广东省汕头市澄海凤翔中学2015届高三数学上学期第三次段考试卷 文(含解析)

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广东省汕头市澄海凤翔中学 2015 届高三上学期第三次段考数学试卷 (文科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个是符合题目要求的. ) 1. (5 分)已知集合 M={2,3,4},N={0,2,3,5},则 M∩N=() A. {0,2} B. {2,3} C. {3,4} D. {3,5} 2. (5 分)已知复数 z 满足(3﹣4i)z=25,则 z=() A. ﹣3﹣4i B. ﹣3+4i C. 3﹣4i

D. 3+4i

3. (5 分)已知向量 =(1,2) , =(3,1) ,则 ﹣ =() A. (﹣2,1) B. (2,﹣1) C. (2,0) D. (4,3)

4. (5 分)若变量 x,y 满足约束条件 A. 7 B. 8

,则 z=2x+y 的最大值等于() C. 10 D. 11

5. (5 分)下列函数为奇函数的是() A. 2 ﹣
x

B. x sinx

3

C. 2cosx+1

D. x +2

2

x

6. (5 分) 为了解 1000 名学生的学习情况, 采用系统抽样的方法,从中抽取容量为 40 的样本, 则分段的间隔为() A. 50 B. 40 C. 25 D. 20 7. (5 分)在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边分别为 a,b,c,则“a≤b”是“sinA≤sinB” 的() A. 充分必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 非充分非必要条件

8. (5 分)若实数 k 满足 0<k<5,则曲线 A. 实半轴长相等 B. 虚半轴长相等



=1 与



=1 的() D. 焦距相等

C. 离心率相等

9. (5 分)若空间中四条两两不同的直线 l1,l2,l3,l4,满足 l1⊥l2,l2∥l3,l3⊥l4,则下列 结论一定正确的是() A. l1⊥l4 B. l1∥l4 C. l1 与 l4 既不垂直也不平行 D. l1 与 l4 的位置关系不确定

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10. (5 分)对任意复数 ω 1,ω 2,定义 ω 1*ω 2=ω 1 复数 z1,z2,z3 有如下命题: ①(z1+z2)*z3=(z1*z3)+(z2*z3) ②z1*(z2+z3)=(z1*z2)+(z1*z3) ③(z1*z2)*z3=z1*(z2*z3) ; ④z1*z2=z2*z1 则真命题的个数是() A. 1 B. 2

2

,其中

2

是 ω 2 的共轭复数,对任意

C. 3

D. 4

二、 填空题 (本大题共 3 小题, 考生作答 4 小题, 每小题 5 分, 满分 15 分. ) (一) 必做题 (11~ 13 题) x 11. (5 分)曲线 y=﹣5e +3 在点(0,﹣2)处的切线方程为. 12. (5 分)从字母 a,b,c,d,e 中任取两个不同字母,则取到字母 a 的概率为. 13. (5 分)等比数列{an}的各项均为正数,且 a1a5=4,则 log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=.

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 【坐标系与参数方程选做题】 2 14. (5 分)在极坐标系中,曲线 C1 与 C2 的方程分别为 2ρ cos θ =sinθ 与 ρ cosθ =1,以极 点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线 C1 与 C2 交 点的直角坐标为.

【几何证明选讲选做题】 15. 如图, 在平行四边形 ABCD 中, 点 E 在 AB 上且 EB=2AE, AC 与 DE 交于点 F, 则 =.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程. ) 16. (12 分)已知函数 f(x)=Asin( +φ ) ( A>0,0<φ <π )的最大值是 2,且 f(0) =2. (1)求 φ 的值; (2)设 α ,β ∈[0, ],f(2α )= ,f(2β +π )=﹣ ,求 sin(α +β )的值.

