高一数学集合的含义与表示课件新人教A版必修一_图文

1.1

集合

1.1.1 集合的含义与表示

第2课时 集合的表示

目标了然于胸,让讲台见证您的高瞻远瞩

1.理解列举法和特征性质描述法的实质,能 运用它们表示集合. 2.体验用集合语言表示文字语言的过程,尝 试用集合语言表示集合的方法. 3.集合语言是基本的数学语言,是数学所需 要的语言之一,通过本节的学习,提高学习数 学的兴趣,树立学好数学的信心,进一步体会 形式化表达式在数学学习中的重要性.

研 习 新 知

? 新知视界 ? 1.把集合的元素一一列举出来,并用花括 号 {__} 括起来表示集合的方法,叫做列举 法. ? 2.用集合所含元素的共同特征来表示集合 的方法称为描述法,具体做法是:在大括 号内先写上表示这个集合元素的一般符号 及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖 线后写出这个集合中元素所具有的共同特 征.

? 3.对给定的集合用图形(常见的有圆和矩形) 表示,图形上或图形内的点表示该集合的 元素,图形外的点表示集合外的元素,这 种表示集合的方法叫图示法,或称 Venn 图 示.

思考感悟 (1)集合{x|x>3}与集合{t|t>3}是否表示同一个集 合? 提示:虽然两个集合的代表元素不同,但实质 上它们均表示大于3的所有实数,故是同一个集合.

? (2)所有三角形的集合,能否表示为{所有三 角形}? ? 提示: 在不引起混淆的情况下,为了简便, 有些集合用描述法表示时,可以省去竖线 及其代表元素.但所有三角形的集合不能 表示为{所有三角形},因为“{}”本身就有 “所有”、“全部”的意思.

? (3) 列举法和描述法分别适合于表示什么特 点的集合? ? 提示: 一般来讲,有限集 ( 当集合中元素的 个数有限时,称为有限集;否则,当集合 中元素的个数无限时,称为无限集 ) 宜采用 列举法,它具有直观明了的特点;无限集 或不宜一一列举的集合,宜采用描述法, 若无限集有规律,也可以用列举法.

? 自我检测 ? 1 .用列举法表示集合 {x|x2 - 2x + 1 = 0} 为 ( ) ? A.{1,1} B.{1} ? C.{x=1} D.{x2-2x+1=0} ? 解析: 集合 {x|x2 - 2x + 1 = 0} 为方程 x2 - 2x +1=0的解集,而x2-2x+1=0的解为x1= x2 = 1 ,由于集合元素的互异性,故只可写 成{1},故选B.

2.已知集合A={x∈N*|- ( ) A.-1∈A C. 3∈A

5 ≤x≤5},则必有

B.0∈A D.1∈A

解析:∵x∈N*,- 5 ≤x≤ 5 ,x=1或x=2, 即A={1,2},∴1∈A.故选D.
答案:D

? 3.设集合A={2,a},B={2,a2-2},若 A=B,则a=________. ? 解析:∵a=a2-2,∴a=-1或a=2. ? ∵a=2时与元素的互异性矛盾, ? 故a=-1. ? 答案:-1

? 4.已知集合A={0,1,2,3,4},试用描述法表 示该集合为 ________ . ( 答案不唯一,写出 一个便可) ? 解析: A 中含有 0,1,2,3,4 五个自然数,故可 以用描述法表示为{x∈N|x<5},也可以表示 为{x∈Z|-1<x<5}等. ? 答案:{x∈N|x<5}

? 5.将大于0不大于15且能被3整除的整数组 成的集合分别用列举法和描述法表示出 来. ? 解:列举法:{3,6,9,12,15}; ? 描述法:{x|0<x≤15,且x=3n,n∈Z}.

互 动 课 堂

典 例 导 悟 类型一 [例 1]

用列举法表示集合

用列举法表示下列集合: 的解集;

?x+ y= ? (1)方程组? ? ?x- y= 0

(2)不大于 10的非负偶数集; (3)A={(x, y)|x+ y= 3, x∈ N,y∈ N};

[解析 ] 解答本题可先弄清集合元素的性质特点, 然后再按要求改写.

[答案 ]

?x+ y= ? (1)由 ? ? ?x- y= 0

?x= ? ,得 ? ? ?y= 1

,故方

程组的解集为{(1,1)}. (2)不大于 10即为小于或等于 10, 非负是大于或等于0,故不大于10的非负偶数集 为 {0,2,4,6,8,10}.

(3)因为 x∈ N, y∈ N, x+ y= 3,
? ?x= 所以 ? ? ?y= 3 ? ?x= ? ? ?y= 0 ? ?x= 或? ? ?y= 2 ? ?x= 或? ? ?y= 1



.

所以 A={(0,3), (1,2), (2,1), (3,0)}.

? [点评] 当集合中的元素个数较少时往往采 用列举法表示.用列举法表示集合时,必 须注意以下几点: ? ①元素之间必须用“,”隔开; ? ②集合的元素必须是明确的; ? ③不必考虑元素出现的先后顺序; ? ④集合中的元素不能重复; ? ⑤集合中的元素可以是任何事物.

变式体验 1 用列举法表示下列集合: (1)绝对值小于 5的整数; 6 (2)满足 a∈ Z,且 ∈ N的 a构成的集 3- a 合; (3)满足 x2+ y2= 25的点 (x, y),其中 x∈ N, y∈ N.

