肇庆市第一中学2015-2016学年第一学期高一数学第一次期中考试试题及答案


肇庆市第一中学 2015—2016 学年第一学期 高一年级数学学科期中考试试题
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.若集合 A={ x -2< x <1},B={ x 0< x <2}则集合 A ∩ B=( A. { x -1< x <1} B. { x -2< x <1} C. { x -2< x <2} ) D. { x 0< x <1}

2 2 2.设集合 M ? x | x ? 2 x ? 0, x ? R , N ? x | x ? 2 x ? 0, x ? R ,则 M ? N ? (

?

?

?

?

)

A .

?0?
2

B. ?0, 2?
?0.5

C. ??2,0?

D. ??2,0, 2? )

3.如果 a ? log1 2, b ? lg11 ,c ? 2 A. a > b > c B. b > a > c

, 则 a , b , c 的大小关系为(
D. c > a > b

C. b > c > a

x 4.若函数 y ? f ( x) 是函数 y ? a 的反函数, 且 f (2) ? 1 , 则 f ( x) ?( ( a>0,且a ? 1 )



A. log2 x

B.

1 2x

C. log1 x
2

D.2

x?2

5.函数 y ? ( ) ? 2 的图象必过(
x

1 2



A.第一、三、四象限 B.第二、三、四象限 C.第一、二、三象限 D 第一、二、四象限 6.已知函数 f ( x) ? log2 ( x ? 1) ,若 f (a) ? 1,则 a 等于( A.0 B.1 C .2 ) D.3

7.函数f ( x) ? lg( x ? 1) ? lg( x ? 1)的单调区间是 A.(1 , ??) B.(0, ??)C.( ??, 0) D.( ??, ?1)
8.若函数 f ( x) ? 3 ? 3 与 g ( x) ? 3 ? 3 的定义域均为 R ,则(
x x ?x ?x



A. f ( x ) 与 g ( x) 均为偶函数 C. f ( x ) 与 g ( x) 均为奇函数 9.若 log a

B. f ( x ) 为奇函数, g ( x) 为偶函数 D. f ( x ) 为偶函数, g ( x) 为奇函数 ) C. (0, ) ? (1,?? )

2 ? 1 ,则 a 的取值范围是( 3 2 3
B. ( ,?? )

A. (0, )

2 3

2 3

D. ( ,1)

2 3

1

10.若 f ( x) 和 g ( x) 都是奇函数,且 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 2 在(0,+∞)上有最大值 8, 则在(-∞,0)上 F ( x) 有( A.最小值-8 B.最大值-8 ( ) ) C.最小值-6 D.最小值-4

11.已知集合 A=B=R,x∈A,y∈B,f::x→y=ax+b,若 4 和 10 的原象分别对应是 6 和
9,则 19 在 f 作用下的象为

A.18

B.30

27 C. 2

D.28
? ?g(x),若f(x)≥g(x), ?f(x),若f(x)<g(x). ?

12.已知 f(x)=5-2|x|,g(x)=x2-2x,F(x)=? A.最大值为 3,最小值 5 ? 2 5 C.最大值为 3,无最小值

则 F(x)的最值是(

)

B.最大值为 5 ? 2 5 ,无最小值 D.既无最大值,又无最小值

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 13.函数 f ( x) ?

1 ? lg(1 ? x) 的定义域是 1? x

14.定义域为 R 的三个函数 y ? x3 , y ? 2x , y ? x ? 1 ,中,奇函数的个数是 15.如果 log 1 x ? log 1 y ? 0 ,那么 x,y 的大小关系是
2 2

16.若不等式 (a ? 1) x ? 2a ? 3 ? 0 , 对于一切 x ? [1,2] 恒成立, 则实数 a 的取值范围 是 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17. (本小题满分 10 分)已知 f ( x) ? 2 x ? 1 , g ( x ) ?

1 , 1? x2

(1)求 f ( g ( x)) ; (2)写出函数 f ( x) 与 g ( x) 的定义域和值域.

2 18. (本小题满分 12 分)已知 y ? x ? 2 x ? 3 ( 0 ? x ? a )的最大值为 3,最小值为 2, 求 a 的取值范围。

2

19. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ?

