一次函数与几何图形综合题(含标准答案)

一次函数与几何图形综合专题讲座
思想方法小结 : (1)函数方法. 函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系,抽象、升华为函数的模型, 进而解决有关问题的方法. 函数的实质是研究两个变量之间的对应关系, 灵活运用函数方法 可以解决许多数学问题. (2)数形结合法. 数形结合法是指将数与形结合,分析、研究、解决问题的一种思想方法,数形结合法在 解决与函数有关的问题时,能起到事半功倍的作用. 知识规律小结 : (1)常数 k,b 对直线 y=kx+b(k≠0)位置的影响. ①当 b>0 时,直线与 y 轴的正半轴相交; 当 b=0 时,直线经过原点; 当 b﹤0 时,直线与 y 轴的负半轴相交. ②当 k,b 异号时,即- 当 b=0 时,即-

b >0 时,直线与 x 轴正半轴相交; k

b =0 时,直线经过原点; k b 当 k,b 同号时,即- ﹤0 时,直线与 x 轴负半轴相交. k
③当 k>O,b>O 时,图象经过第一、二、三象限; 当 k>0,b=0 时,图象经过第一、三象限; 当 b>O,b<O 时,图象经过第一、三、四象限; 当 k﹤O,b>0 时,图象经过第一、二、四象限; 当 k﹤O,b=0 时,图象经过第二、四象限; 当 b<O,b<O 时,图象经过第二、三、四象限. (2)直线 y=kx+b(k≠0)与直线 y=kx(k≠0)的位置关系. 直线 y=kx+b(k≠0)平行于直线 y=kx(k≠0) 当 b>0 时,把直线 y=kx 向上平移 b 个单位,可得直线 y=kx+b; 当 b﹤O 时,把直线 y=kx 向下平移|b|个单位,可得直线 y=kx+b. (3)直线 b1=k1x+b1 与直线 y2=k2x+b2(k1≠0 ,k2≠0)的位置关系.

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①k1≠k2 ? y1 与 y2 相交; ②?

?k1 ? k 2 ; ? y1 与 y2 相交于 y 轴上同一点(0,b1)或(0,b2) ?b1 ? b2 ?k1 ? k 2 , ? y1 与 y2 平行; ?b1 ? b2 ?k1 ? k 2 , ? y1 与 y2 重合. b ? b 2 ?1

③?

④?

例题精讲: 1、直线 y=-2x+2 与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点,C 在 y 轴的负半轴上,且 OC=OB

y Q B x

o C
(1) 求 AC 的解析式;

A

P

(2) 在 OA 的延长线上任取一点 P,作 PQ⊥BP,交直线 AC 于 Q,试探究 BP 与 PQ 的数量关系, 并证明你的结论。 (3) 在(2)的前提下,作 PM⊥AC 于 M,BP 交 AC 于 N,下面两个结论:①(MQ+AC)/PM 的 值不变;②(MQ-AC)/PM 的值不变,期中只有一个正确结论,请选择并加以证明。

y Q B M o C A P x

2.(本题满分 12 分)如图①所示,直线 L: y ? mx ? 5m 与 x 轴负半轴、 y 轴正半轴分别交 2 / 24

于 A、B 两点。 (1)当 OA=OB 时,试确定直线 L 的解析式;

(2)在(1)的条件下,如图②所示,设 Q 为 AB 延长线上一点,作直线 OQ,过 A、B 两点分 别作 AM⊥OQ 于 M,BN⊥OQ 于 N,若 AM=4,BN=3,求 MN 的长。 (3)当 m 取不同的值时,点 B 在 y 轴正半轴上运动,分别以 OB、AB 为边,点 B 为直角 顶点在第一、 二象限内作等腰直角△OBF 和等腰直角△ABE, 连 EF 交 y 轴于 P 点, 如图③。 问:当点 B 在 y 轴正半轴上运动时,试猜想 PB 的长是否为定值,若是,请求出其值, 若不是,说明理由。
第 2 题图① 第 2 题图②

考点:一次函数综合题;直角三角形全等的判定. 专题:代数几何综合题. 分析:(1)是求直线解析式的运用,会把点的坐标转化为线段的长度;
(2)由 OA=OB 得到启发,证明∴△AMO≌△ONB,用对应线段相等求长度; (3)通过两次全等,寻找相等线段,并进行转化,求 PB 的长.
第 2 题图③