解: (1)绝对值小于5的整数有-4,-3,-2, - 1,0,1,2,3,4,所以满足条件的集合为{- 4,-3,- 2,- 1,0,1,2,3,4}. 6 (2)因为 是自然数,且6的正约数有1,2,3,6, 3- a 故 3- a可分别等于 1,2,3,6,则得到整数a分别为 2,1,0,- 3,所以满足条件的集合为{-3,0,1,2}. (3)平方和等于 25的自然数对有 (0,5), (5,0), (3,4), (4,3),故满足条件的集合为{(0,5), (5,0), (3,4), (4,3)}.

? 类型二

用描述法表示集合

? [例2] 用描述法表示下列集合:

? (1)被5除余1的正整数集合;
? (2)大于4的全体奇数构成的集合; ? (3)坐标平面内,两坐标轴上点的集合; ? (4)三角形的全体构成的集合. ? [分析] 由题目可获取以下主要信息:用描

? ? ? ?

[解] (1){x|x=5k+1,k∈N}; (2){x|x=2k+1,k≥2,k∈N}; (3){(x,y)|xy=0}; (4){x|x是三角形}或{三角形}.

? [点评] (1)用描述法表示集合,首先应弄清 楚集合的属性,是数集、点集还是其他的 类型.一般地,数集用一个字母代表其元 素,而点集则用一个有序数对来表示. ? (2) 若描述部分出现元素记号以外的字母时, 要对新字母说明其含义或指出取值范围, 如(1)(2)小题.

? 变式体验2 用描述法表示下列集合: ? (1) 坐标平面内抛物线 y = x2 - 1 上的点的 集合; ? (2)所有偶数的集合; ? (3)3和4的所有正的公倍数的集合.

? 解:(1){(x,y)|y=x2-1}; ? (2){x|x=2n,n∈Z}; ? (3){x|x=12k,k∈N*}.

? ? ? ? ? ?

类型三 列举法与描述法的灵活运用 [例3] 用适当的方法表示下列集合: (1)比5大3的数; (2)方程x2+y2-4x+6y+13=0的解集; (3)不等式x-3>2的解的集合; (4)二次函数 y=x2-10图象上的所有点组成 的集合.

? [分析] 由题目可获取以下主要信息:①已 知 4 个集合;②用适当的方法表示各个集 合.对于(1),比5大3的数就是8,宜用列举 法;对于 (2) ,方程为二元二次方程,可将 方程左边因式分解后求解,宜用列举法; 对于 (3) ,不等式的解有无数个,宜于描述 法;对于 (4) ,所给二次函数图象上的点有 无数个,宜采用描述法.

[解]

(1)比 5大 3的数显然是 8,故可表示为{8}.

(2)方程 x2+ y2- 4x+ 6y+ 13= 0可化为(x-2)2+ (y+ 3)2= 0,
?x= ? ∴? ? ?y=- 3

,∴方程的解集为{(2,- 3)}.

(3)由 x- 3>2,得 x>5. 故不等式的解集为{x|x>5}. (4)“ 二次函数y= x2- 10的图象上的点”用描述 法表示为{(x, y)|y= x2-10}.

? [点评] 用列举法与描述法表示集合时,一 要明确集合中的元素;二要明确元素满足 的条件;三要根据集合中元素的个数来选 择适当的方法表示集合.

变式体验 3 用适当的方法表示下列集合: (1)由所有小于 10的既是奇数又是素数的自然数 组成的集合; (2)由所有周长等于10 cm的三角形组成的集合; (3)从 1,2,3这三个数字中抽出一部分或全部数字 (没有重复)所组成的自然数的集合;
? ?y= x (4)二元二次方程组? 2 ? y = x ?

的解集.

? ? ? ?

解:(1)列举法:{3,5,7}; (2)描述法:{周长为10 cm的三角形}; (3)列举法: {1,2,3,12,13,21,31,23,32,123,132,213,231,3 12,321}; ? (4)列举法:{(0,0),(1,1)}。

? 思悟升华 ? 1.集合的表示方法常见的有列举法和特殊 性质描述法,当集合中的元素个数有限但 公共属性难以概括时,只能用列举法;当 集合中的元素无法一一列举时,可先抽象 出元素的特征性质,用描述法表示;描述 法和列举法可以互化,同时也可以转化为 自然语言表示.

? 2.用列举法表示集合时,注意以下三点: ①元素之间用“,”隔开;②元素不重复、 无顺序;③对含有较多元素的集合,如果 构成该集合的元素有明显规律,可用列举 法,但必须把元素间的规律显示清楚后方 能用省略号.

? 3.用描述法表示集合时,注意以下几点: ①写清楚该集合中元素的代号( 字母或用字 母表示的元素符号 ) ;②说明该集合中元素 的特征;③不能出现未被说明的字母;④ 多层描述时,应当准确使用“或”、 “且”、“非”;⑤所有描述的内容都要 写在集合括号内;⑥用于描述法的语句力 求简明、确切.

? 4.对于用特征性质描述法表示的集合,一 定要搞清这个集合的代表元是数,还是有 序实数对(点),还是集合,还是其他形 式.这一点对于我们解题至关重要.


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