函数的单调性与奇偶性

函数的单调性与奇偶性
基础达标
一、选择题 1.下面说法正确的选项( ) A.函数的单调区间就是函数的定义域 B.函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间 C.具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称 D.关于原点对称的图象一定是奇函数的图象

2.在区间

上为增函数的是( )

A. C.

B. D.

3.已知函数 A. B. C. D.

为偶函数,则

的值是( )

4.若偶函数



上是增函数,则下列关系式中成立的是( )

A.

B.

C.

D.

5.如果奇函数

在区间

上是增函数且最大值为 ,那么 B.增函数且最大值是 D.减函数且最小值是

在区间

上是( )

A.增函数且最小值是 C.减函数且最大值是

6.设

是定义在

上的一个函数,则函数 B.偶函数 D.非奇非偶函数.

,在

上一定是( )

A.奇函数 C.既是奇函数又是偶函数

7. (2011 全国课标卷 理 2)下列函数中,既是偶函数又在 是( ) A. B. C. D.

单调递增的函数

8.函数 f(x)是定义在[-6,6]上的偶函数,且在[-6,0]上是减函数,则( ) A. f(3)+f(4)>0 B. f(-3)-f(2)<0 C. f(-2)+f(-5)<0 D. f(4)-f(-1)>0 二、填空题 1.设奇函数 的定义域为 ,若当 的解是____________. 时, 的图象

如右图,则不等式

2.函数

的值域是____________.

3.已知

,则函数

的值域是____________.

4.若函数

是偶函数,则

的递减区间是____________.

5.函数 三、解答题

在 R 上为奇函数,且

,则当



____________.

1.判断一次函数

反比例函数

,二次函数

的单调性.

2.已知函数 域上单调递减;(3)

的定义域为

,且同时满足下列条件:(1) 求 的取值范围.

是奇函数;(2)

在定义

3.利用函数的单调性求函数

的值域;

4.已知函数 ① 当

. 时,求函数的最大值和最小值;

② 求实数 的取值范围,使

在区间

上是单调函数.

能力提升
一、选择题 1.下列判断正确的是( )

A.函数 C.函数

是奇函数 是非奇非偶函数

B.函数 D.函数

是偶函数 既是奇函数又是偶函数

2.若函数 A. C.

在 B. D.

上是单调函数,则 的取值范围是( )

3.函数 A. C. B. D.

的值域为( )

4.已知函数 A. B.

在区间 C.

上是减函数,则实数 的取值范围是( ) D.

5.下列四个命题:(1)函数 若 函数 区间 为 ;(4) 和



时是增函数,

也是增函数,所以

是增函数;(2)

与 轴没有交点,则



;(3)

的递增

表示相等函数.

其中正确命题的个数是( ) A. B. C. D.

6.定义在 R 上的偶函数

,满足

,且在区间

上为递增,则( )

A. C. 二、填空题 1.函数

B. D.

的单调递减区间是__________________.

2. 已知定义在

上的奇函数

, 当

时,

, 那么

时,

_____.

3.若函数



上是奇函数,则

的解析式为________.

4.奇函数

在区间

上是增函数,在区间

上的最大值为 8,最小值为-1,则

__________.

5. (2011 四川理 16)函数 称 为单函数.例如,函数 ① 函数 ② 若 为单函数,

的定义域为 A,若



时总有

,则

是单函数.下列命题:

是单函数; 且 ,则 ;

③ 若 f:A→B 为单函数,则对于任意 ④ 函数 在某区间上具有单调性,则

,它至多有一个原象; 一定是单函数.

其中的真命题是_________. (写出所有真命题的编号) 三、解答题 1.判断下列函数的奇偶性

(1)

(2)

2. 已知函数 时,

的定义域为

, 且对任意 是

, 都有 上的减函数;(2)函数

, 且当 是奇函数.

