广东省五校18届高三数学第一次联考1月试题文1801180234

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广东省五校 2018 届高三数学第一次联考(1 月)试题 文
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1. 已知集合 A ? x | x ? 3x ? 2 ? 0 , B ? ? x | x > 1? ,则 A I CR B = (
2

?

?



A.

??1?

B.

?1?

C.

?1,2?

D.

??1, ? 2?


2. 已知 i 是虚数单位,复数 z 满足 (1 ? i ) z = i ,则 z 的虚部是(

A.

1 2

B. ? i

1 2

C.

1 i 2


D. ?

1 2

3. “ x >1 ”是“ log 2 ( x ? 1) ? 1 ” 的( A. 充要条件 B. 充分而不必要条件

C. 必要而不充分条件

D. 既不充分也不必要条件 )

4. 函数 f ( x) ? sin x cos x ? (1 ? tan 2 x)cos2 x 的最小正周期和最大值分别是(

A.

?和

3 2

B.

? 和1 2

C.

? 和1

D. 2? 和

3 2

5. 已知 M 是抛物线 C:y2 = 4x 上一点,F 是抛物线 C 的焦点,若|MF|=2,K 是抛物线 C 的准线与 x 轴的交点, 则∠MKF=( A.45° 6. 已知 A. B. ) ) B.30° C.15° D.60° )

, 函数 y=f (x+φ ) 的图象关于直线 x=0 对称, 则 φ 的值可以是 ( C. D.

7. 函数 f ( x) ? x 2 ln x 的图象大致为(

A.
x

B.
x

C. )

D.

?1? 8. 若函数 f ( x) ? 2 , g ( x) ? ? ? 则下列选项的命题为真命题的是( ? 3?
A. ?x ? (??,0), f ( x) ? g ( x) C. ?x ? (??,0), f ( x) ? g (? x) B. D.

?x ? (0, ??), f ( x) ? g ( x) ?x ? (0, ??), f (? x) ? g ( x)
1

9.一块硬质木料的三视图如图所示,正视图是边长为 3 cm 的正方形,俯视图是 3 cm×4 cm 的矩形,将该 木料切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径最接近( ) A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm

10. 在 区 间 [ 0, 2 ] 上 任 取 两 个 数 x, y 且 x ? y ? 2 , 则 使 x 2 ? y 2 ? 1 的 概 率 是 ( A. )

? 2

B. ﹣

? 4

C.

? 8

D.

? 16

11.已知双曲线

=1(a>0,b>0) ,过其左焦点 F 作 x 轴的垂线,交双曲线于 A,B 两点,若双曲线的 )

右顶点在以 AB 为直径的圆外,则双曲线离心率的取值范围是( A. (1, ) B. (1,2) C. ( ,+∞) D. (2,+∞)

12. 某地为了调查去年上半年 A 和 B 两种农产品物价每月变化情况, 选 取数个交易市场统计数据进行分析,用 ai 和 bi 分别表示 A 和 B 的当月 单价均值(元/kg) ,右边流程图是对上述数据处理的一种算法(其中

a ? 2,b ? 3) ,则输出的值分别是(
i
1月 2.0 2月 2.1 3月 2.2 4月 2.0 5月 1.9

) 6月 1.8

ai

bi

3.1

3.1

3.2

3.0

2.8

2.8 B. S ?

A. S ?

1 1 ,T ? 60 60 7 7 ,T ? 30 30

7 1 ,T ? 30 60 1 7 ,T ? 60 30

C. S ?

D. S ?

二、填空题:每小题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上. 13.等差数列{an}满足 a2+a8=6,则 a4+a5+a6= 14.已知 , 均为单位向量,它们的夹角为 ; ,则| + |= ;

15. 已知实数 x,y 满足

,则 z=2|x﹣2|+y 的最大值是

;

π ? 1 1 ? sin x, x ? [ ?1,0), 16. 已知 a>0,函数 f ( x) ? ? 若 f (t ? ) ? ? ,则实数 t 的取值范围为 2 3 2 2 ? ?ax ? ax ? 1, x ? [0, ??),

.

