2016届高考数学大一轮复习 正弦定理和余弦定理的应用课时跟踪检测(二十五)理(含解析)

课时跟踪检测(二十五) 一、选择题 正弦定理和余弦定理的应用 1.如图,两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等,灯塔 A 在观 察站南偏西 40°,灯塔 B 在观察站南偏东 60°,则灯塔 A 在灯塔 B 的 ( ) A.北偏东 10° C.南偏东 80° B.北偏西 10° D.南偏西 80° 2.一艘海轮从 A 处出发,以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40°的方向直线航行,30 分钟后到达 B 处,在 C 处有一座灯塔,海轮在 A 处观察灯塔,其方向是南偏东 70°,在 B 处观察灯塔,其方向是北偏东 65°,那么 B,C 两点间的距离是( A.10 2海里 C.20 3海里 B.10 3海里 D.20 2海里 ) 3.如图,一条河的两岸平行,河的宽度 d=0.6 km,一艘客船 从码头 A 出发匀速驶往河对岸的码头 B.已知 AB=1 km,水的流速为 2 km/h,若客船从码头 A 驶到码头 B 所用的最短时间为 6 min,则 客船在静水中的速度为( A.8 km/h C.2 34 km/h ) B.6 2 km/h D.10 km/h 4.(2014·四川高考)如图,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B,C 的俯角分别为 75°,30°,此时气球的高是 60 m,则河流的宽度 BC 等于( ) A.240( 3-1)m C.120( 3-1)m B.180( 2-1)m D.30( 3+1)m 5.一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某 人在喷水柱正西方向的点 A 测得水柱顶端的仰角为 45°,沿点 A 向北偏东 30°前进 100 m 到达点 B,在 B 点测得水柱顶端的仰角为 30°,则水柱的高度是( A.50 m C.120 m B.100 m D.150 m ) 6.(2015·厦门模拟)在不等边三角形 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 其中 a 为最大边,如果 sin (B+C)<sin B+sin C,则角 A 的取值范围为( 2 2 2 ) ? π? A.?0, ? 2? ? C.? B.? D.? ?π ,π ? ? ?4 2? ?π ,π ? ? ?3 2? ?π ,π ? ? ?6 3? 二、填空题 7.江岸边有一炮台高 30 m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水平面上,由炮台顶 部测得俯角分别为 45°和 60°,而且两条船与炮台底部连线成 30°角,则两条船相距 ________m. 8.某同学骑电动车以 24 km/h 的速度沿正北方向的公路行驶,在点 A 处测得电视塔 S 在电动车的北偏东 30°方向上,15 min 后到点 B 处,测得电视塔 S 在电动车的北偏东 75° 方向上,则点 B 与电视塔的距离是________km. 9.如图,一栋建筑物的高为(30-10 3)m,在该建筑物的正东方向有一个通信塔 CD. 在它们之间的地面点 M(B, M, D 三点共线)处测得楼顶 A, 塔顶 C 的仰角分别为 15°和 60°, 在楼顶 A 处测得塔顶 C 的仰角为 30°,则通信塔 CD 的高为________ m. 10.如图,航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内,已知飞机的飞行高度为 10 000 m,速度为 50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为 15°,经过 420 s 后看山顶的俯角 为 45°,则山顶的海拔高度为________m.(取 2=1.4, 3=1.7) 三、解答题 11.某渔轮在航行中不幸遇险,发出呼救信号,我海军舰艇在 A 处获悉后,立即测出该 渔轮在方位角为 45°,距离为 10 n mile 的 C 处,并测得渔轮正沿方位角为 105°的方向, 以 9 n mile/h 的速度向某小岛靠拢,我海军舰艇立即以 21 n mile/h 的速度前去营救,求 舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间. 12.(2013·江苏高考)如图, 游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径.一种是从 A 沿直线步行到 C,另一种是先从 A 沿索道 乘缆车到 B,然后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、乙两位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行, 速度为 50 m/min.在甲出发 2 min 后,乙从 A 乘缆车到 B,在 B 处停留 1 min 后,再从 B 匀 速步行到 C.假设缆车匀速直线运行的速度为 130 m/min,山路 AC 长为 1 260 m,经测量, 12 3 cos A= ,cos C= . 13 5 (1)求索道 AB 的长; (2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步行的速度应控制在什么范 围内? 答案 1.选 D 由条件及图可知,∠A=∠B=40°,又∠BCD=60°,所以∠CBD=30°,所 以∠DBA=10°,因此灯塔 A 在灯塔 B 南偏西 80°. 2. 选 A 如图所示, 易知, 在△ABC 中, AB=20 海里, ∠CAB=30°, ∠ACB=45°,根据正弦定理得 = , sin 30° sin 45° 解得 BC=10 2(海里). 3.选 B 设 AB 与河岸线所成的角为 θ ,客船在静水中的速度为 v km/h,由题意知, sin θ = 0.6 3 4 1 ? 1 ?2 ? 1 ?2 2 = ,从而 cos θ = ,所以由余弦定理得 ? v? = ? ×2? + 1 -2× 1 5 5 10 ?10 ? ?10 ? BC AB 4 ×2×1× ,解得 v=6 2.选 B. 5 tan 60°-tan 45° 4. 选 C ∵tan 15°=tan(60°-45°)= =2- 3, ∴BC=60tan 1+tan 60°tan 45° 60°-60tan 15°=120( 3-1)

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