2016年北京市东城区高三文科数学期末试题及答案

东城区 2015-2016 学年第一学期期末教学统一检测 高三数学参考答案及评分标准 (文科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1) C (5)B (2)C (6)B (3)D (7)C (4)A (8)D

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9)

5 4

(10) 5 (12) 4 (14) 64 2

(11) 25 (13)

10

511 2 4

注:两个空的填空题第一个空填对得 3 分,第二个空填对得 2 分. 三、解答题(本大题共 6 小题 ,共 80 分) (15)(共 13 分) 解:(Ⅰ)设数列 {an } 的公差为 d ,由题意知 a2 ? a3 ? 10 ,即 2a1 +3d ? 10 , 由 a1 ? 2 ,解得 d ? 2 . 所以 an ? 2 ? 2(n ? 1) ? 2n ,即 an ? 2n , n ? N . (Ⅱ)由(Ⅰ)可得 S n ?
?

………………………………6 分

(2 ? 2n)n ? n 2 ? n ,所以 Sk ? k 2 ? k . 2

又 a3 ? 2 ? 3 ? 6 , ak ?1 ? 2(k ? 1) ,
2 2 2 由已知可得 ak ?1 ? a3 Sk ,即 (2k ? 2) ? 6(k ? k ) ,
2 * 整理得 k ? k ? 2 ? 0 , k ? N .

解得 k ? ?1 (舍去)或 k ? 2 . 故k ? 2. (16)(共 13 分) 解:(Ⅰ)由表格可知, f ( x ) 的周期 T ? 所以 ? ? ……………………………… 13 分

2? ?2. ?

? ? ? (? ) ? ? , 2 2

又由 sin ? 2 ? 0 ? ? ? ? 1 ,且 0 ? ? ? 2? ,所以 ? ? 所以 f ( x) ? sin(2 x ? ) ? cos 2 x .

? 2

? . 2
………………………………6 分

(Ⅱ) g ( x) ? f ( x) ? 2sin x ? cos 2x ? 2sin x ? 1 ? 2sin 2 x ? 2sin x

1 3 ? ?2(sin x ? ) 2 ? . 2 2
由 sin x ?[?1,1] ,所以当 sin x ?

1 3 时, g ( x) 有最大值 ; 2 2
………………………………13 分

当 sin x ? ?1 时, g ( x) 有最小值 ?3 .

(17)(共 13 分) 解:(Ⅰ)由题可知,第 2 组的频数为 0.35 ?100 ? 35 人,第 3 组的频率为 即①处的数据为 35 ,②处的数据为 0.300 .

30 ? 0.300 . 100

………………………………3 分

(Ⅱ)因为第 3 , 4 , 5 组共有 60 名学生,所以利用分层抽样,在 60 名学生中抽取 6 名学生,每组 分别为: 第 3 组:

30 20 10 ? 6 ? 3 人;第 4 组: ? 6 ? 2 人;第 5 组 : ? 6 ? 1 人. 60 60 60
………………………………6 分

所以第 3 , 4 , 5 组分别抽取 3 人, 2 人,人.

(Ⅲ) 设第 3 组的 3 位同学为 A1 ,A2 ,A3 , 第 4 组的 2 位同学为 B1 ,B2 , 第 5 组的位同学为 C1 , 则从 6 位同学中抽两位同学有 15 种可能,分别为 : ( A 1, B 1) , 1, A 2) , (A 1, A 3) , (A

( A1, B2 ) , ( A1 , C1 ) , ( A2 , A3 ) , ( A2 , B1 ) , ( A2 , B2 ) , ( A2 , C1 ) , ( A3 , B1 ) , ( A3 , B2 ) , ( A3 , C1 ) , ( B1, B2 ) , (B1, C1 ) , ( B2 , C1 ) .
其中第 4 组的两位同学至少有一位同学被选中的有 : ( A 1, B 1) , ( A 1 , B2 ) , ( A 2, B 1) ,

( A2 , B2 ) , ( A3 , B1 ) , ( A3 , B2 ) , ( B1, C1 ) , ( B2 , C1 ) , ( B1, B2 ) 9 种可能.
所以第 4 组的两位同学至少有一位同学被选中的概率 P ? 13 分 (18)(共 13 分) 证明:(Ⅰ)因为 CD ? 平面 ADE , AE ? 平 面 A D E, 所以 CD ? AE . 又因为 AE ? DE , CD ? DE ? D , 所 以 AE ? 平 面 C D E.