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17. (12 分)某企业通过调查问卷(满分 50 分)的形式对本企业 900 名员土的工作满意度进 行调查,并随机抽取了其中 30 名员工(16 名女员工,14 名男员工)的得分,如下表: 女 47 36 32 48 34 44 43 47 46 41 43 42 50 43 35 49 男 37 35 34 43 46 36 38 40 39 32 48 33 40 34 (1)根据以上数据,估计该企业得分大于 45 分的员工人数; (2)现用计算器求得这 30 名员工的平均得分为 40.5 分,若规定大于平均得分为‘满意’, 否则为“不满意”,请完成下列表格: “满意”的人数 “不满意”人数 合计 女 16 男 14 合计 30 〔3)根据上述表中数据,利用独立性检验的方法判断,能否在犯错误的概率不超过 1%的前提 下,认为该企业员工“性别”与“工作是否满意”有关?参考数据: 2 P(K ≥k) 0.10 0.050 0.025 0.010 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 18. (14 分)如图,在四棱锥 A﹣BCDE 中,侧面△ADE 为等边三角形,底面 BCDE 是等腰梯形, 且 CD∥B E,DE=2,CD=4,∠CD E=60°,M 为 D E 的中点,F 为 AC 的中点,且 AC=4. (1)求证:平面 ADE⊥平面 BCD; (2)求证:FB∥平面 ADE; (3)求四棱锥 A﹣BCDE 的体积.

19. (14 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,且对任意正整数 n,点(an+1,Sn)在直线 2x+y ﹣2=0 上. (1)求数列{an}的通项公式; 2 (2)若 bn=nan ,求数列{bn}的前 n 项和.

20. (14 分)已知椭圆: (Ⅰ)求椭圆的方程;

+

=1(a>b>0)的长轴长为 4,且过点(

, ) .

(Ⅱ)设 A,B,M 是椭圆上的三点.若 D( ,0) ,求证:|NC|+|ND|=2 .

=

+

,点 N 为线段 AB 的中点,C(﹣

,0) ,

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21. (14 分)已知函数 f(x)=lnx+b?x 的图象过点(1,0) (I)求 f(x)的解析式; (Ⅱ)若 (Ⅲ)当 m>0 时,讨论 为实数)恒成立,求 t 的取值范围; 在区间(0,2)上极值点的个数.

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广东省汕头市澄海凤翔中学 2015 届高三上学期第三次段考数学试卷(文科) 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个是符合题目要求的. ) 1. (5 分)已知集合 M={2,3,4},N={0,2,3,5},则 M∩N=() A. {0,2} B. {2,3} C. {3,4} D. {3,5} 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 根据集合的基本运算即可得到结论. 解答: 解:∵M={2,3,4},N={0,2,3,5}, ∴M∩N={2,3}, 故选:B 点评: 本题主要考查集合的基本运算,比较基础. 2. (5 分)已知复数 z 满足(3﹣4i)z=25,则 z=() A. ﹣3﹣4i B. ﹣3+4i C. 3﹣4i

D. 3+4i

考点: 复数相等的充要条件. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 由题意利用两个复数代数形式的乘除法,虚数单位 i 的幂运算性质,计算求得结果. 解答: 解:∵满足(3﹣4i)z=25,则 z= = =3+4i,

故选:D. 点评: 本题主要考查两个复数代数形式的乘除法,虚数单位 i 的幂运算性质,属于基础题.

3. (5 分)已知向量 =(1,2) , =(3,1) ,则 ﹣ =() A. (﹣2,1) B. (2,﹣1) C. (2,0) D. (4,3)

考点: 平面向量的坐标运算;向量的减法及其几何意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 直接利用向量的减法的坐标运算求解即可.

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解答: 解:∵向量 =(1,2) , =(3,1) , ∴ ﹣ =(2,﹣1) 故选:B. 点评: 本题考查向量的坐标运算,基本知识的考查.