恒成立,证明:(1)函数

3.设函数



的定义域是





是偶函数,

是奇函数,且

,求



的解析式.

4.设 为实数,函数 (1)讨论 的奇偶性;(2)求 的最小值.



.

综合探究

1.已知函数 依次 为( ) A.偶函数,奇函数 C.偶函数,偶函数



,则

的奇偶性

B.奇函数,偶函数 D.奇函数,奇函数

2. 若 的

是偶函数, 其定义域为

, 且在

上是减函数, 则

大小关系是( )

A.

>

B.

<

C.

D.

3.已知

,那么

=_____.

4.若

在区间

上是增函数,则 的取值范围是_______________.

5. 已知函数 都有

的定义域是 ,(1)求

, 且满足 ;(2)解不等式

, .

, 如果对于

,

6.当

时,求函数

的最小值.

7.已知

在区间

内有一最大值

,求 的值.

8.已知函数

的最大值不大于

,又当

,求 的值.

答案与解析 基础达标
一、选择题 1.C. 2.B. 3.B.奇次项系数为

4.D. 5.A. 奇函数关于原点对称,左右两边有相同的单调性 6.A. 7.B. 8.D. 二、填空题 1. 2. 3. 4. 5. 三、解答题 1.解:当 , 在 是增函数,当 , 在 是减函数; . . . . 奇函数关于原点对称,补足左边的图象 是 的增函数,当 时, 奇函数, 在 上递减, 在 上递减.

. 该函数为增函数,自变量最小时,函数值最小;自变量最大时,函数值最大







是减函数,







是增函数;







是减函数,在

是增函数,







是增函数,在

是减函数.

2.解:

,则



3.解:

,显然

是 的增函数,



4.解: ∴ (2)对称轴 ∴ 或 当 .

对称轴



时,



上单调

能力提升
一、选择题 1.C. 选项 A 中的 而 而 有意义,非关于原点对称,选项 B 中的

有意义,非关于原点对称,选项 D 中的函数仅为偶函数;

2.C. 对称轴

,则

,或

,得

,或

3.B. 当 4.A. 对称轴



是 的减函数,

5.A. (1)反例

;(2)不一定 和

,开口向下也可;(3)画出图象 ;(4)对应法则不同

可知,递增区间有 6.A. 二、填空题

1. 2. ∵ . 设

. 画出图象 ,则 ∴ , , ,

3.

.





即 4. . 在区间 上也为递增函数,即

5.②③ 对于①,若 故为 真命题;对于③,若任意

,则

,不满足;②实际上是单函数命题的逆否命题,

,若有两个及以上的原象,也即当

时,不一定有

,不满足题设,故该命题为真;根据定义,命题④不满足条件. 三、解答题

1.解:(1)定义域为

,则



∵ (2)∵

∴ 且

为奇函数. ∴ 既是奇函数又是偶函数.

2.证明:(1)设 ∴ ∴函数 (2)由 即 ∴

,则

,而



上的减函数; 得 ,而

,即函数

是奇函数.

3.解:∵

是偶函数,

是奇函数,∴

,且



,得











.

4.解:(1)当 当

时, 时,

为偶函数, 为非奇非偶函数;

(2)当

时,



时,





时,

不存在;



时,



时,





时,

.

综合探究
1.D. 画出 则 当 时, ,则 的图象可观察到它关于原点对称或当 , 时, ,

2.C.



3.

.



4.

. 设



,而

,则

5.解:(1)令

,则

(2)





.

6.解:对称轴



,即

时,



的递增区间,





,即

时,



的递减区间,





,即

时,

.

7.解:对称轴 则

,当



时, ,得

是 或

的递减区间, ,而 ,即 ;





时,



的递增区间,则







,而

,即 不存在;当



时,



,即

;∴



.

8.解:



对称轴

,当

时,



的递减区间,而







矛盾,即不存在;



时,对称轴

,而

,且

即 ∴ .

,而

,即


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