 递 增 区 间 是 由 f ′(x) < 0 及 x>0 得 0<x<4, 所以函数 f(x)的 单 调 递 减 区 间 是 综 上 所 述 , 函 数 区间是(0,4). ( 0 4 ,) . (4,+∞).

f(x)的单调增区间是(4,+∞), 单 调 递 减

专题一

第五讲

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( 2 ) 在 x∈[e,e2]时,f(x)=x2-4x+(2-an ) l x, 2-a 2x2-4x+2-a 所以 f ′(x)=2x-4+ = , x x 设 g(x)=2x2-4x+2-a. 当 a<0 时,有 Δ=16-4×2 ( 2 -a)=8a<0, 此 时 g(x) > 0 , 所以 f ′(x) > 0 ,f(x)在[e,e2]上单调递增.
2 所以 f(x)m = f ( e ) = e -4e+2-a. n i

当 a>0 时,Δ=16-4×2 ( 2 -a)=8a>0,

专题一

第五讲

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2a 令 f ′(x) > 0 ,即 2x -4x+2-a>0,解得 x>1+ 或 x<1 2
2

2a - 2 ; 2a 2a 令 f ′(x) < 0 , 即 2x -4x+2-a<0, 解 得 1- 2 <x<1+ 2 .
2

专题一

第五讲

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2a 2 ①若 1+ ≥e , 即 a≥2(e2-1)2 时,f(x)在区间[e,e2] 2 单调递减,所以 f(x)min=f(e2)=e4-4e2+4-2a. 2a 2 ②若 e<1+ 2 <e ,即 2(e-1)2<a<2(e2-1)2 时,f(x)在区 2a 2a 2 间[e,1+ ]上单调递减,在区间[1+ ,e ]上单调递增,所 2 2 2a a 2a 以 f(x)min=f(1+ 2 )=2- 2a-3+(2-a)ln(1+ 2 ).

专题一

第五讲

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2a ③若 1+ ≤e,即 0<a≤2(e-1)2 时,f(x)在区间[e,e2] 2
2 单调递增,所以 f(x)m = f ( e ) = e -4e+2-a. n i 4 2 综上所述,当 a≥2(e2-1)2 时,f(x)m n i =e -4e +4-2a;

当 2(e - 1) <a< 2 ( e - 1) 时, f(x)m n i an ) l( 1 2a + 2 );

2

2

2

a = - 2 a - 3 + (2 - 2

2 当 a≤2(e-1)2 时,f(x)m = e -4e+2-a. n i

专题一

第五讲

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1 3 1 2 (文)设 f(x)=- x + x +2ax 3 2 2 ( 1 ) 若 f(x)在(3,+∞)上存在单调递增区间,求 a 的取值范 围. ( 2 ) 当 0<a<2 时,f(x)在[ 1 4 ,] 该区间上的最大值. 上 的 最 小 值 为 - 16 ,求 f(x)在 3

专题一

第五讲

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[解析]

12 1 ( 1 ) 由 f ′(x)=-x +x+2a=-(x- ) + +2a 2 4
2

2 2 2 当 x∈[3,+∞)时,f ′(x)的最大值为 f ′(3)=9+2a;令 2 1 +2a>0,得 a>- 9 9 所 以 , 当 1 2 a>-9时,f(x)在(3,+∞)上存在单调递增区间.

专题一

第五讲

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( 2 ) 令 f ′(x)=0, 得 两 根

1- 1+8a 1+ 1+8a x1= , x2= . 2 2 (x1,x2)

所以 f(x)在(-∞,x1)、(x2,+∞)上 单 调 递 减 , 在 上单调递增 当 0<a<2 时 , 有 x1< 1 < x2<4, 所 以 f(x)在[ 1 4 ,] f(x2), 27 又 f( 4 ) -f( 1 ) =- 2 +6a<0,即 f( 4 ) < f( 1 )

上 的 最 大 值 为

专题一

第五讲

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所以 f(x)在[ 1 4 ,] =1,x2=2, 从而 f(x)在[ 1 4 ,]

上 的 最 小 值 为

40 16 f( 4 ) =8a- =- ,得 a 3 3

上 的 最 大 值 为

10 f( 2 ) = . 3

专题一

第五讲

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(理) ( 2 0 1 3 ·

江 西 八 校 联 考

1 2 )已知函数 f(x)=x- ax -n l( 1 + 2

x),其中 a∈R. ( 1 ) 求 f(x)的单调区间; n l2 n l3 n l4 n l3 n n 5n+6 ( 2 ) 求证: + + +?+ n <3 - (n∈N*). 2 3 4 3 6