解答:解:(1)∵直线 L:y=mx+5m,
∴A(-5,0),B(0,5m), 由 OA=OB 得 5m=5,m=1, ∴直线解析式为:y=x+5. (2)在△AMO 和△OBN 中 OA=OB,∠OAM=∠BON, ∠AMO=∠BNO, ∴△AMO≌△ONB. ∴AM=ON=4, ∴BN=OM=3. (3)如图,作 EK⊥y 轴于 K 点. 先证△ABO≌△BEK,
B y l1

∴OA=BK,EK=OB. 再证△PBF≌△PKE,
A
0

x

∴PK=PB. ∴PB=

1 1 5 BK= OA= . 2 2 2

C l2

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点评:本题重点考查了直角坐标系里的全等关系,充分运用坐标系里
的垂直关系证明全等,本题也涉及一次函数图象的实际应用问题.
B y

3、如图,直线 l1 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点,直线 l2 与直线 l1 关 于 x 轴对称,已知直线 l1 的解析式为 y ? x ? 3 ,
A

0

x

(1)求直线 l2 的解析式; (3 分) (2) 过 A 点在△ABC 的外部作一条直线 l3 , 过点 B 作 BE⊥ l3 于 E,过点 C
C

y B

作 CF⊥ l3 于 F 分别,请画出图形并求证:BE+CF=EF (3)△ABC 沿 y 轴向下平移,AB 边交 x 轴于点 P,过 P 点的 直线与 AC 边的延长线相交于点 Q,与 y 轴相交与点 M,且 BP=CQ,在△ABC 平移的过程中,①OM 为定值;②MC 为 定值。在这两个结论中,有且只有一个是正确的,请找出正确 的结论,并求出其值。 (6 分)

P
0

x

A M C Q

考点:轴对称的性质;全等三角形的判定与性质.

分析:(1)根据题意先求直线 l1 与 x 轴、y 轴的交点 A、B 的坐标,再根据轴对称的性质求
直线 l2 的上点 C 的坐标,用待定系数法求直线 l2 的解析式; (2)根据题意结合轴对称的性质,先证明△BEA≌△AFC,再根据全等三角形的性质,结 合图形证明 BE+CF=EF; (3)首先过 Q 点作 QH⊥y 轴于 H,证明△QCH≌△PBO,然后根据全等三角形的性质和 △QHM≌△POM,从而得 HM=OM,根据线段的和差进行计算 OM 的值.

解答:解:(1)∵直线 l1 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点,
∴A(-3,0),B(0,3), ∵直线 l2 与直线 l1 关于 x 轴对称, ∴C(0,-3) ∴直线 l2 的解析式为:y=-x-3; (2)如图 1. 答:BE+CF=EF. ∵直线 l2 与直线 l1 关于 x 轴对称,

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∴AB=BC,∠EBA=∠FAC, ∵BE⊥l3,CF⊥l3 ∴∠BEA=∠AFC=90° ∴△BEA≌△AFC ∴BE=AF,EA=FC, ∴BE+CF=AF+EA=EF; (3)①对,OM=3 过 Q 点作 QH⊥y 轴于 H,直线 l2 与直线 l1 关于 x 轴对称 ∵∠POB=∠QHC=90° ,BP=CQ, 又 AB=AC, ∴∠ABO=∠ACB=∠HCQ, 则△ QCH≌△PBO(AAS), ∴QH=PO=OB=CH ∴△QHM≌△POM ∴HM=OM ∴OM=BC-(OB+CM)=BC-(CH+CM)=BC-OM ∴OM=

1 BC=3. 2

点评:轴对称的性质:对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直,对应点所连的线段被
对称轴垂直平分,对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等,对应的角、线段都相 等. 4.如图,在平面直角坐标系中,A(a,0),B(0,b),且 a、

b 满足

.

(1)求直线 AB 的解析式;

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(2)若点 M 为直线 y=mx 上一点,且△ ABM 是以 AB 为底的等腰直角三角形,求 m 值; (3)过 A 点的直线 线 交 y 轴于负半轴于 P,N 点的横坐标为-1,过 N 点的直 的值为定值.

交 AP 于点 M,试证明

考点:一次函数综合题;二次根式的性质与化简;一次函数图象上点的坐标特征;待定系数
法求正比例函数解析式;全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形.