4. (5 分)若变量 x,y 满足约束条件 A. 7 考点: 专题: 分析: 解答: B. 8

,则 z=2x+y 的最大值等于() C. 10 D. 11

简单线性规划. 不等式的解法及应用. 作出不等式组对应的平面区域,利用 z 的几何意义,进行平移即可得到结论. 解:作出不等式组对应的平面区域如图:

由 z=2x+y,得 y=﹣2x+z, 平移直线 y=﹣2x+z,由图象可知当直线 y=﹣2x+z 经过点 B(4,2)时, 直线 y=﹣2x+z 的截距最大,此时 z 最大,此时 z=2×4+2=10, 故选:C 点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用 z 的几何意义,利用数形结合是解决本题的关 键. 5. (5 分)下列函数为奇函数的是() A. 2 ﹣
x

B. x sinx

3

C. 2cosx+1

D. x +2

2

x

考点: 函数奇偶性的判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数的奇偶性的定,对各个选项中的函数进行判断,从而得出结论. 解答: 解:对于函数 f(x)=2 ﹣
x

,由于 f(﹣x)=2 ﹣

﹣x

=

﹣2 =﹣f(x) ,故此函

x

数为奇函数. 3 3 3 对于函数 f(x)=x sinx,由于 f(﹣x)=﹣x (﹣sinx)=x sinx=f(x) ,故此函数为偶函数.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 对于函数 f(x)=2cosx+1,由于 f(﹣x)=2cos(﹣x)+1=2cosx+1=f(x) ,故此函数为偶函 数. 2 x 2 ﹣x 2 ﹣x 对于函数 f(x)=x +2 ,由于 f(﹣x)=(﹣x) +2 =x +2 ≠﹣f(x) ,且 f(﹣x)≠f(x) , 故此函数为非奇非偶函数. 故选:A. 点评: 本题主要考查函数的奇偶性的判断方法,属于基础题. 6. (5 分) 为了解 1000 名学生的学习情况, 采用系统抽样的方法,从中抽取容量为 40 的样本, 则分段的间隔为() A. 50 B. 40 C. 25 D. 20 考点: 系统抽样方法. 专题: 概率与统计. 分析: 根据系统抽样的定义,即可得到结论. 解答: 解:∵从 1000 名学生中抽取 40 个样本, ∴样本数据间隔为 1000÷40=25. 故选:C. 点评: 本题主要考查系统抽样的定义和应用,比较基础. 7. (5 分)在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边分别为 a,b,c,则“a≤b”是“sinA≤sinB” 的() A. 充分必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 非充分非必要条件 考点: 充要条件. 专题: 简易逻辑. 分析: 直接利用正弦定理以及已知条件判断即可. 解答: 解:由正弦定理可知 ? = ,

∵△ABC 中,∠A,∠B,∠C 均小于 180°,角 A、B、C 所对应的边分别为 a,b,c, ∴a,b,sinA,sinB 都是正数, ∴“a≤b”?“sinA≤sinB”. ∴“a≤b”是“sinA≤sinB”的充分必要条件. 故选:A. 点评: 本题考查三角形中,角与边的关系正弦定理以及充要条件的应用,基本知识的考查.

8. (5 分)若实数 k 满足 0<k<5,则曲线 A. 实半轴长相等 B. 虚半轴长相等



=1 与



=1 的() D. 焦距相等

C. 离心率相等

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 分析: 根据 k 的取值范围,判断曲线为对应的双曲线,以及 a,b,c 的大小关系即可得到 结论. 解答: 解:当 0<k<5,则 0<5﹣k<5,11<16﹣k<16, 即曲线 ﹣ =1 表示焦点在 x 轴上的双曲线,其中 a =16,b =5﹣k,c =21﹣k,
2 2 2

曲线



=1 表示焦点在 x 轴上的双曲线,其中 a =16﹣k,b =5,c =21﹣k,

2

2

2

即两个双曲线的焦距相等, 故选:D. 点评: 本题主要考查双曲线的方程和性质,根据不等式的范围判断 a,b,c 是解决本题的 关键. 9. (5 分)若空间中四条两两不同的直线 l1,l2,l3,l4,满足 l1⊥l2,l2∥l3,l3⊥l4,则下列 结论一定正确的是() A. l1⊥l4 B. l1∥l4 C. l1 与 l4 既不垂直也不平行 D. l1 与 l4 的位置关系不确定 考点: 空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据空间直线平行或垂直的性质即可得到结论. 解答: 解:在正方体中,若 AB 所在的直线为 l2,CD 所在的直线为 l3,AE 所在的直线为 l1, 若 GD 所在的直线为 l4,此时 l1∥l4, 若 BD 所在的直线为 l4,此时 l1⊥l4, 故 l1 与 l4 的位置关系不确定, 故选:D

