高考备考方法策略:专题篇平面解析几何 5 由2012年三道高考解析几何题得到的圆锥曲线性质 Word版含答案

由 2012 年三道高考解析几何题得到的圆锥曲线性质 高考题 1 (2012·福建·文·21) 如图 1,等边三角形 OAB 的边长为 8 3 ,且其三个顶 点均在抛物线 E : x2 ? 2 py( p ? 0) 上. (I)求抛物线 E 的方程; (II)设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P ,与直线 y ? ?1相交于点 Q .证明以 PQ 为直径的圆 恒过 y 轴上某定点. 图1 (参考答案:(I) x2 ? 4 y ;(II)以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上的定点(0,1).) 高考题 2 (2012·福建·理·19)如图 2,椭圆 E : x2 a2 ? y2 b2 ? 1(a ?b ? 0) 的左焦点为 F1 , 右焦点为 F2 ,离心率 e ? 1 2 .过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点,且 ?ABF2 的周长为 8. (I)求椭圆 E 的方程. (II)设动直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P ,且与直线 x ? 4 相交于点 Q . 试探究:在坐标平面内是否存在定点 M ,使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M ?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由. 图2 (参考答案:(I) x2 ? y2 ? 1;(II)在坐标平面内是否存在定点 M ,使得以 PQ 为直径的圆 43 恒过点 M ,且点 M 的坐标是(1,0).) 高 考 题 3 (2012 · 安 徽 · 理 · 20) 如 图 1 , 点 F1(?c, 0), F2 (c, 0) 分 别 是 椭 圆 -1- C : x2 a2 ? y2 b2 ? 1(a ?b ? 0) 的左、右焦点,经过 F1 作 x 轴的垂线交椭圆 C 的上半部分于点 P , 过点 F2 作直线 PF2 垂线交直线 x ? a2 c 于点 Q . 图3 (I)如果点 Q 的坐标是(4,4),求此时椭圆 C 的方程; (II)证明:直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点. (参考答案:(I) x2 ? y2 ? 1;(II)略.) 43 文献[1]研究了高考题 1,2 的一般情形(专著[2]第 55-56 页的文章也早就研究了它们),本文 由这三道高考题又得到了圆锥曲线的两条性质. 定理 1 设圆锥曲线(椭圆、双曲线或抛物线) ? 的一条准线及其对应的焦点分别是 l, F . (1)若过准线 l 上任一点 P 作两条直线分别与 ? 切于点 M , N ,则点 M , F, N 共线且 PF ? MN; (2)若过焦点 F 作直线 MN 分别与 ? 交于点 M , N ,再过点 M , N 分别作 ? 的切线交于点 P ,则点 P 在准线 l 上且 PF ? MN ; (3)过 ? 上的任一点 M 作 ? 的切线能交准线 l 于点 P ,若 ? 的与准线垂直的对称轴上的 定点 F? 满足 PF? ? F?M 恒成立,则定点 F, F? 重合且直线 PN 与 ? 也相切(其中点 N 是直线 MF? 与 ? 的另一交点); (4)过 ? 上的点 M 作直线与准线 l 交于点 P ,则直线 MP 与 ? 相切 ? MF ? FP . 为证明定理,先给出两个引理(见专著[2]第 22 页): 引理 1 (1)若 P(x0 , y0 ) 是椭圆 x2 a2 ? y2 b2 ? 1( a ? b ) 上一点,则该椭圆以点 P(x0 , y0 ) 为切 点的切线方程是 x0 x a2 ? y0 y b2 ? 1; (2)若 P(x0 , y0 ) 是双曲线 x2 a2 ? y2 b2 ? 1 上一点,则该双曲线以点 P(x0 , y0 ) 为切点的切线方 -2- 程是 x0 x ? y0 y ? 1; a2 b2 (3)若 P(x0 , y0 ) 是抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 上一点,则该抛物线以点 P(x0 , y0 ) 为切点的切 线方程是 y0 y ? 2 p ? x0 ? 2 x . 引理 2 (1) 若 P(x0 , y0 ) 是椭圆 x2 a2 ? y2 b2 ? 1( a ? b) 外一点, PM, PN切该椭圆于 M ( x1 , y1 ), N (x2 , y2 ,) 则切点弦 MN 的方程是 x0 x a2 ? y0 y b2 ? 1; (2) 若 P(x0 , y0 ) 是双曲线 x2 a2 ? y2 b2 ?1 外一点, P M, P N切 该 双 曲 线 于 M (x1, y1), N (x2, y2 ) ,则切点弦 MN 的方程是 x0 x a2 ? y0 y b2 ? 1; (3) 若 P(x0 , y0 ) 是 抛 物 线 y2 ? 2 px( p ? 0) 外 一 点 , PM , PN 切 该 抛 物 线 于 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则切点弦 MN 的 y0 y ? 2 p ? x0 ? 2 x . 定 理 1 的 证 明 先 证 抛 物 线 的 情 形 . 可 不 防 设 ? : x2 ? 2 py( p ? 0) , 得 l:y?? p 2 ,F ? ?? 0p, 2 ? ?? . (1)可设 P ? ?? x0 , ? p 2 ? ?? ,由引理 2(3),得 MN :x 0x ?p ???y ? p 2 ? ?? ,所以得点 M , F, N 共线. 当 x0 ? 0 及 x0 ? 0 时,均易证得 PF ? MN . (2) 因 为 直 线 MFN 的 斜 率 一

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