专题:计算题. 分析:(1)求出 a、b 的值得到 A、B 的坐标,设直线 AB 的解析式是 y=kx+b,代入得到方
程组,求出即可; (2)当 BM⊥BA,且 BM=BA 时,过 M 作 MN⊥Y 轴于 N,证△ BMN≌△ABO(AAS),求 出 M 的坐标即可;②当 AM⊥BA,且 AM=BA 时,过 M 作 MN⊥X 轴于 N,同法求出 M 的 坐标;③当 AM⊥BM,且 AM=BM 时,过 M 作 MN⊥X 轴于 N,MH⊥Y 轴于 H,证 △ BHM≌△AMN,求出 M 的坐标即可. (3)设 NM 与 x 轴的交点为 H,分别过 M、H 作 x 轴的垂线垂足为 G,HD 交 MP 于 D 点, 求出 H、G 的坐标,证△ AMG≌△ADH,△ AMG≌△ADH≌△DPC≌△NPC,推出 PN=PD=AD=AM 代入即可求出答案.

解答:解:(1)要使 b=
必须(a-2)2=0, b - 4 =0, ∴a=2,b=4, ∴A(2,0),B(0,4), 设直线 AB 的解析式是 y=kx+b, 代入得:0=2k+b,4=b, 解得:k=-2,b=4, ∴函数解析式为:y=-2x+4, 答:直线 AB 的解析式是 y=-2x+4. (2)如图 2,分三种情况:

有意义,

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①如图(1)当 BM⊥BA,且 BM=BA 时,过 M 作 MN⊥Y 轴于 N, △ BMN≌△ABO(AAS), MN=OB=4,BN=OA=2, ∴ON=2+4=6, ∴M 的坐标为(4,6 ), 代入 y=mx 得:m=

3 , 2 1 , 3

②如图(2)当 AM⊥BA,且 AM=BA 时,过 M 作 MN⊥X 轴于 N,△ BOA≌△ANM(AAS), 同理求出 M 的坐标为(6,2),m=

③当 AM⊥BM, 且 AM=BM 时, 过 M 作 MN⊥X 轴于 N, MH⊥Y 轴于 H, 则△ BHM≌△AMN, ∴MN=MH, 设 M(x,x)代入 y=mx 得:x=mx,(2) ∴m=1, 答:m 的值是

3 1 或 或 1. 2 3

(3)解:如图 3,结论 2 是正确的且定值为 2, 设 NM 与 x 轴的交点为 H,分别过 M、H 作 x 轴的垂线垂足为 G,HD 交 MP 于 D 点, 由 y=

k k x- 与 x 轴交于 H 点, 2 2 k k x- 与 y=kx-2k 交于 M 点, 2 2

∴H(1,0), 由 y=

∴M(3,K), 而 A(2,0), ∴A 为 HG 的中点,

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∴△AMG≌△ADH(ASA), 又因为 N 点的横坐标为-1,且在 y=

k k x- 上, 2 2

∴可得 N 的纵坐标为-K,同理 P 的纵坐标为-2K, ∴ND 平行于 x 轴且 N、D 的横坐标分别为-1、1 ∴N 与 D 关于 y 轴对称, ∵△AMG≌△ADH≌△DPC≌△NPC, ∴PN=PD=AD=AM, ∴

PM - PN =2. AM

点评:本题主要考查对一次函数图象上点的坐标特征,等腰直角三角形性质,用待定系数法
求正比例函数的解析式, 全等三角形的性质和判定, 二次根式的性质等知识点的理解和掌握, 综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键. 5.如图,直线 AB:y=-x-b 分别与 x、y 轴交于 A(6,0)、B 两点,过点 B 的直线交 x 轴 负半轴于 C,且 OB:OC=3:1。 (1)求直线 BC 的解析式: (2)直线 EF:y=kx-k(k≠0)交 AB 于 E,交 BC 于点 F, 交 x 轴于 D,是否存在这样的直线 EF,使得 S△ EBD=S△ FBD? 若存在,求出 k 的值;若不存在,说明理由? (3)如图,P 为 A 点右侧 x 轴上的一动点,以 P 为直角 顶点,BP 为腰在第一象限内作等腰直角△ BPQ,连接 QA 并延长交y轴于点 K,当 P 点运 动时,K 点的位置是否发现变化?若不变,请求出它的坐标;如果变化,请说明理由。

考点:一次函数综合题;一次函数的定义;正比例函数的图象;待定系数法求一次函数解析
式.