专题一

第五讲

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[解 析]

x?1-a-a x? ( 1 ) ∵f ′(x)= ,x∈(-1, + ∞), x+1 1 (0, -1 ), a

若0 < a<1, 则 f(x)的 单 调 增 区 间 是 单 调 减 区 间 是

1 (-1 0 ,) 和( -1, + ∞); a (-1, + ∞), 无 增 区 间 , 1 ( -1 0 ,) , 单 调 减 区 间 是 a (-1,

若 a=1, 则 f(x)的 单 调 减 区 间 是 若 a>1, 则 f(x)的 单 调 增 区 间 1 -1 ) 和(0, + ∞). a 若 a≤0,f(x)的 减 区 间 是

(-1 0 ,) , 增 区 间 是

(0, + ∞).
专题一 第五讲

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( 2 ) 由( 1 ) 知:当 a=0 时,f(x)≥f( 0 ) =0,即 x≥n l( 1 +x), 即 x-1≥lnx,x∈(0,+∞)恒成立, 1 lnx ∴1-x≥ x ,当且仅当 x=1 时取“=”, n l2 n l3 n l4 n l3 n n 1 1 1 ∴ + + +?+ n <3 -1-( + +?+ n), 转 化 2 3 4 3 2 3 3 1 1 1 1 5n 为 证 明 : 2+3+4+?+3n≥ 6 ,(n∈N*)用 数 学 归 纳 法 证 明 如 下:

专题一

第五讲

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1 1 5 5 当 n=1 时,左端= + = ≥ =右端成立, 2 3 6 6 1 1 1 1 5 假设当 n=k(k≥1)时 , 有 2+3+4+?+3k≥6k 成立, 1 1 1 1 1 1 则当 n=k+1 时,∵ + + +?+ k+ k +?+ k+1 2 3 4 3 3 +1 3 5k 1 1 1 1 5k 3k 3k ≥6+ k + ? + k k+ k +?+3 3 · k > 6 +2 3 · k+3 3 ·k 3 +1 3 +3 2 3 · +1 5?k+1? = 6

专题一

第五讲

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1 1 1 1 5n 由数学归纳法原理知, + + +?+ n≥ 对 n∈N*均成 2 3 4 3 6 立, n l2 n l3 n l4 n l3 n n 5n+6 即有:2 + 3 + 4 +?+ 3n <3 - 6 (n∈N*)恒成立.

专题一

第五讲

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(文)已知函数 f(x)=ex+2x2-3x. ( 1 ) 求证:函数 f(x)在 区 间 [ 0 1 ,] 上 存 在 唯 一 的 极 值 点 .

1 5 2 ( 2 ) 当 x≥2时,若关于 x 的不等式 f(x)≥2x +(a-3)x+1 恒成立,试求实数 a 的取值范围.

专题一

第五讲

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[解析]

( 1 ) f ′(x)=ex+4x-3,

∵f ′( 0 ) =e0-3=-2 < 0 ,f ′( 1 ) =e+1 > 0 , ∴f ′( 0 ) · f ′( 1 ) < 0 . 令 h(x)=f ′(x)=ex+4x-3,则 h′(x)=ex+4 > 0 , ∴f ′(x)在区间[ 0 1 ,] ∴f ′(x)在区间[ 0 1 ,] ∴f(x)在区间[ 0 1 ,] 上 单 调 递 增 , 上 存 在 唯 一 零 点 , 上 存 在 唯 一 的 极 小 值 点 .

