圆锥曲线 相关问题及离心率求解方法


圆锥曲线相关问题及离心率求解方法
——2014.04.29(陈佳丽) 期中考卷涉及的题号有:1.2.13.17

一.双曲线
考点 1.双曲线的定义问题 ⑴设 P 为双曲线 x 2 ?
y2 ? 1 上的一点 F1、F2 是该双曲线的两个焦点,若 12

|PF1|:|PF2|=3:2,则△PF1F2 的面积为( A. 6 3 B.12

) 。 C. 12 3 D.24

⑵已知动点 P 到点 F1(-5,0)和 F2(5,0)的距离之差为6,那么点 P 的轨迹方程为______。

考点2.与渐近线有关的问题

y ⑶与双曲线 x ?
2

2

9

16

? 1 有共同的渐近线,且过 ? 3, ,2 3 ,求双曲线的标

?

?

准方程。

二.抛物线
考点3.抛物线的定义问题 ⑷已知抛物线 y ? 2 px? p ? 0?焦点为 F,点 p ?x1, y1 、 p2 ?x 2, y2 、 p3 ?x3, y3 1
2

?

?

?

在抛物线上,且 p1 F , P2 F , P3 F 成等差数列,则有( A. x1 ? x2 ? x3 C. x1 ? x3 ? 2x2 B. y1 ? y2 ? y3 D. y1 ? y3 ? 2 y2

) 。

考点4.有关焦半径和焦点弦的计算问题 ⑸设 A,B 为抛物线 y ? 2 px 上的点,且 ∠AOB=90°, (O 为原点) ,则直线 AB 过的定点坐标为_______。
2

三.椭圆
考点5.椭圆的定义问题

y ⑹椭圆 x ? ? 1 上的点 M 到焦点 F 1 的距离为2, N 为 M F 1 的中点, 则 ON
2

2

25

9

(O 为坐标原点)的值为( A.4 B.2

) 。 C.8 D.
3 2

⑺已知椭圆的中心在原点,且经过点 p?3,0? ,a=3b,则椭圆的标准方程为 ______。

考点6.直线与椭圆的位置关系问题

y ⑻已知 P?4, 0? 是直线 l 被椭圆 x ? ? 1 所 截 得 的 线 段 的 中 点 , 求 直
2

2

36

9

线 l 的方程 .

四.圆
考点 7.圆的定义问题 ⑼求半径为 4,与圆 x 2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 4 ? 0 相切,且和直线 y=0相切的 圆的方程 .

考点 8.直线与圆的位置关系

⑽设 P 为圆 x 2 ? y 2 ? 1 上的动点,则点 P 到直线 3x ? 4 y ? 10 ? 0 的距离的 最小值为 .

⑾已知圆 C: (x-1)2+(y-2)2=25,直线 l: (2m+1)x+(m+1)y -7m-4=0(m∈R). ?证明:不论 m 取什么实数,直线 l 与圆恒交于两点; ?求直线被圆 C 截得的弦长最小时 l 的方程。

***离心率问题---椭圆的离心率 0 ? e ? 1 ,双曲线的离心率 e ? 1 ,抛物线的离
心率 e ? 1 .

一、直接求出 a 、 c ,求解 e
x2 ? y 2 ? 1 ( a ? 0 )的一条准线与抛物线 y 2 ? ?6x 的准线重合, 2 a 则该双曲线的离心率为( )

1:已知双曲线

A.

3 2

B.

3 2

C.

6 2

D.

2 3 3

2:已知双曲线 ( ) A
5 3

4 x2 y2 ? 2 ? 1 的一条渐近线方程为 y ? x ,则双曲线的离心率为 2 3 a b

B

4 3

C

5 4

D

3 2

二、构造 a 、 c 的关系,解出 e

3.设双曲线

x2 y2 ? ? 1 ( 0 ? a ? b )的半焦距为 c ,直线 L 过 ?a,0? , ?0, b ? 两点. a2 b2

已知原点到直线的距离为

3 c ,则双曲线的离心率为( 4

)
2 3 3

A. 2

B.

3

C.

2

D.

4:在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为 2 ,焦点到相应准线的距离 为 1,则该椭圆的离心率为( A
2

) C
1 2

B

2 2

D

2 4

5:在给定双曲线中,过焦点垂直于实轴的弦长为 2 ,焦点到相应准线的距离 为 A
1 ,则该双曲线的离心率为( 2

) C
2

2 2

B 2

D 2 2

三、采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义求解 6:设椭圆的两个焦点分别为 F1 、 F2 ,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P , 若 ?F1 PF2 为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是________。 7:设 F1 、 F2 分别是椭圆
x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0 )的左、右焦点, P 是其右准线 a2 b2

上纵坐标为 3c ( c 为半焦距)的点,且 F1 F2 ? F2 P ,则椭圆的离心率是( A
3 ?1 2



B

1 2

C

5 ?1 2

D

2 2

四.根据圆锥曲线的统一定义求解 8:设椭圆
x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的右焦点为 F1 ,右准线为 l1 ,若过 F1 且垂 a2 b2

直于 x 轴的弦的长等于点 F1 到 l1 的距离,则椭圆的离心率是

.

9:设 F1 、 F2 分别是双曲线

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点,若双曲线上存在点 A ,使 a2 b2

?F1 AF2 ? 900 ,且 AF1 ? 3 AF2 ,则双曲线离心率为(
A
5 2

) D

B

10 2

C

15 2

5


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