2

三、解答题:共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 第 17~21 题为必考题,每个试题考生 必须做答,第 22、23 题为选考题,考生根据要求做答. (一)必考题: 共 60 分. 17. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 Sn ? 2an ? 1 , (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)记 bn ?

an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . ( an ? 1)( an+1 ? 1)

18. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形,∠BAD=60○, 平面 PAD⊥底面 ABCD,且△PAD 是边长为 2 的等边三角形,PB= 6 ,M 是 AD 中点. (Ⅰ)求证:平面 PMB⊥平面 PAD; (Ⅱ)证明:∠PDC >∠PAB, 且△PDC 与△PAB 的面积相等. 19. (本小题满分 12 分) 据某市地产数据研究院的数据显示, 2016 年该市新建住宅销售均价走势如图所示, 为抑制房价过快上涨, 政府从 8 月份采取宏观调控措施,10 月份开始房价得到很好的抑制. (Ⅰ)地产数据研究院研究发现,3 月 至 7 月的各月均价 y(万元/平方米)与 月份 x 之间具有较强的线性相关关系, 试 建立 y 关于 x 的回归方程(系数精确到 0.01) ,政府若不调控,依次相关关系预 测第 12 月份该市新建住宅销售均价; (Ⅱ)地产数据研究院在 2016 年的 12 个月份中,随机抽取两个月份的数据作样本分析,若关注所抽两个月份所属的季度,求样本中的两个月恰好 在不同季度的概率. 参考数据: =25, =5.36, =0.64

3

回归方程 = x+ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: =



= ﹣



20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 E: + =1(a>b>0)的左焦点 F1 与抛物线 y =﹣4x 的焦点重合,椭圆 E 的离心率为
2



过点 M (m,0) (m> )作斜率不为 0 的直线 l,交椭圆 E 于 A,B 两点,点 P( ,0) ,且 (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)求△OAB 面积的最大值. 21. (本小题满分 12 分) 若 g( x) ?

?

为定值.

ax ? ln x ( a 是常数), x

(Ⅰ)求 g ( x) 的最大值; (Ⅱ)设 f ( x) = x ? g ( x) 在区间 (0, e] 上的最大值为 ?3 ,求 a 的值.

(二)选考题:共 10 分. 请考生在第 22、23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22. (本小题满分 10 分)[选修 4-4:极坐标和参数方程选讲]

在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,在以原点 O 为极点,x 轴正半轴为

极轴的极坐标系中,圆 C 的方程为 ρ =6sinθ . (Ⅰ)写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设点 P(3,4) ,直线 l 与圆 C 相交于 A,B 两点,求 + 的值.

23. (本小题满分 10 分)[选修 4-5:不等式选讲] 已知函数 f(x)=|x﹣2|+|2x+1|. (Ⅰ)解不等式 f(x)>5; (Ⅱ)若关于 x 的方程 =a 的解集为空集,求实数 a 的取值范围.

4

广东省五校协作体 2017 届高三第一次联考 文科数学参考答案及评分细则 一、选择题:每小题 5 分,共 60 分. 题号 答案 1 B 2 A 3 A 4 A 5 A 6 D 7 D 8 C 9 A 10 C 11 B 12 D

二、填空题: 每题 5 分,满分 20 分. 13. 9 ; 14. ; 15. 7 ; 16. (0,+∞).

三、解答题: 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)

n=1 时, a1 = S1 ? 2a1 ? 1 ,得 a1 = 1

…………

(1 分)

n ? 2 时,有 Sn-1 ? 2an-1 ? 1 ,所以, an = Sn ? Sn-1 ? 2an ? 2an-1
an =2 即: an = 2an-1 ,满足 n ? 2 时, an-1 ,
所以 ?an ? 是公比为 2,首项为 1 的等比数列 故通项公式为: an = 2n ?1

………… (3 分)

…………

(5 分)

………… (6 分)

(Ⅱ)

bn ?

an 2n ?1 1 1 ? n ?1 ? n ?1 ? n n (an ? 1)(an+1 ? 1) (2 ? 1)(2 ? 1) 2 ? 1 2 ? 1

……… (8 分)

Tn ? b1 ? b2 ? b3 ?
? 1? 1 2n

?1 1? ?1 1? ?1 1? ? bn ? ? 0 ? 1 ? ? ? 1 ? 2 ? ? ? 2 ? 3 ? ? ?2 2 ? ?2 2 ? ?2 2 ?