9 3 ? . ……………………… 15 5

又因为 AE ? 平面 ACE , 所以平面 ACE ? 平面 CDE . (Ⅱ)在线段 DE 上存在一点 F ,且 ………………………………7 分

EF 1 ? ,使 AF ? 平面 BCE . ED 3 EF 1 ? . 设 F 为线段 DE 上一点, 且 ED 3 1 过点 F 作 FM ? CD 交 CE 于 M ,则 FM ? CD . 3
因为 CD ? 平面 ADE , AB ? 平面 ADE , 所以 CD ? AB . 又 FM ? CD , 所以 FM ? AB . 因 为 C D? 3 A B , 所以 FM ? AB . 所以四边形 ABMF 是平行四边形. 所以 AF ? BM . 又因为 AF ? 平面 BCE , BM ? 平面 BCE , 所 以 AF ? 平面 BCE .

C B M A D F EF

………………………………13 分

(19)(共 14 分) 解:(Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? ex , f ?( x) ? 1 ? ex . 当 x ? 0 时, y ? ?1 ,又 f ?(0) ? 0 , 所以曲线 y ? f ( x) 在点 (0 , f (0)) 处的切线方程为

x.k.b.1

y ? ?1 . ………………………………4 分
(Ⅱ)由 f ( x) ? x ? a ex ,得 f ?( x) ? 1 ? ae x .

X K B 1.C O M

当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x ) 在 R 上单调递增.

a a 当 x ? a 时, f (a) ? a ? ae ? a(1 ? e ) ? 0 ,当 x ? 1 时, f (1) ? 1 ? ae > 0 ,

所以当 a ? 0 时,曲线 y ? f ( x) 与 x 轴有且只有一个交点; 当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ? ln a .

…………………8 分

f ( x) 与 f ?( x ) 在区间 (??, ??) 上的情况如下:

x

xkb1.com

(??, ? ln a)

? ln a
0
极大值

(? ln a, ??)

f ?( x )
f ( x)

?
?

?

?

若曲线 y ? f ( x) 与 x 轴有且只有一个交点, 则有 f (? ln a) ? 0 ,即 ? ln a ? a e
? ln a

1 ? 0 .解得 a ? . e

综上所述,当 a ? 0 或 a ? 12 分

1 时,曲线 y ? f ( x) 与 x 轴有且只有一个交点. ………………… e

(Ⅲ)曲线 f ( x) ? x ? ae x 与曲线 g ( x) ? x 最多有 3 个交点.
3

…………………14 分

(20)(共 14 分 ) 解:(Ⅰ)由椭圆过点 (0,2) ,则 b ? 又a?b ? 3 2 , 故a ? 2 2. 所以椭圆 C 的方程为

2.

x2 y2 ? ? 1. 8 2

………………………………4 分

(Ⅱ)① 若直线过椭圆的左顶点,则直线的方程是 l : y ?

1 x? 2 , 2

1 ? y ? x ? 2, ? ? ? x1 ? 0, ? ? x2 ? ?2 2, ? 2 由? 2 解得 或? ? 2 ? ? y2 ? 0. ? x ? y ?1 ? y1 ? 2, ? ? 2 ? 8
故 k1 ? ?

2 ?1 ,k 2 ? 2

2 ?1 . 2

………………………………8 分

② k1 ? k2 为定值,且 k1 ? k 2 ? 0 .

设直线的方程为 y ?

1 x ? m. 2

1 ? y ? x ? m, ? ? 2 由? 2 消 y ,得 x 2 ? 2mx ? 2m 2 ? 4 ? 0 . 2 x y ? ? ?1 ? 2 ? 8
当 ? ? 4m 2 ? 8m 2 ? 16 ? 0 ,即 ? 2 ? m ? 2 时,直线与椭圆交于两点. 设 A( x1 , y1 ) . B( x2 , y 2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?2m , x1 x2 ? 2m 2 ? 4 . 又 k1 ?

y1 ? 1 y2 ? 1 , k2 ? , x1 ? 2 x2 ? 2
y1 ? 1 y 2 ? 1 ( y1 ? 1)(x2 ? 2) ? ( y 2 ? 1)(x1 ? 2) ? ? . x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)(x2 ? 2)

故 k1 ? k 2 ? 又 y1 ?

1 1 x1 ? m , y 2 ? x 2 ? m , 2 2

所以 ( y1 ? 1)(x2 ? 2) ? ( y2 ? 1)(x1 ? 2) ? ( x1 ? m ? 1)( x 2 ? 2) ? ( x 2 ? m ? 1)( x1 ? 2)

1 2

1 2

? x1 x2 ? (m ? 2)(x1 ? x2 ) ? 4(m ? 1) ? 2m 2 ? 4 ? (m ? 2)(?2m) ? 4(m ? 1) ? 0 .
故 k1 ? k 2 ? 0 . ………………………………14


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