吉林省吉林市09-10学年高二上学期期末教学质量检测(数学文)

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吉林市普通中学 2009—2010 学年度上学期期末教学质量检测
高 二 数 学(文)

本试卷分为第 卷(选择题)和第 卷(非选择题)两部分,满分 100 分(选做题得分不 计入总分),考试时间 90 分钟。
第 卷(选择题,共 40 分)

一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只

有一项符合题目要求。)

1.设 x∈R,则命题 p∶x>0 是命题 q∶x>-1 的

()

A.充分但不必要条件

B.必要但不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

2.若椭圆的两焦点为(-2,0)和(2,0),且椭圆过点 ( 5 ,? 3 ) ,则椭圆方程是 ( ) 22

A. y 2 ? x 2 ? 1 84

B. y 2 ? x 2 ? 1 10 6

C. y 2 ? x 2 ? 1 48

D. x 2 ? y 2 ? 1
10 6

3.设

P

为曲线

C:y

?

x2

?

2x

?

3

上的点,且曲线

C

在点

P

处切线倾斜角的取值范围为

???0,?4

? ??



则点 P 横坐标的取值范围为

()

A.

????1,?

1 2

? ??

B. ??1,0?

C. ?0,1?

4. 双曲线的两条准线将实轴三等分,则它的离心率为

A. 3 2

B.3

5.抛物线 y ? 2x2 的焦点坐标是

C. 4 3

A. (1,0)

B. ( 1 ,0)
4

C. (0, 1) 8

D.

? ??

1 2

,1???

()

D. 3

()

D. (0, 1 )
4

6 . 函 数 f (x) 在 定 义 域 内 可 导 , y ? f (x) 的 图 象 如 图 所 示 , 则 导 函 数 y ? f ?(x) 可 能 为

()

y

y

y

y

y

O

x

O

x

O

x

O

x

O

x

y ? f (x)

A.

B.

C.

D.

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? ? 7.焦点为 0,6 ,且与双曲线 x2 ? y 2 ? 1有相同的渐近线的双曲线方程是 2

()

A. x2 ? y 2 ? 1 12 24

B. y 2 ? x2 ? 1 12 24

C. y 2 ? x2 ? 1 24 12

D. x2 ? y 2 ? 1 24 12

8.过双曲线 x 2 16

?

y2 9

? 1 左焦点 F1 的弦 AB 长为 6,则 ?ABF2(F2 为右焦点)的周长是(



A.28

B.22

C.14

D.12

9.在椭圆 x 2 ? y 2 ? 1内有一点 P(1,-1),F 为椭圆右焦点,在椭圆上有一点 M,使|MP|+2|MF| 43

的值最小,则这一最小值是

()

A. 5 2

B. 7

C.3

2

D.4

10.已知过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 焦点的弦 AB 两端点为 A(x1, y1) , B(x2 , y2 ) ,则关系式 y1 y2 的
x1 x2

值一定等于

()

A.4p

B.-4

C.p2

D.-2

第 II 卷(非选择题,共 60 分) 二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 3 分,共 15 分)

11. 全称命题: ?x ? R, x2 ? 0 的否定是_________________.

12.直线 y ? x ? 1与双曲线 x2 ? y 2 ? 1相交于 A, B 两点,则 AB =__________________.
23

13.已知函数 f (x) ? x3 ? ax 在 R 上有两个极值点,则实数 a 的取值范围是

.

14.过点 M (3,?1) 且被点 M 平分的双曲线 x 2 ? y 2 ? 1的弦所在直线方程为 4
15.已知圆 x2 ? y2 ? 6x ? 7 ? 0 ,与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线相切,则 p ?

. ___________.

三、解答题(本大题共 4 小 题,共 45 分.解答题应根据要求写出必要的文字说明,证明过程 或演算步骤)
16(本小题满分 10 分)

给定两个命题, P :对任意实数 x 都有 ax2 ? ax ?1 ? 0 恒成立; Q :关于 x 的方程

x2 ? x ? a ? 0 有实数根.如果 P ∨ Q 为真命题, P ∧ Q 为假命题,求实数 a 的取值范围。

17(本题满分 11 分)
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已知过函数 f(x)= x3 ? ax2 ? 1的图象上一点 B(1,b)的切线的斜率为-3.
(1)求 a、b 的值; (2)求 A 的取值范围,使不等式 f(x)≤A-1992 对于 x∈[-1,4]恒成立;

18(本小题满分 12 分)

已知双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? 0,b ? 0) 的两个焦点为 F1 (?2,0), F2 (2,0),点P(3,

7)

在曲线 C 上. (Ⅰ)求双曲线 C 的方程; (Ⅱ)记 O 为坐标原点,过点 Q (0,2)的直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、F,若△

OEF 的面积为 2 2, 求直线 l 的方程

19.(本小题 12 分)
设函数 f (x) ? tx2 ? 2t2x ? t ?1(x ? R,t ? 0) . (Ⅰ)求 f (x) 的最小值 h(t) ; (Ⅱ)若 h(t) ? ?2t ? m 对 t ?(0,2) 恒成立,求实数 m 的取值范围.

