专题四 第1讲等差数列与等比数列_图文

专题四 数列、推理与证明

第1讲 等差数列与等比数列

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高考真题体验

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热点分类突破

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高考押题精练

高考真题体验

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1.(2016· 课标全国乙)已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100

等于(
A.100

)
B.99

9?a1+a9? 9×2a5 解析 由等差数列性质,知 S9= = =9a5=27, 2 2
得a5=3,而a10=8,



C.98

D.97

a10-a5 因此公差 d= =1, 10-5
∴a100=a10+90d=98,故选C.
解析

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2.(2016· 北京)已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和.若a1=6,a3+a5=0, 6 则S6=________. 解析 ∵a3+a5=2a4=0,∴a4=0. 又a1=6,∴a4=a1+3d=0,∴d=-2.

6×?6-1? ∴S6=6×6+ ×(-2)=6. 2

解析答案

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2 3.(2016· 江苏)已知{an}是等差数列,Sn是其前n项和.若a1+a2 =-3,S5

=10,则a9的值是________. 20

解析 设等差数列{an}公差为d,由题意可得:
?a1+?a1+d?2=-3, ? ? 5×4 ?5a1+ d=10, 2 ? ? ?a1=-4, 解得? ? ?d=3,

则a9=a1+8d=-4+8×3=20.

解析答案

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4.(2016· 课标全国乙 ) 设等比数列 {an} 满足 a1 + a3 = 10 , a2 + a4 = 5 ,则 64 a1a2…an的最大值为__________.

解析

答案

考情考向分析

1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点,经常以小题形式
出现.

2.数列求和及数列与函数、不等式的综合问题是高考考查的重点,考
查分析问题、解决问题的综合能力.

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热点分类突破

热点一

等差数列、等比数列的运算

1.通项公式
等差数列:an=a1+(n-1)d;

等比数列:an=a1· qn-1.
2.求和公式

n?a1+an? n?n-1? 等差数列:Sn= =na1+ d; 2 2 a1?1-qn? a1-anq 等比数列:Sn= = (q≠1). 1-q 1-q

3.性质

若m+n=p+q,
在等差数列中am+an=ap+aq;

在等比数列中am· an=ap· aq.

? 1 ? 7 15 例 1 (1)已知数列{an}中,a3= ,a7= ,且?a -1?是等差数列,则 a5 6 14 ? n ?

等于( 10 A. 9
解析

) 11 B. √10 12 C. 11 13 D. 12

? 1 ? 1 1 设等差数列?a -1?的公差为 d,则 = +4d, a7-1 a3-1 ? n ?

1 1 ∴ = +4d,解得 d=2. 15 7 -1 -1 14 6
1 1 11 ∴ = +2d=10,解得 a5= . 10 a5-1 a3-1
解析

(2)已知等比数列{an}的各项都为正数,其前 n 项和为 Sn,且 a1+a7=9, a4=2 2,则 S8 等于( A.15(1+ 2) C.15 2 )
? B.15? ?1+ ?

2? ? 2? ?

2 D.15(1+ 2)或 15(1+ ) 2 √

思维升华

解析

S9 跟踪演练 1 (1)已知 Sn 是非零等差数列{an}的前 n 项和, 若 a7=9a3, 则 S5 等于( 18 A. 5 )



B.9

C.5

9 D. 25

解析 因为a7=9a3,所以a7+a3=10a3,

?a1+a9?×9 9?a3+a7? 2 S9 所以 = = =9. S5 ?a1+a5?×5 10a3 2
故选B.
解析

(2) 设等比数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ,满足 an>0 , q>1 ,且 a3 + a5 = 20 ,

a2a6=64,则S6等于(

)
C.42 D.36



A.63

B.48

解析 在等比数列{an}中,∵a2a6=64, ∴a3a5=a2a6=64.又a3+a5=20, ∴a3和a5为方程x2-20x+64=0的两根. ∵an>0,q>1,∴a3<a5,∴a5=16,a3=4.

∵q=

a5 a3 4 = 4=2,∴a1= 2= 2=1, a3 q 2

1×?1-26? ∴S6= =63.故选 A. 1-2
解析

热点二

等差数列、等比数列的判定与证明

数列{an}是等差数列或等比数列的证明方法 (1)证明数列{an}是等差数列的两种基本方法: ①利用定义,证明an+1-an(n∈N*)为一常数; ②利用中项性质,即证明2an=an-1+an+1(n≥2). (2)证明{an}是等比数列的两种基本方法: an+1 ①利用定义,证明 (n∈N*)为一常数; an

②利用等比中项,即证明 a2 n=an-1an+1(n≥2).

例2 已知数列{an}的前n项和为Sn (n∈N*),且满足an+Sn=2n+1. (1)求证:数列{an-2}是等比数列,并求数列{an}的通项公式; 3 证明 ∵an+Sn=2n+1,令 n=1,得 2a1=3,a1= . 2 ∵an+Sn=2n+1, ∴an-1+Sn-1=2(n-1)+1 (n≥2,n∈N*).