专题:计算题. 分析:代入点的坐标求出解析式 y=3x+6,利用坐标相等求出 k 的值,用三角形全等的相等
关系求出点的坐标.

解答:解:(1)由已知:0=-6-b,
∴b=-6, ∴AB:y=-x+6.

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∴B(0,6) ∴OB=6 ∵OB:OC=3:1, OC=

OB =2, 3

∴C(-2,0) 设 BC 的解析式是 Y=ax+c,代入得;6=0?a+c, 0=-2a+c, 解得:a=3, c=6, ∴BC:y=3x+6. 直线 BC 的解析式是:y=3x+6; (2)过 E、F 分别作 EM⊥x 轴,FN⊥x 轴,则∠EMD=∠FND=90° . ∵S△ EBD=S△ FBD, ∴DE=DF. 又∵∠NDF=∠EDM, ∴△NFD≌△EDM, ∴FN=ME. 联立 y=kx-k, y=-x+6 得 yE=

5k , k ?1
9k . k -3

联立 y=kx-k,y=3x+6 得 yF=

∵FN=-yF,ME=yE, ∴

5k - 9k = . k ?1 k -3

∵k≠0, ∴5(k-3)=-9(k+1), ∴k=

3 ; 7

(3)不变化 K(0,-6). 过 Q 作 QH⊥x 轴于 H, ∵△BPQ 是等腰直角三角形, ∴∠BPQ=90° ,PB=PQ,

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∵∠BOA=∠QHA=90° , ∴∠BPO=∠PQH, ∴△BOP≌△HPQ, ∴PH=BO,OP=QH, ∴PH+PO=BO+QH, 即 OA+AH=BO+QH, 又 OA=OB, ∴AH=QH, ∴△AHQ 是等腰直角三角形, ∴∠QAH=45° , ∴∠OAK=45° , ∴△AOK 为等腰直角三角形, ∴OK=OA=6, ∴K(0,-6).

点评:此题是一个综合运用的题,关键是正确求解析式和灵活运用解析式去解.
6. 如图,直线 AB 交 X 轴负半轴于 B(m,0) ,交 Y 轴负半轴于 A(0,m) ,OC⊥AB 于 C (-2,-2) 。 (1)求 m 的值;

过G作OB的垂线,垂足为 G ? OB ? OA ? ?AOB为等腰直角三角形 ? ?CBO ? 45? ? ?CGB, ?CGO, ?OCB都是等腰直角三角形 ? GB ? OG ? CG ? 2 ? m ? -4
(2)直线 AD 交 OC 于 D,交 X 轴于 E,过 B 作 BF⊥AD 于 F,若 OD=OE,求

BF 的值; AE

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?HBO ? ?FAH(同角的余角相等) ? OE ? OD ? ?OED ? ?ODE ? ?FEB ? ?OED,?ADC ? ?ODE(对顶角相等) ? ?ADC ? ?FEB ? ?HBO ? ?CAD ? ?CAD ? ?FAH 在?AFB和?AFH中 ??AFB ? ?AFH ? 90? ? ?AF ? AF(公共边) ??BAF ? ?FAH (已证) ? ? ?AFB ? ?AFH(ASA) ? BF ? HF (全等三角形对应边相等 ) 在?BOH和?AOE中, ??HBO ? ?EAO(已证) ? ?BO ? AO(已知) ??BOH ? ?AOE ? 90? ? ? ?BOH ? ?AOE(ASA) ? BH ? AE(全等三角形对应边相 等) ? BH ? BF ? BH ? 2 BF ? BF BF BF 1 ? ? ? AE BH 2BF 2

(3)如图,P 为 x 轴上 B 点左侧任一点,以 AP 为边作等腰直角△ APM,其中 PA=PM,直 线 MB 交 y 轴于 Q,当 P 在 x 轴上运动时,线段 OQ 长是否发生变化?若不变,求其值;若 变化,说明理由。

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7.在平面直角坐标系中, 一次函数 y=ax+b 的图像过点 B (-1, ) , 与 x 轴交于点 A (4,0) , 与 y 轴交于点 C,与直线 y=kx 交于点 P,且 PO=PA (1)求 a+b 的值;

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(2)求 k 的值; (3)D 为 PC 上一点,DF⊥x 轴于点 F,交 OP 于点 E,若 DE=2EF,求 D 点坐标.