1? ? 1 ? ? n?1 ? n ? 2 ? ?2

(10 分)

………… (12 分)

18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) △PAD 是边长为 2 的等边三角形, M 是 AD 中点

? PM⊥AD, PM ? 平面 PAD
又平面 PAD⊥底面 ABCD 平面 PAD∩底面 ABCD=AD 又 BM ? 底面 ABCD, PM⊥底面 ABCD ………… (2 分)

? PM⊥BM, △PMB 是直角三角形

在等边△PAD 中,PM= 3 ,又 PB= 6 , MB= PB2 ? PM 2 ?

? 6 ? ? ? 3?
2

2

? 3

(3 分)

∠BAD=60○, 在△ABM 中, 由余弦定理:MB2 = AM2+AB2-2AM×AB×cos60○

………… (4 分)
5

2 得:AB - AB -2=0, 即 AB=2, ? △ABD 也是等边三角形,

? BM⊥AD
平面 PAD∩底面 ABCD=AD BM ? 底面 ABCD BM⊥平面 PAD BM ? 平面 PMB

? 平面 PMB⊥平面 PAD

………… (6 分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知底面 ABCD 是菱形. 连接 CM, 在△DMC 中,∠MDC=120○, 由余弦定理:MC2 = MD2+CD2-2MD×CD×cos120○ =12+ 22-2×1×2× ? ? 得: MC= 7 , 在直角形△PMC 中, :PC2 =PM2+MC2=

? 1? ? =7 ? 2?
2

? 3? ? ? 7 ?
2

? 10

………… (8 分)

在△PDC 中,由余弦定理: cos ?PDC ?

22 ? 22 ?

? 10 ?
2

2

2? 2? 2 22 ? 22 ?

?? 1 4

1 4

在△PAB 中,由余弦定理: cos ?PAB ?

? 6?

2? 2? 2

?

(0,? ) (0,? ) ,余弦函数在 是减函数 cos ?PDC ? cos ?PAB , ?PDC,?PAB ?

? ∠PDC >∠PAB,
而 sin ?PDC ? sin ?PAB ? 1 ? ? ?

………… (10 分)

15 ? 1? , ? ? 2 ? 4?
………… (12 分)

2

1 15 S?PDC ? S?PAB ? ? 2 ? 2 ? ? 15 ,即△PDC 与△PAB 面积相等. 2 2
(注:没有通过计算出面积,能够说明面积相等原因的,仍然是满分) 19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题意 月份 x 均价 y 0.95 =5, 0.98 =1.072, =10, 1.11 3 4 5 6 1.1 2 7 1.20

………… (1 分) ………… (2 分)

∴ =

=0.064, ………… (3 分)

6

= ﹣

=0.752,………… (4 分)

∴从 3 月到 6 月,y 关于 x 的回归方程为 y=0.06x+0.75,………… (5 分) x=12 时,y=1.47.即可预测第 12 月份该市新建住宅销售均价为 1.47 万元/平方米; ,……… (6 分) (Ⅱ)设抽取的两个月份为(X, Y), 则基本事件的情况有: (1,2) , (1,3) , (1,4) ,…… , (1,12) (2,3) , (2,4) , (2,5) , … , (2,12) (3,4) , (3,5) ,… , (3,12) … … … … (11,12) 共有 n=1+2+3+…+11=

(1 ? 11) ?11 ? 66 (种) 2

……… (8 分)

