www.zbyybxg.com:18学年高中数学第二章平面向量第4节第2课时平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课件新人教A版必修4

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第2课时

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

[核心必知] 1.预习教材,问题导入 根据以下提纲, 预习教材 P106~P107 的内容, 回答下列问题. 已知两个向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2). (1)若 i,j 是两个互相垂直且分别与 x 轴、y 轴的正半轴同 向的单位向量,则 a,b 如何用 i,j 表示?

提示:a=x1i+y1j,b=x2i+y2j.

(2)|a|,|b|分别用坐标怎样表示?
2 提示:|a|= (x1i+y1j)2= x2 + y 1 1; 2 |b|= (x2i+y2j)2= x2 + y 2 2.

(3)能用 a,b 的坐标表示 a· b 吗?
提示:a· b=(x1i+y1j)· (x2i+y2j) =x1x2i2+(x1y2+x2y1)i· j+y1y2j2 =x1x2+y1y2.

2.归纳总结,核心必记 (1)平面向量数量积的坐标表示 若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a· b= x1x2+y1y2 即两个向量的数量积等于 它们对应坐标的乘积的和 . (2)两个向量垂直的坐标表示 设两个非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a⊥b ? x1x2+y1y2=0 . (3)三个重要公式
2 ①向量模的公式:设 a=(x1,y1),则|a|= x2 1+y1.



②两点间的距离公式:若 A(x1,y1),B(x2,y2),则|
2 2 ( x - x ) +( y - y ) 2 1 2 1 = .

|

③向量的夹角公式:设两非零向量 a=(x1,y1),b=(x2, x1x2+y1y2 2 2 2 2 y2),a 与 b 的夹角为 θ,则 cos θ = x1+y1 x2+y2 .

[问题思考] (1)已知向量 a=(x,y),你知道与 a 共线的单位向量的坐标 是什么吗?与 a 垂直的单位向量的坐标又是什么?
?x y? 1 ? 提示:设与 a 共线的单位向量为 a0,则 a0=± a= ± |a|,|a|?= |a| ? ? ? ? ± ? ?

x y ? ? 2 2, 2 2?,其中正号,负号分别表示与 a 同向和反向. x +y x +y ? 易知 b=(-y,x)和 a=(x,y)垂直,
? ∴与 a 垂直的单位向量 b0 的坐标为±? ? ?

-y x ? ? 其中正, 2 2, 2 2?, x +y x +y ?

负号表示不同的方向.

(2) 你 能 用 向 量 法 推 导 两 点 间 距 离 公 式 |AB| = (x2-x1)2+(y2-y1)2吗?

[课前反思] (1)平面向量数量积的坐标表示: ; (2)两个向量垂直的坐标表示: ; (3)向量模的公式: ; (4)向量的夹角公式: .

讲一讲 1.(1)在平面直角坐标系 xOy 中,已知 =(-1,t),

=(2,2),若∠ABO=90°,则实数 t 的值为________. (2)已知向量 a=(1, 3), b=(2, 5), c=(2, 1), 求: ①2a· (b -a);②(a+2b)· c.

(2)法一:①∵2a=2(1,3)=(2,6), b-a=(2,5)-(1,3)=(1,2), ∴2a· (b-a)=(2,6)· (1,2)=2×1+6×2=14. ②∵a+2b=(1, 3)+2(2, 5)=(1, 3)+(4, 10)=(5, 13), ∴(a+2b)· c=(5,13)· (2,1)=5×2+13×1=23.

法二:①2a· (b-a)=2a· b-2a2 =2(1×2+3×5)-2(1+9) =14. ②(a+2b)· c=a· c+2b· c =1×2+3×1+2(2×2+5×1) =23.

答案:(1)5

数量积运算的途径及注意点 (1)进行向量的数量积运算,前提是牢记有关的运算法则和 运算性质.解题时通常有两条途径:一是先将各向量用坐标表 示,直接进行数量积运算;二是先利用数量积的运算律将原式 展开,再依据已知计算. (2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目,只需把握 图形的特征,并写出相应点的坐标即可求解.