专题一

第五讲

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5 2 5 2 x 2 ( 2 ) 由 f(x)≥ x +(a-3)x+1, 得 e +2x -3x≥ x +(a-3)x 2 2 +1, 1 2 即 ax≤e - x -1, 2
x

1 2 e -2x -1 1 ∵x≥2,∴a≤ . x
x

1 2 e - x -1 2 令 g(x)= ,则 x
x

专题一

第五讲

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1 2 e ?x-1?- x +1 2 g′(x)= . x2
x

1 2 令 φ(x)=e (x-1)-2x +1,则 φ′(x)=x(ex-1).
x

1 ∵x≥ ,∴φ′(x) > 0 . 2 1 ∴φ(x)在[2,+∞)上单调递增. 1 7 1 ∴φ(x)≥φ( )= - e> 0 . 2 8 2

专题一

第五讲

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1 因此 g′(x) > 0 , 故 g(x)在[ , +∞)上 单 调 递 增 , 则 2 1 1 e2-8-1 9 = =2 e-4, 1 2 9 ∴a 的取值范围是 a≤2 e- . 4

1 g(x)≥g( ) 2

专题一

第五讲

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(理) ( 2 0 1 3 ·

天 津 十 二 区 县 联 考

)已知函数 f(x)=xlnx,g(x)=

(-x2+ax-3 e ) · x(其中 a 实数,e 是自然对数的底数). (Ⅰ)当 a=5 时,求函数 y=g(x)在点(1,e)处 的 切 线 方 程 ; (Ⅱ)求 f(x)在区间[t,t+2 ] ( t>0)上的最小值;
-1 x (Ⅲ)若存在 x , x ∈ [e , e ] ( x ≠ x ) ,使方程 g ( x ) = 2e f(x) 1 2 .. 1 2

成立,求实数 a 的取值范围.

专题一

第五讲

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[解 析]

( 1 ) 当 a=5 时 ,g(x)=(-x2+5x-3 e ) · x, g′(x)=(-

x2+3x+2 e ) · x, 故 切 线 的 斜 率 为 g′( 1 ) =4e,

所以切线方程为:y-e=4e(x-1), 即 4ex-y-3e=0.

专题一

第五讲

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( 2 ) f′(x)=lnx+1, 1 令 f′(x)=0,得 x= , e 1 ①当 t≥ 时,在区间(t,t+2)上,f′(x)>0,f(x)为增函数, e 所以 f(x)min=f(t)=tlnt; 1 1 ②当 0<t< e时,在区间(t,e)上 f′(x)<0,f(x)为减函数, 1 在区间( ,e)上 f′(x)>0,f(x)为增函数, e 1 1 所以 f(x)min=f( )=- . e e
专题一 第五讲

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( 3 ) 由 g(x)=2exf(x)可 得 2xlnx= - x2+ax-3, 3 a=x+2 n l x+x, 3 令 h(x)=x+2 n l x+ , x 2 3 ?x+3??x-1? h′(x)=1+ x-x2= , x2 x h′(x) h(x) 1 (e ,1) - 单 调 递 减 1 0 (1,e) +

极 小 值 (最 小 值 ) 单 调 递 增
专题一 第五讲

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1 1 3 h( )= +3e-2,h(1)=4,h(e)= +e+2, e e e 1 2 h(e)-h(e )=4-2e+ e<0, 3 ∴实数 a 的取值范围为(4,e+2+ ]. e

专题一

第五讲

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[方法规律总结] 1.利用导数研究函数最值的一般步骤 ( 1 ) 求定义域; ( 2 ) 求导数 f ′(x); ( 3 ) 求 极 值 , 先 解 方 程 f ′(x)

=0,验证 f ′(x)在根左右两侧值的符号确定单调性,若在 x =x0 左侧 f ′(x) > 0 , 右 侧 f ′(x) < 0 , 则 f(x0)为 极 大 值 , 反 之 为极小值,若在 x=x0 两侧 f(x)的 值 不 变 号 , 则 的极值点; ( 4 ) 求 最 值 , 比 较 各 极 值 点 与 区 间 f(x0)

x=x0 不是 f(x)

[a, b]的端点值 f(a)、

f(b)的 大 小 , 其 中 最 大 的 一 个 为 最 大 值 , 最 小 的 一 个 为 最 小 值 . 2. 已 知 f(x)在某区间上的极值或极值的存在情况, 则转化 为方程 f ′(x)=0 的 根 的 大 小 或 存 在 情 况 .
专题一 第五讲

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导数的实际应用

(文)(2013· 江苏苏北四市调研)某开发商用 9000 万 元在市区购买一块土地,用于建一幢写字楼,规划要求写字楼 每层建筑面积为 2000 平方米.已知该写字楼第一层的建筑费用 为每平方米 4000 元,从第二层开始,每一层的建筑费用比其下 面一层每平方米增加 100 元.