其中恰在同一季度的两个月份有: (1,2) , (1,3) , (2,3) (4,5) , (4,6) , (5,6) (7,8) , (7,9) , (8,9) (10,11) , (10,12) , (11,12)共 m=12(种) 故,所求概率 P("两个月恰好在不同季度")=120. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设 F1(﹣c,0) ,∵抛物线 y =﹣4x 的焦点坐标为(﹣1,0) ,且椭圆 E 的左焦点 F 与抛物线 y =﹣ 4x 的焦点重合,∴c=1, 又椭圆 E 的离心率为 ,得 a= , ……… (1 分) ……… (2 分) . ……… (3 分)
2 2

……… (10 分) ……… (12 分)

m 12 9 =1? = n 66 11

于是有 b2=a2﹣c2=1.故椭圆 Γ 的标准方程为:

(Ⅱ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,直线 l 的方程为:x=ty+m, 由 整理得(t2+2)y2+2tmy+m2﹣2=0 ……… (4 分)





……… (5 分)

, =
7

=(t2+1)y1y2+(tm﹣ t) (y1+y2)+m2﹣

=



要使

?

为定值,则

,解得 m=1 或 m= (舍)

……… (8 分)

当 m=1 时,|AB|=

|y1﹣y2|=



……… (9 分)

点 O 到直线 AB 的距离 d=



……… (10 分)

△OAB 面积 s=

=



∴当 t=0,△OAB 面积的最大值为 21. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)定义域(0, +∞) ;



……… (12 分)

……… (1 分)

g ( x) ? a ?

ln x , x

g ?( x) ?

1 ? ln x ? 0 ,得 x ? e , x2

……… (2 分)

当 x ? (0, e) 时, g ?( x) ? 0 ,在 (0, e) 上 g ( x) 是增函数; 当 x ? (e, ? ?) 时, g ?( x) ? 0 ,在 (e, ? ?) 上 g ( x) 是减函数;

?? g ( x) ?max ? g (e) ? a ?

1 e

……… (4 分)

(Ⅱ) f ( x) = x ? g ( x) =ax+lnx ∵ ①若 . ,则 f′(x)≥0,从而 f(x)在(0,e]上是增函数, ……… ,即 ,即 , (6 分) ……… (5 分)

∴f(x)max=f(e)=ae+1≥0,不合题意, ②若 由 ,则由

从而 f(x)在(0,﹣ )上增函数,在(﹣ ,e]为减函数 ∴ ……… (8 分)
8



,则

,∴a=﹣e ,

2

……… (12 分)

22. (本小题满分 10 分)

解: (Ⅰ)由直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,得直线 l 的普通方程为 x+y﹣7=0. (2 分)

又由 ρ =6sinθ 得圆 C 的直角坐标方程为 x2+(y﹣3)2=9;……… (4 分)

(Ⅱ)把直线 l 的参数方程

(t 为参数) ,代入圆 C 的直角坐标方程,

得 t ? 2 2t ? 1 ? 0 ,设 t1,t2 是上述方程的两实数根,……… (6 分)
2

所以 t1+t2=2

,t1t2=1,……… (8 分) + = 2 2 . ……… (10 分)

∴t1>0,t2>0,所以

[选修 4-5:不等式选讲] 23. (本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ)解不等式|x﹣2|+|2x+1|>5, x≥2 时,x﹣2+2x+1>5,解得:x>2; ﹣ <x<2 时,2﹣x+2x+1>5,无解, x≤﹣ 时,2﹣x﹣2x﹣1>5,解得:x<﹣ , 故不等式的解集是(﹣∞,﹣ )∪(2,+∞) ; ……… (3 分) ……… (4 分)

(Ⅱ)f(x)=|x﹣2|+|2x+1|=



故 f(x)的最小值是 ,所以函数 f(x)的值域为[ ,+∞) , 从而 f(x)﹣4 的取值范围是[﹣ ,+∞) , 进而

……… (6 分)

的取值范围是(﹣∞,﹣ ]∪(0,+∞) . ……… (8 分)
9

根据已知关于 x 的方程

=a 的解集为空集,所以实数 a 的取值范围是(﹣ ,0]. (10 分)

10


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