第十讲定积分的概念和性质积分上限函数及其导数-文档资料_图文
















1
1)
, A .

y f (x)
A?


:

a) . [a , b] n 1

a x0 x1 x2 xn1 xn b x xi n ;

b) . i i [xi1 , xi ] [xi1 , xi ] , f (i ) y

,







o a x1

Ai f (i )xi (xi xi xi1 )

xi1 xi
i



c) .

n

n

A Ai f (i )xi

i1

i1

d) .



n

A



lim
0

i1

Ai

n



lim
0


i1

f

(i

)xi

y o a x1 xi1 xi
i



2)

,



s.

: a) .
n





b) .



si v(i )ti (i 1, 2,, n)



c) .
d) .
: :
" , , , " :


2
a x0 x1 x2 xn b ,



I , I

,



b
a

f

(x)

dx



b a

f

(

x)

dx



lim
0

n

i1

f

(

i

)

xi

o

a x1

f ( x ) [ a , b ] .


i
x xi1xi b





[a , b]

b

n

a

f

( x) dx



lim
0 i1

f

(i ) xi









: , ,

b

b

b

a f (x) dx a f (t) d t a f (u) d u



3:





y

A1

a

A2

A3

A5

A4

bx

b
a f (x) d x A1 A2 A3 A4 A5




4: 1. 2.

1. : [0,1] n ,





f

(i )xi

i2xi



i2 n3


()
y
y x2

o

i 1x

n



n

i1

f

(i

)xi



1 n3

n
i2
i1



1 n3



1 6

n(n

1)(2n

1)



1 (1 1)(2 1) 6n n



1 0

x2

dx



lim
0

n

i 1

i

2xi

y
y x2

lim
n
1 3

o

i 1x

n



2. :

(1)

lim 1 n
n n i1

1 i n

(2)

lim 1p
n



2p n p1

np

:

(1)

lim 1 n
n n i1

1

i n



n
lim
n i1

1 i 1 nn

x i

1
0 1 x dx
0

i

i1 i

1x

nn

(2)

lim 1p
n



2

p
n


p1



n

p


lim
n

n

i1

i n

p

1 n

x i

1 x p dx 0

i



:

f (x) C[a,b],

b
f (x)d

x ,

a

: y



[a

,

b]



n

:

x



ba n

,

xi a i x (i 0,1,,n)

f (xi ) yi (i 0,1,, n)

o a xi1xi

bx

1.

b a

f

( x) dx



y0x



y1x



yn1x



ba n

( y0



y1



yn1)

()

2.

b a

f

(x)

dx



y1x



y2x



ynx



ba n

(

y1



y2





yn

)

()



y

b
3. a f (x) dx



n1 i1

1 2

[

yi1



yi ]x

o a xi1xi

bx



b

n

a



1 2

(

y0



yn

)



(

y1





yn1)



()

, , , , .



()

b
2. a dx b a

a
a f (x)dx 0

( k )

b

b

b

4. a[ f (x) g(x)]dx a f (x) dx a g(x) dx



6. [a , b]



1. [a , b] 2.


(a b)

7. M max f (x), m min f (x) ,

[a, b]

[a, b]

(a b)



8.





:

b
a f

( x) dx



f ( )(b a)





b
a f (x) dx f ( )
ba

y f (x) y

. o a

bx

7

3. 0 T .
:
v gt


1 1 g T 2 gT

T2

2




1. :

:

I lim 1 n1sin k 1


sin x dx

n k0 n n 0

0 2

nn



I



lim

n1
sin(



k)

1



1
sin



x dx

n k 0

nn 0

(n1) x
n

0 12
nn

n1 1 x
n





1

,

: s(t) v(t)





T2 T1

v(t) d t



s(T2 )



s(T1)

.



2

1.



x

y

(x) a f (t) d t

y f (x)
(x)

: x, x h[a, b] ,

o a x b x

(x



h) h



(x)



1
h

xh
a

f

(t) d t



x
a

f

(t) d t



xh

1 xh f (t) d t f ( )
hx

(x x h)

(x) lim (x h) (x) lim f ( ) f (x)

h0

h

h0



: 1) 1 . .

2) :

d (x)
dx a

f

(t) d t

f

[ ( x)] ( x)

d
dx

( x) (x)

f

(t) d t



d dx



a
f (t) d t
(x)

( x)
a

f

(t) d t



f [(x)](x) f [ (x)] (x)



4.

0

0

: lim ecos2 x (sin x) 1

x0

2x

2e

5. a , b , c ,

: =
c 0 , a 1.

b 0.



,



c



1 2

.



6.







.

F(x) 0

x

x

:

x f (x)0 f (t) d t f (x)0 t f (t) d t



x
0

f

(t

)

d

t



2

x



f

(x)0 (x t)



x
0

f

(t

)

d

t

f (t) d t
2



f (x) (x ) f ( ) x 0



x
0

f

(t) d t 2
(0





x)




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