考点:一次函数与二元一次方程(组). 专题:计算题;数形结合;待定系数法. 分析:(1)根据题意知,一次函数 y=ax+b 的图象过点 B(-1,
A、B 代入求值即可; (2)设 P(x,y),根据 PO=PA,列出方程,并与 y=kx 组成方程组,解方程组; (3)设点 D(x,-

5 )和点 A(4,0),把 2

1 1 1 x+2),因为点 E 在直线 y= x 上,所以 E(x, x),F(x,0), 2 2 2

再根据等量关系 DE=2EF 列方程求解.

解答:解:(1)根据题意得:

5 =-a+b 2
0=4a+b

1 , b=2 2 1 3 3 ∴a+b=- +2= ,即 a+b= ; 2 2 2
解方程组得:a= (2)设 P(x,y),则点 P 即在一次函数 y=ax+b 上,又在直线 y=kx 上, 由(1)得:一次函数 y=ax+b 的解析式是 y=- 又∵PO=PA, ∴x2+y2=(4-x)2+y2 y=kx y=

1 x+2, 2

1 x+2, 2 1 , 2

解方程组得:x=2,y=1,k=

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∴k 的值是

1 ; 2 1 1 x+2),则 E(x, x),F(x,0), 2 2

(3)设点 D(x,- ∵DE=2EF, ∴-

1 1 1 x+2- x=2× x, 2 2 2

解得:x=1,

1 1 3 x+2=- × 1+2= , 2 2 2 3 ∴D(1, ). 2
则-

点评:本题要求利用图象求解各问题,要认真体会点的坐标,一次函数与一元一次方程组之
间的内在联系. 8. 在直角坐标系中, B、 A 分别在 x, y 轴上, B 的坐标为 (3, 0) , ∠ABO=30° , AC 平分∠OAB 交 x 轴于 C; (1)求 C 的坐标; 解:∵∠AOB=90°∠ABO=30° ∴∠OAB=30° 又 ∵ AC 是∠OAB 的角平分线 ∴∠OAC=∠CAB=30° ∵OB=3 ∴OA= 3 即 C(1,0) (2)若 D 为 AB 中点,∠EDF=60° ,证明:CE+CF=OC 证明:取 CB 中点 H,连 CD,DH ∵ AO= ∴AC=2 又∵D,H 分别是 AB,CD 中点 ∴DH= ∵ DB= OC=1

3

CO=1

1 AC 2

AB=2 3 BC=2 ∠ABC=30°

1 AB= 3 2

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∴ BC=2 CD=2 ∠CDB=60° CD=1=DH ∵ ∠EOF=∠EDC+∠CDF=60 ° ∴∠EDC=∠FDH ∵AC=BC=2 ∴CD⊥AB ADC=90° ∵∠CBA=30° ∴∠ECD=60° ∵HD=HB=1 ∴∠DHF=60° 在△ DCE 和 △ DHF 中 ∠EDC=∠FDH ∠DCE=∠DHF DC=DH ∴△DCE≌ △ DHF(AAS) ∴CE=HF ∴CH=CF+FH=CF+CE=1 ∴CH=OC ∴OC=CE+CF (3)若 D 为 AB 上一点,以 D 作△ DEC,使 DC=DE,∠EDC=120° ,连 BE,试问∠EBC 的度数是否发生变化;若不变,请求值。 解:不变 ∠EBC=60° 设 DB 与 CE 交与点 G OC=1 ∠CDB=∠CDF+∠FDH=60°

? DC=DE ∠EDC=120°
∴∠DEC=∠DCE=30° 在△ DGC 和△ DCB 中 ∠CDG=∠BDC ∠DCG=∠DBC=30 ∴△DGC ∽ △ DCB

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DC DB = DG DC
DC=DE



DE DB = DG DE

在 EDG 和 BDE 中

DE DB = DG DE
∠EDG=∠BDE ∴△EDG ∽ △ BDE ∴∠DEG=∠DBE=30° ∴∠EBD=∠DBE+∠DBC=60° 9、如图,直线 AB 交 x 轴正半轴于点 A(a,0) ,交 y 轴正半轴于点 B(0, b) ,且 a 、b 满足 a ? 4 + |4-b|=0 (1)求 A、B 两点的坐标; (2) D 为 OA 的中点, 连接 BD, 过点 O 作 OE⊥BD 于 F, 交 AB 于 E, 求证∠BDO=∠EDA;
y B