四、选做题
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20.(本题满分 12 分)
已知 B 为抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上的动点(除顶点),过 B 作抛物线准线的垂线,垂
足计为 C。连接 CO 并延长交抛物线于 A, (1)求证 AB 过定点 Q.
(2)若 M(1, P ),试确定 B 点的位置,使 BM ? BQ 取得最小值,并求此最小值。
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吉林市普通高中 2009-2010 学年度上学期期末教学质量检测

高二数学(文)答题纸

一、选择题

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

二、填空题

11.

; 12.

; 13.

;

14.

; 15.

.

三、解答题

16.

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17.
18.
19.
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四、选做题 20.
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吉林市普通高中 2009—2010 学年上学期期末教学质量检测

高二数学参考答案及评分标准
一、ADABC DBACB
二、11. ?x ? R, x 2 ? 0 12. 4 6 ;13. a ? 0 ;14。 3x ? 4y ?5 ? 0

15.2.



16

解:对任意实数

x

都有

ax 2

?

ax

?1

?

0 恒成立

?

a

?

0或????a

? ?

0 0

?

0

?

a

?

4 ;关于

x

的程 x2 ? x ? a ? 0 有实数根 ? 1 ? 4a ? 0 ? a ? 1 ;…5 分 P ∨ Q 为真命题 P ∧ Q 为假命 4
题,
即 P 真 Q 假,或 P 假 Q 真,…6 分如果 P 真 Q 假,则有 0 ? a ? 4,且a ? 1 ? 1 ? a ? 4 ;…8 44


?a ? 0或a ? 4

如果

P



Q

真,则有

? ???a

?

1 4

,? a ? 0 。9 分故 a 取值范围为 ?? ?,0? ? ?? 1 ,4?? .10 分
?4 ?

17.解:(1) f ' ?x?= 3x2 ? 2ax 依题意得 k = f ' ?1? =3+2a =-3, ∴a =-3………2 分

? f ?x? ? x3 ? 3x2 ? 1,把 B(1,b)代入得 b = f ?1? ? ?1 ∴a = -3,b = -1…………4 分

(2)令 f ' ?x?=3x2-6x=0 得 x=0 或 x=2…6 分∵f(0)=1,f(2)==-3,f(-1)=-3,
f(4)=17∴x∈[-1,4],-3≤f(x)≤17……9 分。 要使 f(x)≤A-1987 对于 x∈[-1,4]恒成立,则 f(x)的最大值 17≤A-1992 ∴A≥2009.……………………………11 分 18.解:依题意得,双曲线的半焦距 c=2.

2a=|PF1|-|PF2|= (3 ? 2)2 ? ( 7)2 ? (3 ? 2)2 ? ( 7)2 ? 2 2, ……………………..2 分

∴a2=2,b2=c2-a2=2.∴双曲线 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? 1.

22

……………………………………….4 分

(Ⅱ)解:依题意,可设直线 l 的方程为 y=kx+2,代入双曲线 C 的方程并整理,得(1-k2)x2

-4kx-6=0. ……………………5 分∵直线 I 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、F,

??1 ? k 2 ? 0,



? ???

?

(?4k

)

2

?

4 ? 6(1 ?

? k ) 2 >0,

?k ? ??

? ?1, 3<k<

3,

∴k∈(- 3,?1 )∪(1, 3 ).。。。7 分。设 E(x1,y1),F(x2,y2),则由①式得

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4k x1+x2= 1 ? k 2

, x1x2

?

?6 1? k2

, 于是|EF|=

(x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ?

(1? k 2 )(x1 ? x2 )2

=

1? k2 ?

(x1 ? x2 )2 ? 4x1x2 ?

1? k2

2
?

2 3?k2 |1?k2 |

…….9 分

O 到 l 的距离 d= 2

10 分

1 ? k 2 ………………

∴SΔ OEF=

1 2

d?

|

EF

|?

1 2

?

2 ?
1? k2

1? k2

2
?

2 3?k2 |1?k2 |

?2

2 3?k2 .
|1?k2 |

若 SΔ OEF= 2 2 ,解得 k=± 2 ,故满足条件的直线 l 有两条,其方程分别为 y= 2x ? 2 和 y ? ? 2x ? 2. …………………………………………………….12 分 19. 解:(Ⅰ) f (x) ? t(x ? t)2 ? t3 ? t ?1(x ? R,t ? 0) ,?当 x ? ?t 时, f (x) 取最小值

f (?t) ? ?t3 ? t ?1,即 h(t) ? ?t3 ? t ?1. ………4 分

(Ⅱ)令 g(t) ? h(t) ? (?2t ? m) ? ?t3 ? 3t ?1? m ,由 g?(t) ? ?3t2 ? 3 ? 0 得 t ? 1,t ? ?1

(不合题意,舍去).。。。。。。。。。。。6 分。当 t 变化时 g?(t) , g(t) 的变化情况如下表:

t

(0,1)

1

(1,2)

g?(t)

?

0

?

极大值

g (t )

递增

递减

1? m

? g(t) 在 (0,2) 内有最大值 g(1) ? 1? m .。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10 分

h(t) ? ?2t ? m 在 (0,2) 内恒成立等价于 g(t) ? 0 在 (0,2) 内恒成立,

即等价于1? m ? 0, 所以 m 的取值范围为 m ? 1.

四. 20.(1).Q(P/2,0)

(2) B(1/2, p ) . 最小值 1+P/2.

………………12 分

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