点评: 本题主要考查空间直线平行或垂直的位置关系的判断,比较基础. 10. (5 分)对任意复数 ω 1,ω 2,定义 ω 1*ω 2=ω 1 复数 z1,z2,z3 有如下命题: ①(z1+z2)*z3=(z1*z3)+(z2*z3) ②z1*(z2+z3)=(z1*z2)+(z1*z3) ③(z1*z2)*z3=z1*(z2*z3) ; ④z1*z2=z2*z1 ,其中 是 ω 2 的共轭复数,对任意

2

2

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 则真命题的个数是() A. 1 B. 2

C. 3

D. 4

考点: 命题的真假判断与应用;复数代数形式的乘除运算. 专题: 简易逻辑;数系的扩充和复数. 分析: 根据已知中 ω 1*ω 2=ω 1 判断四个结论的真假,可得答案. 解答: 解:①(z1+z2)*z3=(z1+z2) ②z1*(z2+z3)=z1( ③(z1*z2)*z3=z1 误; ④z1*z2=z1 ,z2*z1=z2 ,等式不成立,故错误; )=z1( + =(z1 )=z1 +z2 +z1 )=z1( =(z1*z3)+(z2*z3) ,正确; =(z1*z2)+(z1*z3) ,正确; )=z1 z3,等式不成立,故错
2

,其中

2

是 ω 2 的共轭复数,结合复数的运算性质逐一

,z1*(z2*z3)=z1*(z2

综上所述,真命题的个数是 2 个, 故选:B 点评: 本题以命题的真假判断为载体,考查了复数的运算性质,细心运算即可,属于基础 题. 二、 填空题 (本大题共 3 小题, 考生作答 4 小题, 每小题 5 分, 满分 15 分. ) (一) 必做题 (11~ 13 题) x 11. (5 分)曲线 y=﹣5e +3 在点(0,﹣2)处的切线方程为 5x+y+2=0. . 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: 利用导数的几何意义可得切线的斜率即可. x 解答: 解:y′=﹣5e , ∴y′|x=0=﹣5. 因此所求的切线方程为:y+2=﹣5x,即 5x+y+2=0. 故答案为:5x+y+2=0. 点评: 本题考查了导数的几何意义、曲线的切线方程,属于基础题. 12. (5 分)从字母 a,b,c,d,e 中任取两个不同字母,则取到字母 a 的概率为 0.4. 考点: 等可能事件的概率. 专题: 概率与统计. 分析: 求得从字母 a,b,c,d,e 中任取两个不同字母、取到字母 a 的情况,利用古典概 型概率公式求解即可. 解答: 解:从字母 a,b,c,d,e 中任取两个不同字母,共有 共有 =4 种情况,
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=10 种情况,取到字母 a,

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∴所求概率为 =0.4.

故答案为:0.4. 点评: 本题考查古典概型,是一个古典概型与排列组合结合的问题,解题时先要判断该概 率模型是不是古典概型,再要找出随机事件 A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总 数. 13. (5 分)等比数列{an}的各项均为正数,且 a1a5=4,则 log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=5. 考点: 等比数列的性质;对数的运算性质;等比数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 可先由等比数列的性质求出 a3=2,再根据性质化简 log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=5log2a3,代入即可求出答案. 5 解答: 解:log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=log2a1a2a3a4a5=log2a3 =5log2a3. 又等比数列{an}中,a1a5=4,即 a3=2. 故 5log2a3=5log22=5. 故选为:5. 点评: 本题考查等比数列的性质,灵活运用性质变形求值是关键,本题是数列的基本题, 较易. (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 【坐标系与参数方程选做题】 2 14. (5 分)在极坐标系中,曲线 C1 与 C2 的方程分别为 2ρ cos θ =sinθ 与 ρ cosθ =1,以极 点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线 C1 与 C2 交 点的直角坐标为(1,2) . 考点: 点的极坐标和直角坐标的互化. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 直接由 x=ρ cosθ ,y=ρ sinθ 化极坐标方程为直角坐标方程,然后联立方程组求得 答案. 2 2 2 解答: 解:由 2ρ cos θ =sinθ ,得:2ρ cos θ =ρ sinθ , 2 即 y=2x . 由 ρ cosθ =1,得 x=1. 联立 ,解得: .