E F

O

D

A

x

(3)如图,P 为 x 轴上 A 点右侧任意一点,以 BP 为边作等腰 Rt△ PBM,其中 PB=PM,直 线 MA 交 y 轴于点 Q,当点 P 在 x 轴上运动时,线段 OQ 的长是否发生变化?若不 变,求其值;若变化,求线段 OQ 的取值范 围.
y

M B

考点:全等三角形的判定与性质;非负数的性质:
绝对值;非负数的性质:算术平方根.

专题:证明题;探究型.
O A

P

x

Q

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分析:①首先根据已知条件和非负数的性质得到关于 a、b 的方程,解方程组即可求出 a,b
的值,也就能写出 A,B 的坐标; ②作出∠AOB 的平分线,通过证△ BOG≌△OAE 得到其对应角相等解决问题; ③过 M 作 x 轴的垂线,通过证明△ PBO≌△MPN 得出 MN=AN,转化到等腰直角三角形中 去就很好解决了.

解答:解:①∵ a ? 4 +|4-b|=0
∴a=4,b=4, ∴A(4,0),B(0,4); (2)作∠AOB 的角平分线,交 BD 于 G, ∴∠BOG=∠OAE=45° ,OB=OA, ∠OBG=∠AOE=90° -∠BOF, ∴△BOG≌△OAE, ∴OG=AE. ∵∠GOD=∠A=45° ,OD=AD, ∴△GOD≌△EDA. ∴∠GDO=∠ADE. (3)过 M 作 MN⊥x 轴,垂足为 N. ∵∠BPM=90° , ∴∠BPO+∠MPN=90° . ∵∠AOB=∠MNP=90° , ∴∠BPO=∠PMN,∠PBO=∠MPN. ∵BP=MP, ∴△PBO≌△MPN, MN=OP,PN=AO=BO, OP=OA+AP=PN+AP=AN, ∴MN=AN,∠MAN=45° . ∵∠BAO=45° , ∴∠BAO+∠OAQ=90° ∴△BAQ 是等腰直角三角形.

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∴OB=OQ=4. ∴无论 P 点怎么动 OQ 的长不变.

点评:(1)考查的是根式和绝对值的性质.
(2)考查的是全等三角形的判定和性质. (3)本题灵活考查的是全等三角形的判定与性质,还有特殊三角形的性质. 10、如图,平面直角坐标系中,点 A、B 分别在 x、y 轴上,点 B 的坐标为(0,1), ∠BAO=30° . (1)求 AB 的长度; (2)以 AB 为一边作等边△ ABE,作 OA 的垂直平分线 MN 交 AB 的垂线 AD 于点 D.求证:BD=OE.

y

M

E

y

E

B O A x

B O F A x

N

D

D

(3)在(2)的条件下,连结 DE 交 AB 于 F.求证:F 为 DE 的中点.

考点:全等三角形的判定与性质;线段垂直平分线的性质;等边三角形的
性质;含 30 度角的直角三角形.

专题:计算题;证明题. 分析:(1)直接运用直角三角形 30° 角的性质即可.
(2)连接 OD,易证△ ADO 为等边三角形,再证△ ABD≌△AEO 即可. (3)作 EH⊥AB 于 H,先证△ ABO≌△AEH,得 AO=EH,再证 △ AFD≌△EFH 即可.

解答:(1)解:∵在 Rt△ ABO 中,∠BAO=30° ,
∴AB=2BO=2; (2)证明:连接 OD, ∵△ABE 为等边三角形,

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∴AB=AE,∠EAB=60° , ∵∠BAO=30° ,作 OA 的垂直平分线 MN 交 AB 的垂线 AD 于点 D, ∴∠DAO=60° . ∴∠EAO=∠NAB 又∵DO=DA, ∴△ADO 为等边三角形. ∴DA=AO. 在△ ABD 与△ AEO 中, ∵AB=AE,∠EAO=∠NAB,DA=AO ∴△ABD≌△AEO. ∴BD=OE. (3)证明:作 EH⊥AB 于 H. ∵AE=BE,∴AH= ∵BO=

1 AB, 2

1 AB,∴AH=BO, 2

在 Rt△ AEH 与 Rt△ BAO 中, AH=BO ,AE=AB ∴Rt△ AEH≌Rt△ BAO, ∴EH=AO=AD. 又∵∠EHF=∠DAF=90° , 在△ HFE 与△ AFD 中, ∠EHF=∠DAF,∠EFH=∠DFA,EH=AD ∴△HFE≌△AFD, ∴EF=DF. ∴F 为 DE 的中点.