1 。 (1)求函数 f ( x) 的定义域; (2)讨论 x

函数 f ( x) 的奇偶性; (3)讨论函数 f ( x) 的单调性。

20. (本小题满分 12 分)已知幂函数 y ? f ( x) 的图象过点(2,

2 ) 。 (1)求函数 f ( x) 2

的解析式; (2)判断函数 f ( x) 的奇偶性,并说明理由; (3)判断函数 f ( x) 的单调性,并 说明理由。

3

21. (本小题满分 12 分)如图,有一块矩形空地 ABCD,要在这块空地上开辟一个内接四 边形 EFGH 为绿地,使其四个顶点分别落在矩形的四条边上. 已知 AB=a(a>2) ,BC=2, 且 AE=AH=CF=CG,设 AE=x,绿地 EFGH 面积为 y. (1)写出 y 关于 x 的函数解析式,并求出它的定义域; (2)当 AE 为何值时,绿地面积 y 最大?并求出最大值。
D H A E G C F B

22. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? (1 ? k ) x ?

m ? 2 ,其中 k , m ? R ,且 m ? 0 。 x

(1)求函数 f ( x) 的定义域; (2)k 如何取值时,方程 f ( x) =0 有解,并求出方程的解。

4

2015—2016 学年第一学期高一级数学学科期中考试试题参考答案
一、选择题 1.D 2.D 3.C 4.A 5.B 6.B 7.A 8.D 9.C 10.D 11.B 12.C

二、填空题 13. (?1,1) U (1, ??) ; 三、解答题 15. (本小题满分 10 分) 解: (1) f ( g ( x)) ? 2 g ( x) ? 1 ? 14.1; 15.x>y>1, ; 16. a ? ?

1 4

2 1? x2 ? 1 ? . 1? x2 1? x2

(5 分) (9 分) (10 分)

(2)函数 f ( x) 的定义域为(?∞,+∞) ,值域为(?∞,+∞) ; 函数 g ( x) 的定义域为(?∞,+∞) ,值域为 ?0,1? .

16.(本小题满分 12 分)解:y=x2-2x+3=(x? -2x+1)+2=(x-1)?+2≥2 把 y=3 代入 y=x2-2x+3 得 x? -2x=0 ,x(x-2)=0,x1=0,x2=2,∴a=2 ∴a 最大取到 2 ∴1≤a≤2 故实数 a 的取值范围是[1,2]. (12 分)
17.解: (1)显然函数 f ( x) 的定义域为(?∞,0)∪(0,+∞ ). (2)因为 f (? x) ? ? x ? 所以 f ( x) 为奇函数. (3)任取 x1 , x2 ? (??,0) ? (0,??) ,且 x1 ? x 2 ,则 x2 ? x1 ? 0 . (1 分) (3 分) (4 分) (5 分)

1 1 ? ?( x ? ) ? ? f ( x ) , ?x x

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ( x2 ?

x ? x2 x x ?1 1 1 6 分) ) ? ( x1 ? ) ? ( x2 ? x1 ) ? 1 ? ( x2 ? x1 ) ? 1 2 x2 x1 x1 x2 x1 x2
(7 分) (8 分) (9 分) (10 分) (12 分) (11 分) (12 分
5

因为当 0 ? x1 ? x2 ? 1 或 ? 1 ? x1 ? x2 ? 0 , x1 x2 ? 1 ? 0 , x1 x2 ? 0 , 所以 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . 故函数 f ( x) 在区间 ?? 1,0? 和 ?0,1? 上是减函数. 又因为当 1 ? x1 ? x2 或 x1 ? x2 ? ?1, x1 x2 ? 1 ? 0 , x1 x2 ? 0 , 所以 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . 故函数 f ( x) 在区间 ?? ?,?1?和 ?1,??? 上是增函数. 单调减区间为 ?? 1,0? 和 ?0,1? .

综上,函数 f ( x) 的单调增区间为 ?? ?,?1?和 ?1,??? ;

18. (本小题满分 12 分) 解: (1)依题意设 f ( x) ? x? ,则 2 ?
?

2 , 2

(1 分)

解得 ? ? ?

1 . 2
? 1 2

(2 分)

所以, f ( x) ? x

.