∴曲线 C1 与 C2 交点的直角坐标为(1,2) . 故答案为: (1,2) . 点评: 本题考查极坐标与直角坐标的互化,考查了方程组的解法,是基础题. 【几何证明选讲选做题】 15. 如图, 在平行四边形 ABCD 中, 点 E 在 AB 上且 EB=2AE, AC 与 DE 交于点 F, 则 =3.

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考点: 三角形的面积公式. 专题: 解三角形. 分析: 证明△CDF∽△AEF,可求 .

解答: 解:∵四边形 ABCD 是平行四边形,EB=2AE, ∴AB∥CD,CD=3AE, ∴△CDF∽△AEF, ∴ = =3.

故答案为:3. 点评: 本题考查三角形相似的判断,考查学生的计算能力,属于基础题. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程. ) 16. (12 分)已知函数 f(x)=Asin( +φ ) ( A>0,0<φ <π )的最大值是 2,且 f(0) =2. (1)求 φ 的值; (2)设 α ,β ∈[0, ],f(2α )= ,f(2β +π )=﹣ ,求 sin(α +β )的值.

考点: 正弦函数的图象;两角和与差的正弦函数;函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: (1)由函数 f(x)的最大值是 2,A>0 可求得 A=2,由 f(0)=2 及 0<φ <π 即 可求得 φ 的值; (2) 先求得 f (x) 的解析式, 由已知即可求得 即可由两角和的正弦公式求 sin(α +β )的值. 解答: 解: (1)∵函数 f(x)的最大值是 2,A>0 ∴A=2?(2 分) ∵f(0)=2sinφ =2 ∴sinφ =1?(3 分) 又∵0<φ <π ∴ ?(4 分) ?(6 分) , , 从而可得 sinα , cosβ ,

(2)由(1)可知 ∵

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∴ ∵ ∴ ∵α , ?(8 分) ?(7 分)





?(10 分)

∴sin(α +β )=sinα cosβ +cosα sinβ ?(11 分)=

?(12 分)

点评: 本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用,正弦函数的图象和性质,属于中档 题. 17. (12 分)某企业通过调查问卷(满分 50 分)的形式对本企业 900 名员土的工作满意度进 行调查,并随机抽取了其中 30 名员工(16 名女员工,14 名男员工)的得分,如下表: 女 47 36 32 48 34 44 43 47 46 41 43 42 50 43 35 49 男 37 35 34 43 46 36 38 40 39 32 48 33 40 34 (1)根据以上数据,估计该企业得分大于 45 分的员工人数; (2)现用计算器求得这 30 名员工的平均得分为 40.5 分,若规定大于平均得分为‘满意’, 否则为“不满意”,请完成下列表格: “满意”的人数 “不满意”人数 合计 女 16 男 14 合计 30 〔3)根据上述表中数据,利用独立性检验的方法判断,能否在犯错误的概率不超过 1%的前提 下,认为该企业员工“性别”与“工作是否满意”有关?参考数据: 2 P(K ≥k) 0.10 0.050 0.025 0.010 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 考点: 独立性检验的应用. 专题: 综合题;概率与统计. 分析: (1)求出任选一名员工,它的得分大于 45 分的概率,即可估计该企业得分大于 45 分的员工人数; (2)根据所给数据,可得 2×2 列联表; (3)求出 k,与临界值比较,即可得出能否在犯错误的概率不超过 1%的前提下,认为该企业 员工“性别”与“工作是否满意”有关. 解答: 解: (1)从表中可知,30 名员工中有 8 名得分大于 45 分,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 所以任选一名员工,它的得分大于 45 分的概率是 所以估计该企业得分大于 45 分的员工人数为 900× (2)表格: “满意”的人数 女 12 男 3 合计 15 〔3)k=
2

=

, =240;

“不满意”人数 4 11 15 ≈8.571>6.635.