点评:本题主要考查全等三角形与等边三角形的巧妙结合,来证明角相等和线段相等.
11.如图,直线 y=

1 x+1 分别与坐标轴交于 A、B 两点,在 y 轴的负半轴上截取 OC=OB. 3

(1)求直线 AC 的解析式; 解:∵ 直线 y=

1 x+1 分别与坐标轴交于 A、B 两点 3

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∴ 可得点 A 坐标为(-3,0) ,点 B 坐标为(0,1) ∵ OC=OB ∴ 可得点 C 坐标为(0,-1) 设直线 AC 的解析式为 y=kx+b 将 A(-3,0) ,C(0,-1)代入解析式

-3k+b=0 且 b=-1 可得 k=- ,b=-1
∴ 直线 AC 的解析式为 y=

1 3

1 x-1 3

(2)在 x 轴上取一点 D(-1,0) ,过点 D 做 AB 的 垂线,垂足为 E,交 AC 于点 F,交 y 轴于点 G,求 F 点的坐标; 解:∵ GE⊥AB ∴ ∴

k E G? k

A B

? ?1

k GE =

?1
1 3

= ?3
'

设直线 GE 的解析式为 y=-3x+b

将点 D 坐标(-1,0)代入,得 y=-3 ????? ? b ? 0
'
' ∴ b ? ?3

∴ 直线 GE 的解析式为 y=-3x-3 联立 y=

1 x??3 4 , x-1 与 y=-3x-3,可求出 3
?3 4


将其代入方程可得 y= ∴ F 点的坐标为(

?3 4



?3 4



(3)过点 B 作 AC 的平行线 BM, 过点 O 作直线 y=kx (k>0) , 分别交直线 AC、 BM 于点 H、 I,试求

AH ? BI 的值。 AB

解:过点 O 作 AC 的平行线 ON 交 AB 于点 N ∵BM//AC

OI OH ∴

OB ? OC

∵OB=OC 20 / 24

∴OI=OH ∴O 为 IH 的中点 ∵BM//AC

NB ∴ NA

OI = OH

∵ OI=OH ∴ NB=NA ∴ N 为 AB 中点 ∴ ON 是四边形 ABIH 的中位线 ∴ AH+BI=2ON ∵ N 是 AB 的中点, ? AOB 是直角三角形 ∴ AB=2ON(直接三角形斜边的中线等于斜边的一半) ∴ AH+BI=AB ∴

AH ? BI =1 AB

12.如图,直线 AB:y=-x-b 分别与 x、y 轴交于 A(6,0) 、B 两点,过点 B 的直线交 x 轴 负半轴于 C,且 OB:OC=3:1. (1)求直线 BC 的解析式; 解: (1)因为直线 AB:y=-x-b 过点 A(6,0). 带入解析式 就可以得到 b=-6 即直线 AB:y=-x+6 ∵B 为直线 AB 与 y 轴的交点 ∴点 B (0,6) ∵OB:OC=3:1 ∴OC=2 点 C(-2,0) 已知直线上的两点 B、C。设直线的解析式为 y=kx+m 带入 B、C 的坐标。可以算出 k=3 ,m=6 所以 BC 的解析式为:y=3x+6 (2)直线 EF:y=kx-k(k≠0)交 AB 于 E,交 BC 于点 F,交 x 轴于 D,是否存在这样的直 线 EF,使得 S△ EBD=S△ FBD?若存在,求出 k 的值;若不存在,说明理由?

