3.2.1几类不同增长的函数模型(第一课时)_图文

例题:

例1、假设你有一笔资金用于投资,现有 三种投资方案供你选择,这三种方案的回 报如下: 方案一:每天回报40元; 方案二:第一天回报10元,以后每天 比前一天多回报10元; 方案三:第一天回报0.4元,以后每天 的回报比前一天翻一番。 请问,你会选择哪种投资方案呢?

我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模 型,再通过比较它们的增长情况,为选择投资方案提 供依据。 解:设第x天所得回报为y元,则 方案一:每天回报40元; y=40 (x∈N*)

方案二:第一天回报10元,以后每天比前一天多回 报10元; y=10x (x∈N*) 方案三:第一天回报0.4元,以后每天的回报比前 一天翻一番。

y=0.4×2x-1 (x∈N*)

x/ 天 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … 30

方案一
y/元 增长量/元

方案二
y/元 增长 量/元 y/元

方案三

增长量/元

40 40 40 40 40 40 40 40 40 … 40

0 0 0 0 0 0 0 0 0 … 0

10 20 30 40 50 60 70 80 90 … 300

10 10 10 10 10 10 10 10 … 10

0.4 0.8 1.6 3.2 6.4 12.8 25.6 51.2 102.4 …
214748364.8

0.4 0.8 1.6 3.2 6.4 12.8 25.6 51.2 …

107374182

图112-1

从每天的回报量来看: 第1~4天,方案一最多: 第5~8天,方案二最多: 第9天以后,方案三最多;

有人认为投资1~4 天选择方案一; 5~8天选择方案二; 9天以后选择方案 三?

累积回报表
天 数 方案 1
40
10 0.4

2
80
30 1.2

3
120
60 2.8

4
160
100 6

5
200
150 12.4

6
240
210 25.2

7
280
280 50.8

8
320
360 102

9
360
450 204.4

10
400
550 409.2

11
440
660 818.8


二 三

结论

投资6天以下(含6天),应选择方案一; 投资7天,应选方案一或方案二;投资8~10天, 应选择第二种投资方案;投资11天(含11天) 以上,应选择第三种投资方案。

例2、某公司为了实现1000万元利润的 目标,准备制定一个激励销售部门的奖 励方案:在销售利润达到10万元时,按 销售利润进行奖励,且资金y(单位:万 元)随着销售利润x (单位:万元)的增加 而增加,但资金数不超过5万元,同时 奖金不超过利润的25%。现有三个奖励 模型:y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x, 其中哪个模型能符合公司的要求呢?

本问题涉及了哪几类函数模型?本问题的 实质是什么?

y=0.25x

· · · · · · · · · · · · · 一次函数模型

y=log7 x +1, · · · · · · · · · · · · · 对数函数模型
y=1.002x

· · · · · · · · · · · · · 指数函数模型

实质 : 分析三种函数的不同增长情况对 于奖励模型的影响,就是比较三个函数的增 长情况.

奖励模型符合公司要求就是依据这个模 型进行奖励时,符合条件: (1)奖金总数不超过5万元; (2)奖金不超过利润的25%. 因此 , 在区间 [10,1000] 上 , 不妨作出三个 函数模型的图象 , 通过观察函数的图象 , 得到 初步的结论,再通过具体计算确认结果.

通过观察图象,你认为哪个模型符合公司 的奖励方案? y 8 y=0.25x
7 6 5 4 3 2 1

y=5

y ? 1.002
y ? log7 x ? 1

x

o

200 400 600 800 1000 1200

x

通过观察图象,你认为哪个模型符合公司 y 的奖励方案?
8 7 6 5 4 3 2 1

y=0.25x
y ? log 7 x ? 1

y=5

y ? 1.002 x
20

o

①对于模型y=0.25x,它在区间[10,1000]上递增, 当x>20时,y>5,因此该模型不符合要求;

40 60 80 10 12 0 0 0 0 00 00

x

通过观察图象,你认为哪个模型符合公 y 司的奖励方案?
8 7 6 5 4 3 2 1

y=0.25x
y ? log 7 x ? 1

y=5

y ? 1.002 x
20

o

40 60 80 10 12 0 0 0 0 00 00

x

②对于模型 y=1.002x, 它在区间 [10,1000] 上递增 , 观察 图象并结合计算可知,当x>806时,y>5,因此该模型不符 合要求.

通过观察图象 , 你认为哪个模型符合公 y 司的奖励方案?
8 7 6 5 4 3 2 1

y=0.25x
y ? log 7 x ? 1

y=5

y ? 1.002 x
20 40 60 80 10 12 0 0 0 0 00 00

o

x

③对于模型y=log7x+1,它在区间[10,1000]上递增, 观察图象并结合计算可知,当x=1000时, y=log71000+1≈4.55<5,

所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.

按模型y=log7x+1奖励时,奖金是否不超过 利润的25%呢?

解:当x∈[10,1000]时, 要使y≤0.25x成立,
只需log7x+1≤0.25x 成立, 即log7x+1-0.25x ≤0.

令f(x)= log7x+1-0.25x,当x∈[10,1000]时是 否有f(x) ≤0恒成立?
即当x∈[10,1000]时,f(x)= log7x+1-0.25x的 图象是否在x轴下方?

作f(x)= log7x+1-0.25x的图象如下:

y o
10

x

根据图象观察, f(x)=log7x+1-0.25x的图象 在区间[10,1000]内的确在x轴的下方. 这说明,按模型y=log7x+1奖励,奖金不会超 过利润的25%.

1、四个变量 y1 , y2, y3 , y4 随变量
x

x 变化的数据如下表:
20 2005 25 3130 30 4505

0 5 5

5 130 94.478

10 505 1758.2

15 1130 33733

y1

y2 y3 y4

6.37 ?105 1.2 ?107 2.28 ?108
105
1.0461

5
5

30
2.3107

55
1.4295

80
1.1407

130
1.0151 。

155
1.005

关于x呈指数型函数变化的变量是

y2

2、某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的,如 果某台计算机感染上这种病毒,那么每轮病毒发作时,这 台计算机都可能感染没被感染的20台计算机。现在10台计 算机在第1轮病毒发作时被感染,问在第5轮病毒发作时可 能有多少台计算机被感染?
第一轮 第二轮 被感染 的电脑 数量 第三轮 第四轮
2

第五轮

10

10 ? 20

10 ? 20

10 ? 20 3

10 ? 20 4

确定函数模型

利用数据表格、函数图象讨论模型

体会直线上升、指数爆炸、对数增长 等不同函数类型的增长含义


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