练一练 1.已知向量 a 与 b 同向,b=(1,2),a· b=10. (1)求向量 a 的坐标; (2)若 c=(2,-1),求(b· c)· a.
解:(1)因为 a 与 b 同向,又 b=(1,2),所以 a=λb=(λ,2λ). 又 a· b=10,所以 1· λ+2· 2λ=10,解得 λ=2>0. 因为 λ=2 符合 a 与 b 同向的条件,所以 a=(2,4). (2)因为 b· c=1×2+2×(-1)=0, 所以(b· c)· a=0· a=0.

[思考] 向量的模与两点间的距离有什么关系?

名师指津: 向量的模即为向量的长度, 其大小应为平面直角 坐标系中两点间的距离,如 a=(x,y),则在平面直角坐标系中, 一定存在点 A(x, y) , 使得 =a=(x, y) , ∴| |=|a|= x2+y2, =

即|a|为点 A 到原点的距离.同样若 A(x1,y1),B(x2,y2),则 (x2-x1 ,y2-y1) ,∴|

|= (x2-x1)2+(y2-y1)2 ,即平面

直角坐标系中任意两点间的距离公式. 由此可知向量的模的运算 实质即为平面直角坐标系中两点间的距离的运算.

讲一讲 2.(1)若向量 a=(2x-1,3-x),b=(1-x,2x-1), 则|a-b|的最小值为________. (2)若向量 a 的始点为 A(-2,4),终点为 B(2,1),求: ①向量 a 的模; ②与 a 平行的单位向量的坐标; ③与 a 垂直的单位向量的坐标.

[尝试解答]

(1)∵a=(2x-1,3-x),b=(1-x,2x-1),∴a

-b=(2x-1,3-x)-(1-x,2x-1)=(3x-2,4-3x),∴|a-b| = (3x-2)2+(4-3x)2 = 18x2-36x+20= 18(x-1)2+2. ∴当 x=1 时,|a-b|取最小值为 2. (2)①∵a= =(2,1)-(-2,4)=(4,-3),

∴|a|= 42+(-3)2=5. 1 a ②与 a 平行的单位向量是± =± (4,-3), 5 |a|
?4 3? ? 4 3? 即坐标为?5,-5?或?-5,5?. ? ? ? ?

③设与 a 垂直的单位向量为 e=(m,n),则 a· e=4m-3n m 3 =0,∴ n =4. 又∵|e|=1,∴m2+n2=1. 3 ? m=-5, ? ? 3 4 ? 解得 m=5,n=5,或? ? ?n=-4, 5 ?
?3 4? ? 3 4? ∴e=?5,5?或?-5,-5?. ? ? ? ?

答案:(1) 2

求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示下的运算: 利用|a|2=a2,将向量模的运算转化为向量与向量的数量积 的问题. (2)坐标表示下的运算: 若 a=(x,y),则 a· a=a2=|a|2=x2+y2,于是有|a|= x2+y2.

练一练 2.已知向量 a=( 3,-1)和 b=(1, 3),若 a· c=b· c, 试求模为 2的向量 c 的坐标.

解:法一:设 c=(x,y),则 a· c=( 3,-1)· (x,y)= 3x -y,b· c=(1, 3)· (x,y)=x+ 3y, 由 a· c=b· c 及|c|=
? ? 3x-y=x+ 2,得? 2 2 ? ?x +y =2,

3y,

3+1 3+1 ? ? ?x= 2 , ?x=- 2 , 解得? 或? ?y= 3-1, ?y=- 3-1, 2 2 ? ? 所以
? c=? ? ? ? 3+1 3- 1 ? 3+1 3-1? ? ? ? 或 c = , - ,- ? ?. 2 2 ? 2 2 ? ? ?