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(2) 假设 存在满足题中条件的 k 值 因为直线 EF: y=kx-k(k≠0)交 x 轴于点 D。 所以 D 点坐标为(1,0) 在图中标出点 D,且过点 D 做一直线,相交与直线 AB,BC 分别与点 E,F 然后观察△ EBD 和 △ FBD 则 S△ EBD=

1 DE× h 2

S△ FBD=

1 DF× h 2

两个三角形的高其实是一样的 要使这两个三角形面积相等,只要满足 DE=DF 就可以了 ∵点 E 在直线 AB 上,∴设点 E 的坐标为(p,-p+6) ∵点 F 在直线 BC 上,∴设点 F 的坐标为(q,3q+6) 而上面我们已经得到点 D 的坐标为(1,0) 点 E、 F 又关于点 D 对称, 所以我们就可以得到两个等式, 即: (p+q)/2=1 (-p+6+3q+6)/2=0

9 5 ,q=- 2 2 9 3 5 3 点 E 的坐标即为( , ) ,点 F 的坐标即为(- ,- ) 2 2 2 2 3 把点 E 代入直线 EF 的解析式,得到 k= 7 3 所以存在 k,且 k= 7
这样就可以求得:p= (3)如图, P 为 A 点右侧 x 轴上的一动点, 以 P 为直角顶点, BP 为腰在第一象限内作等腰直角△ BPQ, 连接 QA 并延长交 y 轴于点 K, 当 P 点运动时, K 点的位置是否发生变化?若不变, 请求出它的坐标;如果变化,请说明理由。 (3) K 点的位置不发生变化 理由:首先假设直线 QA 的解析式为 y=ax+b,点 P 的坐标为 (p,0)过点 Q 作直线 QH 垂直于 x 轴,交点为 H 这样图中就可以形成两个三角形,分别是△ BOP 和△ PHQ, 且两个三角形都是直角三角形。 ∵△BPQ 为等腰直角三角形,直角顶点为 P

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∴BP=PQ,∠BPO+∠QPH=180? —90? =90? 又∵在直角三角形中,∴∠QPH+∠PQH=90? ∴根据上面两个等式,我们可以得到∠BPO=∠PQH 且 PB=QP 所以在△ BOP 和△ PHQ 中 ∠BOP=∠PHQ ∴△BOP≌△PHQ(AAS) ∠BPO=∠PQH ∴OP =HQ =p OB=HP=6 (全等三角形的对应边相等) PB =QP ∴点 Q 的坐标为(p+6,p) 然后将点 A 和点 Q 的坐标代入直线 QA 的解析式:y=ax+b 中,得到: a=1,b=-6 也就是说 a,b 为固定值,并不随点 P(p,0)的改变而改变 这样直线 QA:y=x-6 的延长线交于 Y 轴的 K 点也不会随点 P 的 变化而变化了。 求得点 K 的坐标为(0,-6) 实战练习: 1.已知,如图,直线 AB:y=-x+8 与 x 轴、y 轴分别相交于点 B、 A,过点 B 作直线 AB 的垂线交 y 轴于点 D. (1)求直线 BD 的解析式;

(2)若点 C 是 x 轴负半轴上的任意一点,过点 C 作 AC 的垂线与 BD 相交于点 E, 请你判断:线段 AC 与 CE 的大 小关系?并证明你的判断; (3)若点 G 为第二象限内任一点,连结 EG,过点 A 作 AF⊥FG 于 F, 连结 CF, 当点 C 在 x 轴的负半轴上运动时, ∠CFE 的度数是否发生变化?若不变, 请求出∠CFE 的度 数;若变化,请求出其变化范围.

2.直线 y=x+2 与 x、y 轴交于 A、B 两点,C 为 AB 的中点. (1)求 C 的坐标; (2)如图,M 为 x 轴正半轴上一点,N 为 OB 上一点,若 BN+OM=MN,求∠NCM 的度数; 23 / 24

(3)P 为过 B 点的直线上一点,PD⊥x 轴于 D,PD=PB,E 为直线 BP 上一点,F 为 y 轴负 半轴上一点,且 DE=DF,试探究 BF-BE 的值的情况.

3.如图,一次函数 y=ax-b 与正比例函数 y=kx 的图象 交于第三象限内的点 A,与 y 轴交于 B(0,-4)且 OA=AB,△ OAB 的面积为 6. (1)求两函数的解析式; (2)若 M(2,0) ,直线 BM 与 AO 交于 P,求 P 点 的坐标; (3)在 x 轴上是否存在一点 E,使 S△ ABE=5,若存在, 求 E 点的坐标;若不存在,请说明理由。

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