专题一

第五讲

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( 1 ) 若该写字楼共 x 层 , 总 开 发 费 用 为 f(x)的表达式;

y万 元 , 求 函 数

y=

(总开发费用=总建筑费用+购地费用) ( 2 ) 要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低, 该写字 楼应建为多少层?

专题一

第五讲

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[ 解析]

( 1 ) 由 已 知 , 写 字 楼 最 下 面 一 层 的 总 建 筑 费 用 为

4000×2000=8000000(元)=800(万元), 从第二层开始,每层的建筑总费用比其下面一层多 100×2000=200000(元)=20(万元), 写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以 800 为首项, 20 为公差的等差数列, 所以函数表达式为 x?x-1? y=f(x)=800x+ ×20+9000 2 =10x2+790x+9000(x∈N*).
专题一 第五讲

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( 2 ) 由( 1 ) 知 写 字 每 平 方 米 平 均 开 发 费 用 为 5?10x2+790x+9000? f?x? g(x)= ×10000= 2000x x 900 =50(x+ x +79) 900 g′(x)=5 0 ( 1 - 2 ),由 g′(x)=0 及 x∈N*得,x=30. x 易知当 x=30 时,g(x)取得最小值. 答:该写字楼建为 30 层 时 , 每 平 方 米 平 均 开 发 费 用 最 低 .

专题一

第五讲

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(理)水库的蓄水量随时间而变化,现用 t 表 示 时 间 , 以 月 为 单 位 , 年 初 为 起 点 , 据 历 年 数 据 , 某 水 库 的 蓄 水 量 亿立方米)关于 t 的近似函数关系式为 1 ? 2 ??-t +14t-40?e t+50,0<t≤10. 4 V(t)=? ? ?4?t-10??3t-41?+50,10<t≤12. ( 1 ) 该水库的蓄水量小于 50 的时期称为枯水期,以 i-1< t<i 表 示 第 期? ( 2 ) 求一年内该水库的最大蓄水量(取 e=2.7 计算)
专题一 第五讲

(单位:

i 月份(i=1,2?,12)问 一 年 内 哪 几 个 月 份 是 枯 水

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[解析]

( 1 ) ①当 0<t≤10 时,
2

1 V(t)=(-t +14t-4 0 ) e t+50<50, 4 化简得 t2-14t+40>0, 解得 t<4,或 t>10,又 0<t≤10,故 0<t<4. ②当 10<t≤12 时,V(t)=4(t-1 0 ) ( 3 化简得(t-1 0 ) ( 3 t-41)<0, t-41)+50<50,

41 解得 10<t< 3 ,又 10<t≤12,故 10<t≤12. 综上得 0<t<4,或 10<t≤12. 故知枯水期为 1 月,2 月,3 月,11 月,12 月 , 共 5 个月.
专题一 第五讲

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( 2 ) 由( 1 ) 易知,V(t)的 最 大 值 只 能 在 1 12 3 由 V′(t)=e4t(-4t +2t+4 ) 1 1 =-4e4t(t+2 ) ( t-8 ).

( 4 1 ,0 )

内达到.

令 V′(t)=0,解得 t=8 ( t=-2 舍去). 当 t 变化时,V′(t)与 V(t)的变化情况如下表: t V′(t) V(t) ( 4 8 ,) + ↗ 8 0 极大值 ( 8 1 ,0 ) - ↘
专题一 第五讲

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由上表, V(t) 在 t = 8 时取得最大值 V( 8 ) = 8e2 + 50 = 108.32(亿立方米) 故知一年内该水库最大蓄水量是 108.32 亿立方米.

专题一

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( 2 0 1 2 · 自 己 提 出 的

济 南 模 拟 )济 南 市 “两 会 ”召 开 前 , 某 政 协 委 员 针 对 “环 保 提 案 ”对 某 处 的 环 境 状 况 进 行 了 实 地 调 研 ,

据 测 定 , 该 处 的 污 染 指 数 与 附 近 污 染 源 的 强 度 成 正 比 , 与 到 污 染 源 的 距 离 成 反 比 , 比 例 常 数 为 A、B 两 家 化 工 厂 连 线 上 任 意 一 点 指 数 之 和 . 设 k(k> 0 ) . 现 已 知 相 距 3 6 k m 的

(污 染 源 )的 污 染 强 度 分 别 为 正 数 C处 的 污 染 指 数

a、b, 它 们

y等 于两 化 工 厂 对 该 处 的 污 染

AC=x( k m ) .