合计 16 14 30

因为 P(K >6.635)=0.010, 所以在犯错误的概率不超过 1%的前提下, 认为该企业员工“性别”与“工作是否满意”有关. 点评: 本题考查了古典概型,列联表,独立性检验的方法等知识,考查了学生处理数据和 运算求解的能力. 18. (14 分)如图,在四棱锥 A﹣BCDE 中,侧面△ADE 为等边三角形,底面 BCDE 是等腰梯形, 且 CD∥B E,DE=2,CD=4,∠CD E=60°,M 为 D E 的中点,F 为 AC 的中点,且 AC=4. (1)求证:平面 ADE⊥平面 BCD; (2)求证:FB∥平面 ADE; (3)求四棱锥 A﹣BCDE 的体积.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 2 分析: (1)利用等边三角形的性质可得 AM⊥DE,在△DMC 中,利用余弦定理可得 MC =13, 利用勾股定理的逆定理可得:AM⊥MC,再利用线面垂直与面面垂直的判定定理即可证明. (2)分别取 AD,DC 的中点 G,N,连接 FG,GE,FN,NB.利用三角形中位线定理与平行四边 形的性质可得: , 可得△BCN 是等边三角形, 可得四边形 EBND 是平行四边形, ,

,可得 FB∥平面 ADE; (3)过点 B 作 BH⊥NC 于点 H,可得 BH.又 EB=ND=2,利用四棱锥 A﹣BCDE 的体积 V= ,即可得出.

解答: (1)证明:∵△AD E 是等边三角形,M 是 D E 的中点,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∴AM⊥DE, , ∵在△DMC 中,DM=1,∠CDM=60°,CD=4, 2 2 2 ∴MC =4 +1 ﹣2×4×1×cos60°=13, ∴ , 2 2 2 ∵在△AMC 中,A M +MC =3+13=16=AC , ∴AM⊥MC, ∵MC∩DE=M,MC? 平面 BCD,DE? 平面 BCD, ∴AM⊥平面 BCD, ∵AM? 平面 ADE, ∴平面 ADE⊥平面 BCD. (2)证明:分别取 AD,DC 的中点 G,N,连接 FG,GE,FN,NB. ∵AC=DC,F,NF 分别为 AC,DC 的中点, ∴ ∴FN DN, ,∴ ,

∴四边形 DNFG 是平行四边形, ∴ ,

∵点 N 是 DC 的中点, ∴BC=NC,又∠BCN=60°, ∴△BCN 是等边三角形, ∴∠CNB=∠CDE=60°, ∴ ,

∴四边形 EBND 是平行四边形, ∴ ∴ , ,

又?平面 ADE,GE? 平面 ADE, ∴FB∥平面 ADE; (3)解:过点 B 作 BH⊥NC 于点 H,则 BH= 由(2)可知:四边形 EBND 是平行四边形, ∴EB=ND=2, ∴底面等腰梯形 BCDE 的面积 S 四边形 EBCD= ∴四棱锥 A﹣BCDE 的体积 V= = =3 , =3. = = .

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点评: 本题考查了等腰梯形与平行四边形的性质、线面面面平行垂直的判定与性质定理、 四棱锥的体积计算公式、三角形中位线定理,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 19. (14 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,且对任意正整数 n,点(an+1,Sn)在直线 2x+y ﹣2=0 上. (1)求数列{an}的通项公式; 2 (2)若 bn=nan ,求数列{bn}的前 n 项和. 考点: 数列的求和;等差数列的通项公式. 分析: (1)由已知条件可得 2an+1 +Sn ﹣2=0,可得 n≥2 时,2an+sn﹣1﹣2=0,相减后再得数 列{an}是以 1 为首项,公比为 的等比数列,再求出通项公式; (2)根据(1)和条件求出 bn,再利用错位相消法求出其前 n 项和 Tn,然后化简整理求出前 n 项和. 解答: 解: (1) : (Ⅰ)∵点(an+1,Sn)在直线 2x+y﹣2=0 上, ∴2an+1 +Sn ﹣2=0. ① 当 n≥2 时,2an+sn﹣1﹣2=0. ② ①─②得 2an+1 ﹣2an+an=0,即 (n≥2) ,