(3 分) (5 分) (6 分) (7 分)

(2)显然 f ( x) 的定义域为(0,+∞) ,所以 f ( x) 为非奇非偶函数. (3)任取 x1 , x2 ? (0,??) ,且 x1 ? x 2 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 2 ? x2 2
? 1 ? 1

?

1 x1

?

1 x2

?

x 2 ? x1 x1 x 2 ? x 2 ? x1 x1 x 2 ( x 2 ? x1 )

(9 分)

=

( x 2 ? x1 )( x 2 ? x1 ) x1 x 2 ( x 2 ? x1 )

(10 分)

因为 0 ? x1 ? x2 ,所以 x1 x2 ? 0, x1 ?

x2 ? 0, x2 ? x1 ? 0 ,
(11 分) (12 分)

所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . 故函数 f ( x) 在(0,+∞)上是减函数. 21. (本小题满分 12 分) 解: (1)如图,由题意,得 S ?AEH ? S ?CFG ?

1 2 x , (1 分) 2
(2 分)
2

D H A E

G

C F B

S ?BEF ? S ?DGH

1 ? (a ? x)( 2 ? x) , 2

所以 y ? S矩形ABCD ? 2S ?AEH ? 2S ?BEF ? ?2x ? (a ? 2) x .(4 分)

? x ? 0, ?a ? x ? 0, ? 由? 得0 ? x ? 2 . ?2 ? x ? 0, ? ?a ? 2,
故 y ? ?2x ? (a ? 2) x ,定义域为 ?0,2? .
2

(6 分)

(7 分)
6

(2)当

a?2 a?2 (a ? 2) 2 ? 2 ,即 2 ? a ? 6 时,则 x ? 时, y max ? ; (9 分) 4 4 8



a?2 ? 2 ,即 a ? 6 时, y ? ?2x 2 ? (a ? 2) x 在 ?0,2? 上是增函数, (10 分) 4
(11 分)

则 x ? 2 时, ymax ? 2a ? 4 . 综上所述,当 2 ? a ? 6 , AE ?

a?2 ( a ? 2) 2 时,绿地面积最大值为 ; 4 8
(12 分)

当 a ? 6 , AE ? 2 时,绿地面积最大值为 2a ? 4 。 22. (本小题满分 12 分) 解: (1)显然函数 f ( x) 的定义域为 (??,0) ? (0,??) . (2)函数 f ( x) ? (1 ? k ) x ? 因为 m ? 0 ,所以 (1 ? k ) x ?

(2 分)

m m ? 2 的零点即方程 (1 ? k ) x ? ? 2 ? 0 的解, (3 分) x x m ? 2 ? 0 与 (k ? 1) x 2 ? 2x ? m ? 0 有相同的解. (4 分) x m ? 0, 2
(6 分)

①当 k ? 1 时,由 (k ? 1) x 2 ? 2x ? m ? 0 ,得 x ? ? 所以函数 f ( x) 有一个零点 x ? ?

m . 2

2 ②当 k ? 1 时, (k ? 1) x ? 2x ? m ? 0 的判别式 ? ? 4m(k ? 1) ? 4 .

当 ? ? 0 ,即 k ? 1 ?

1 时,函数 f ( x) 有一个零点 x ? ?m ; m

(8 分)

当 ? ? 0 ,即 m(k ? 1) ? 1 ? 0 时, 若 m ? 0 ,则 k ? 1 ?

1 ,且 k ? 1 时, m

函数 f ( x) 有两个零点 x ? 若 m ? 0 ,则 k ? 1 ?

1 ? 1 ? m(k ? 1) ; k ?1

(10 分)

1 ,且 k ? 1 时, m

函数 f ( x) 有两个零点 x ? 综上所述,

1 ? 1 ? m(k ? 1) . k ?1
7

(11 分)

当 k ? 1 时,函数 f ( x) 有一个零点 x ? ? 当 k ? 1?

m ; 2

1 时,函数 f ( x) 有一个零点 x ? ?m ; m

若 m ? 0 ,当 k ? 1 ?

1 ? 1 ? m(k ? 1) 1 ,且 k ? 1 时,函数 f ( x) 有两个零点 x ? ; m k ?1 1 ? 1 ? m(k ? 1) 1 ,且 k ? 1 时,函数 f ( x) 有两个零点 x ? . 12 分 m k ?1

若 m ? 0 ,当 k ? 1 ?

8


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