( 1 ) 试 将 y表 示 为 x的 函 数 ; ( 2 ) 若 a=1 时 , y 在 x=6 处 取 得 最 小 值 , 试 求 b的 值 .
专题一 第五讲

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[解析]

ka ( 1 ) 设点 C 受 A 污染源污染指数为 ,点 C 受 B x

kb 污染源污染指数为 ,其中 k 为比例系数,且 k> 0 . 36-x ka kb 从而点 C 处污染指数 y= + ( 0 < x< 3 6 ) . x 36-x

专题一

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k kb ( 2 ) 因为 a=1,所以,y= + , x 36-x 1 b y′=k[-x2+ ], ?36-x?2 36 令 y′=0,得 x= , 1+ b 36 36 当 x∈(0, )时,函数单调递减;当 x∈( ,+ 1+ b 1+ b ∞)时,函数单调递增.

专题一

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36 ∴当 x= 时,函数取得最小值, 1+ b 又此时 x=6,解得 b=25,经验证符合题意. 所以,污染源 B 的污染强度 b 的值为 25.

专题一

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[方法规律总结] 解决实际问题的关键在于建立数学模型和目标函数,把 “问题情景”转化为数学语言,抽象为数学问题,选择合适的 求 解 方 法 . 而 最 值 问 题 的 应 用 题 , 写 出 目 标 函 数 利 用 导 数 求 最 值是首选的方法,若在函数的定义域内函数只有一个极值点, 该极值点即为函数的最值点.

专题一

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定积分及其应用(理)

求曲线 y=x2,直线 y=x,y=3x 围成的图形 的面积. [分析] 画出函数图象,求出交点坐标,用积分求解.

专题一

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[解 析]

作 出 曲 线

y=x2, 直 线 y=x,y=3x 的 图 象 , 所 求

面 积 为 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 .

专题一

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2 ? ?y=x ? ? ?y=x 2 ? ?y=x ? ? ?y=3x

解 方 程 组

, 得 交 点 ( 1 1 ,)

、( 0 0 ,)



解 方 程 组

, 得 交 点 ( 3 9 ,)

、( 0 0 ,)



因 此 , 所 求 图 形 的 面 积 为
1 2 ?3 S=? ? (3x-x)dx+? (3x-x )dx ? ?
?0 ?1

= 2xdx+ (3x-x

?1 ? ? ?0

?3 ? ? ?1

2

3 2 1 3 3 21 ? )dx=x |0+ x - x ??1
?2

?

?? ??

3

?3 1 3? ?3 2 1 3? 13 2 3 -3· 3 ?-?2· 1 -3· 1 ?= . =1+?2· 3 ? ? ? ?

专题一

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[点 评]

求函数 f(x)在某个区间上的定积分,关键是求出

满足 F′(x)=f(x)的原函数 F(x),要正确应用定积分的性质, 正确运用求导运算与求原函数 F(x)的运算互为逆运算的关系 及微积分基本定理.

专题一

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由直线 x-y-2=0 与 抛 物 线 ________.
9 [答案] 2

y2=x 围 成 的 图 形 的 面 积 为

专题一

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[解析]

如 图 .

专题一

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? ?x-y-2=0 解方程组? 2 ? ?y =x

得交点 A(1,-1),点 B( 4 2 ,) 视 y 为自变量,所求面积为
?2 ?



-1 [ ( y+2)-y2]dy

1 2 1 3 2 =(2y +2y-3y )|-1 1 1 1 1 2 3 2 =(2×2 +2×2-3×2 )-(2×(-1) +2×(-1)-3×(- 9 1) )=2.
3

专题一

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[方法规律总结] 1. 利 用 定 积 分 求 曲 线 围 成 图 形 的 面 积 的 步 骤:①画出图

形; ②确定被积函数;③求 出 交 点 坐 标 , 确 定 积 分 的 上 、 下 限 ; ④运用微积分基本定理计算定积分,求出平面图形的面积.特 别注意平面图形的面积为正值,定积分值可能是负值. 2. 如 果 被 积 函 数 为 分 段 函 数 , 那 么 需 要 根 据 公 式
c ?b =? ? f(x)dx+? f(x)dx 分 别 求 得 每 段 区 间 的 积 分 , 再 求 和 . ? ?
?a ?c ?b ? ? ?a

f(x)dx

专题一

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专题一

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