把 n=1 和 a1=1 代入①,可得 a2= ,也满足上式, ∴{an}是首项为 1,公比为 的等比数列, 则 an= ,

(2)设数列{bn}的前 n 项和是 Tn, 由(1)得,bn=nan = ∴Tn=1+ + +?+
2

= ①,





= +

+

+?+

②,

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①﹣②得,

=1+ +

+

+?+



=



=



则 Tn=



点评: 本题主要考查了等比数列的通项公式,数列前 n 项和和通项的关系,以及错位相消 法求数列的求和,是一道综合题,属于中档题.

20. (14 分)已知椭圆: (Ⅰ)求椭圆的方程;

+

=1(a>b>0)的长轴长为 4,且过点(

, ) .

(Ⅱ)设 A,B,M 是椭圆上的三点.若 D( ,0) ,求证:|NC|+|ND|=2 .

=

+

,点 N 为线段 AB 的中点,C(﹣

,0) ,

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (I)利用椭圆长轴长为 4,且过点( (II)证明线段 AB 的中点 N 在椭圆 , ) ,求出几何量,即可求椭圆的方程; 上,利用椭圆的定义,即可得到结论.

解答: (Ⅰ)解:由题意:2a=4,所以 a=2, ∵橢圆: ∴ ∴b =1 ∴所求椭圆方程为 ;
2

+

=1 过点(

, ) ,

(II)证明:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 ∵ = + , , )



∴M(

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∴ ∴ ∵点 N 为线段 AB 的中点 ∴N( , )

∴ ∴线段 AB 的中点 N 在椭圆 ∵椭圆

= 上 ,0) ,D( ,0) ,

的两焦点为 C(﹣

∴|NC|+|ND|=2 . 点评: 本题考查椭圆的标准方程,考查椭圆定义的运用,考查学生的计算能力,属于中档 题. 21. (14 分)已知函数 f(x)=lnx+b?x 的图象过点(1,0) (I)求 f(x)的解析式; (Ⅱ)若 (Ⅲ)当 m>0 时,讨论 为实数)恒成立,求 t 的取值范围; 在区间(0,2)上极值点的个数.
2

考点: 函数在某点取得极值的条件;函数解析式的求解及常用方法;函数恒成立问题;导 数在最大值、最小值问题中的应用. 专题: 导数的综合应用. 分析: (I)带点可得 b=0,进而可得 f(x)的解析式; (Ⅱ) 恒成立, 即 , 由 x>0 可得 t≤2xlnx, 构造函数 h (x)

=2xlnx,x>0,只需 t≤hmin(x)即可,求导数可得其最小值; (Ⅲ)可得 ,求导数,令其为 0 可得 x=m,或 x= ,分(1)

(2)

,且 m< , (3)
2

,或

三种情况讨论.

解答: 解: (I)∵函数 f(x)=1nx+b?x 的图象过点(1,0) , 2 ∴0=ln1+b?1 ,解得 b=0,∴f(x)的解析式为 f(x)=1nx; (Ⅱ) 恒成立,即 ,由 x>0 可得 t≤2xlnx,

构造函数 h(x)=2xlnx,x>0,只需 t≤hmin(x)即可,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 可得 h′(x)=2(lnx﹣1) ,故当 x∈(0, )时,h′(x)<0,h(x)为减函数, 当 x∈( ,+∞)时,h′(x)>0,h(x)为增函数, 故 hmin(x)=h( )= ,故 t≤ ; , (x>0)

(Ⅲ)由(I)知,f(x)=1nx,

∴ (1)当

=

,令其为 0 可得 x=m,或 x= ,

时,m=1,F′(x)>0,函数在(0,2)为增函数,无极值点;

(2)当

,且 m< ,即 <m<1 时,可知函数有两个极值点;

(3)当

,或

,即 0<m< ,或 m>2 时,可知函数有一个极值点.

点评: 本题考查函数取极值点的条件,涉及函数恒成立问题和分类讨论的思想,属中档题.

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