1 两式相减,得 2an-an-1=2,整理 an= an-1+1, 2 1 an-2= (an-1-2)(n≥2), 2 1 1 ∴数列{an-2}是首项为 a1-2=- ,公比为 的等比数列, 2 2 ?1 ? 1 ? ?n ∴an-2=-?2 ? ,∴an=2- n. 2 ? ?
解析答案

1 1 1 1 (2)求证: + 2 +…+ n < . 2a1a2 2 a2a3 2 anan+1 3 1 1 证明 ∵ n = 2 anan+1 n 2n+1-1 2n+2-1 2 · n · n+1 2 2
2n+1 1 1 = n+1 = n+1 - n+2 , n+2 ?2 -1??2 -1? 2 -1 2 -1
1 1 1 ∴ + 2 +…+ n 2a1a2 2 a2a3 2 anan+1 1 1 1 1 1 1 =( 2 - 3 )+( 3 - 4 )+…+( n+1 - n+2 ) 2 -1 2 -1 2 -1 2 -1 2 -1 2 -1

1 1 1 = - n+2 < . 3 2 -1 3
思维升华 解析答案

跟踪演练2

(1)已知数列{an}中,a1=1,an+1=2an+3,则an=________. 2n+1-3

解析 由已知可得an+1+3=2(an+3), 又a1+3=4, 故{an+3}是以4为首项,2为公比的等比数列. ∴an+3=4×2n-1, ∴an=2n+1-3.

解析答案



解析

热点三

等差数列、等比数列的综合问题

解决等差数列、等比数列的综合问题,要从两个数列的特征入手,理

清它们的关系;数列与不等式、函数、方程的交汇问题,可以结合数
列的单调性、最值求解.

例 3 已知等比数列{an}的公比 q>1,a1=2,且 a1,a2,a3-8 成等差数 ?2n-1?· 3n+1 列,数列{anbn}的前 n 项和为 . 2 (1)分别求出数列{an}和{bn}的通项公式;

解析答案

1 (2)设数列{ }的前 n 项和为 Sn,已知?n∈N*,Sn≤m 恒成立,求实数 m an 的最小值.



∵数列{an}是首项为2,公比为3的等比数列,

? ?1? ? 1 1 ?是首项为 ,公比为 的等比数列, ∴数列? ? 2 3 ?an? ?

1 1n [1-? ? ] 2 3 3 1n 3 ∴Sn= = · [1-( ) ]< . 1 4 3 4 1- 3
*

3 ∵?n∈N ,Sn≤m 恒成立,故实数 m 的最小值为 . 4
思维升华 解析答案

跟踪演练3

已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn-1=3(an-1),n∈N*.

(1)求数列{an}的通项公式; 解 由已知得Sn=3an-2,令n=1,

3 得 a1=1,又 an+1=Sn+1-Sn=3an+1-3an?an+1= an, 2
?3? 3 ?n-1 所以数列{an}是以 1 为首项, 为公比的等比数列,所以 an=? . ? ? 2 ?2?

解析答案

3 an ?bn (2)设数列{bn}满足an+1= ( ) ,若bn≤t对于任意正整数 n都成立,求 2 实数t的取值范围.
解 由
bn ?3? an· ? an+1=? ? ? ?2?



?2? ? ? ?2? 1 ? ?n-1 log ?3?n ? ?n-1 得 bn=a log 3 an+1=?3? = n · , 3 ? ? ? ? ? ? ?2? ?3? n 2

所以

?2 ? ?2 ? ? ?n ? ?n-1 bn+1-bn=(n+1)· - n · ? ? ? ? ?3 ? ?3 ?

2

2 = n (2-n), 3

n-1

4 4 所以(bn)max=b2=b3= ,所以 t≥ . 3 3
解析答案
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高考押题精练

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1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1>0,a3+a10>0,a6a7<0,则满足
Sn>0的最大自然数n的值为( )

A.6 押题依据 解析

B.7

等差数列的性质和前n项和是数列最基本的知识点,也是高



C.12

D.13

考的热点,可以考查学生灵活变换的能力.

∵a1>0,a6a7<0,∴a6>0,a7<0,等差数列的公差小于零,又a3

+a10=a1+a12>0,a1+a13=2a7<0,

∴S12>0,S13<0,
∴满足Sn>0的最大自然数n的值为12.
押题依据 解析

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2.已知各项不为 0 的等差数列{an}满足 a4-2a2 7+3a8=0,数列{bn}是等比 数列,且 b7=a7,则 b2b12 等于( A.1 B.2 ) D.8



C.4

押题依据

等差数列、等比数列的综合问题可反映知识运用的综合性

和灵活性,是高考出题的重点.

押题依据

解析

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3.已知各项都为正数的等比数列{an}满足 a7=a6+2a5,存在两项 am,an 使得 1 4 a m· an=4a1,则 + 的最小值为( m m 5 B. 3 25 C. 6 ) 4 D. 3



3 A. 2

押题依据

本题在数列、方程、不等式的交汇处命题,综合考查学生

应用数学的能力,是高考命题的方向.

押题依据

解析

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押题依据 先定义一个新数列,然后要求根据定义的条件推断这个新数列 的一些性质或者判断一个数列是否属于这类数列的问题是近年来高考中逐 渐兴起的一类问题,这类问题一般形式新颖,难度不大,常给人耳目一新 的感觉.
押题依据 解析
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