法二:由于 a· b= 3×1+(-1)× 3=0,且|a|=|b|=2,从 而以 a,b 为邻边的平行四边形是正方形,且由于 a· c=b· c,所 以 c 与 a, b 的夹角相等, 从而 c 与正方形的对角线共线. 此外, 由于|c|= 2,即其长度为正方形对角线长度 ( 2|b|=2 2)的一
? 3+1 3-1? 1 1 ? ? 半 , 故 c = 2 (a + b) = ? , 2 ? 或 c = - 2 ( a + b) = 2 ? ? ? ? ?- ?

3+1 3-1? ? . ,- 2 2 ? ?

[思考] 当 a 与 b 是非坐标形式时, 如何求 a 与 b 的夹角? 如果 a 与 b 是坐标形式时,又如何求 a 与 b 的夹角?
名师指津:(1)当 a,b 是非坐标形式时,求 a 与 b 的夹角, 需求出 a· b,|a|和|b|或直接得出它们之间的关系. (2) 若 a , b 是坐标形式,则可直接利用公式 cos θ = x1x2+y1y2 2 2 2求解. x2 + y · x + y 1 1 2 2

讲一讲 3. 已知平面向量 a=(3, 4), b=(9, x) , c=(4, y) , 且 a∥b, a⊥c. (1)求 b 与 c; (2)若 m=2a-b,n=a+c,求向量 m,n 的夹角的大小.

[尝试解答]

(1)∵a∥b,∴3x=4×9,∴x=12.

∵a⊥c,∴3×4+4y=0, ∴y=-3,∴b=(9,12),c=(4,-3). (2)m=2a-b=(6,8)-(9,12)=(-3,-4), n=a+c=(3,4)+(4,-3)=(7,1). 设 m、n 的夹角为 θ, -3×7+(-4)×1 m· n 则 cos θ= = |m||n| (-3)2+(-4)2 72+12 -25 3π 2 = =- 2 .∵θ∈[0,π],∴θ= 4 , 25 2 3π 即 m、n 的夹角为 4 .

解决向量夹角问题的方法及注意事项 (1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积 a· b a· b 以及|a||b|,再由 cos θ= 求出 cos θ,也可由坐标表示 cos θ |a||b| x1x2+y1y2 = 2 2 2 2直接求出 cos θ.由三角函数值 cos θ求角 θ 时, x1+y1 x2+y2 应注意角 θ 的取值范围是 0≤θ≤π. a· b (2)由于 0≤θ≤π,所以利用 cos θ= 来判断角 θ 时,要 |a||b| 注意 cos θ<0 有两种情况:一是 θ 是钝角,二是 θ=π;cos θ>0 也有两种情况:一是 θ 为锐角,二是 θ=0.

练一练 3.已知 a=(1,2),b=(1,λ ),求满足下列条件的实 数λ 的取值范围. (1)a 与 b 的夹角为 90°. (2)a 与 b 的夹角为锐角.

解:(1)设 a 与 b 的夹角为 θ. |a|= 12+22= 5,|b|= 1+λ2, a· b=(1,2)· (1,λ)=1+2λ. 因为 a⊥b,所以 a· b=0, 1 所以 1+2λ=0,所以 λ=-2.

(2)因为 a 与 b 的夹角为锐角, 所以 cos θ>0,且 cos θ≠1, 所以 a· b>0 且 a 与 b 不同向. 1 因此 1+2λ>0,所以 λ>-2. 又 a 与 b 共线且同向时,λ=2. 所以 a 与 b ∪(2,+∞).
? 1 ? 的夹角为锐角时, λ的取值范围为?-2,2? ? ?

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———————[课堂归纳· 感悟提升]——————— 1.本节课的重点是向量的坐标表示以及用向量的坐标 解决模、夹角、垂直等问题. 2.要掌握平面向量数量积的坐标运算及应用 (1)求平面向量的数量积,见讲 1; (2)解决向量模的问题,见讲 2; (3)解决向量的夹角与垂直问题,见讲 3. 3.本节课的易错点 解决两向量的夹角问题时, 易忽视夹角为 0 或π的特殊 情况,如练 3.

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