四川省重点中学年高二下学期期中考试数学试题

高 2013 级高二(下)半期考试数学试题
考试时间:120 分钟 试题 满分:150 分 一.选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. ) 1.已知双曲线的方程 A. y ? ?

x2 ? y 2 ? 1,则双曲线的渐近线方程 为( 4
C. y ? ? x )

)

x 2

B. y ? ?2 x

D. y ? ? 5x

2. i 是虚数单位,复数 A. 2 B. ? 2

2i 的实部为( 1? i
C. 1 D. ? 1

3.函数 f ( x) 的定义域为开区间 ( a, b) , 间 ( a, b) 内有极小值点( ) C.3 个

导函数 f ?( x) 在 ( a, b) 内的图象如图所示,则函数 f ( x) 在开区

A.1 个

B.2 个

D. 4 个 ) (B) ?x ? R,2 x ? 5 (D) ?x0 ∈R,2 x0 ≠5 )

4.已知命题 p: ?x ∈R,2 x =5,则 ? p 为( (A) ?x ? R,2 x =5 (C) ?x0 ∈R,2 x0 =5

5.(理) 已知 a ? (?1,0,2) , b ? (2,0, t ) 且 a // b ,则 t 的值为( A. ? 4 B.4 C.

1 2

D. ?

1 2


(文)已知 a ? (?1,2), b ? (2, t ) 且 a // b ,则 t 的值为( A. ? 4 B.4 C.

?

?

1 2

D. ? )

1 2

1 2 6.函数 y= x -lnx 的单调递减区间为( 2

A.(-1,1] B.(0,1] C.[1,+∞) D.(0,+∞ ) 7. 一个几何体的三视图如图所示, 其中俯视图与左视图均为半径是 2 的圆, 则这个几何体的表面积是(球 体的表面积公式 S= 4? R )(
2

) C. 12? ) D. 8?

A. 14?

B. 16?

8.下列结论错误 的是( ..

2 2 A.命题“若 x ? 3x ? 4 ? 0 ,则 x ? 4 ”的逆否 命题为“若 x ? 4, 则x ? 3x ? 4 ? 0 ”

2 B.“ x ? 4 ”是“ x ? 3x ? 4 ? 0 ”的充分条件

C. 命题 p : ?x ? [0,1], e ? 1 , 命题 q : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0, 则 p ? q 为假
x 2

-1-

D.命题“若 m2 ? n2 ? 0 ,则 m ? 0且n ? 0 ”的否命题是“若 m ? n ? 0.则m ? 0或n ? 0 ” ??? ??? 9.已知 O 为坐标原点,直线 y ? x ? a 与圆 x2 ? y2 ? 4 分别交于 A,B 两点.若 OA ? OB ? ?2 ,则实数 a 的值
2 2

为( A.1

). B. 2 C. ? 1 D. ? 2

10. 已知抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F ,准线为 l ,点 P 为抛物线上一点,且在第一象限, PA ? l ,垂足 为 A , PF ? 4 ,则直线 AF 的倾斜角等于( A. ) D.

7? 12

B.

2? 3

C.

3? 4

5? 6
) .

11. 设曲线 y ? sin x 上任一点 ( x, y ) 处切线斜率为 g ( x) , 则函数 y ? x 2 g ( x) 的部分图象可以为 (

12.(理)已知定义在 ?0,??? 上的单调函数 f ( x) ,对 ?x ? ?0,??? ,都有 f ? f ( x) ? log2 x? ? 3 ,则方程

f ( x) ? f ' ( x) ? 2 的解所在的区间是(
A. ? 0, ?



? ?

1? 2?

B. ?2,3?

C. ? ,1?

?1 ? ?2 ?

D. ?1,2?

(文)已知函数 f ( x) 的定义域为 R,其导函数为 f ' ( x) ,且 f ( x) ? xf '( x) ? 0 恒成立,则三个数

? f (?1), f (1),3 f (3) 的大小关系为(
A. ? f (?1) ? f (1) ? 3 f (3) C. ? f (?1) ? 3 f (3) ? f (1)



B. f (1) ? ? f (?1) ? 3 f (3) D. 3 f (3) ? f (1) ? ? f (?1)

二.填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.若 z 为复数 z ? 1 ? 2i (其中 i 为虚数单位)的共轭复数,则 z ? z =_______ _____. 14.已知函数 f ( x) ? x 2 ? x ?1 ,则函数 f ( x ) 在点 M(1,f(1))处的切线方程是______ 1 5.(理)如图在平行六面体 ABCD ? A?B?C ?D? 中,

AB ? 4, AD ? 3, AA? ? 5, ?BAD ? 90? ,
?BAA? ? ?DAA? ? 60? ,则 AC ? 的长是
(文)下图是一个算法的流程图,则输出 S 的值是 .

-2-

16.过双曲线
2

的左焦点 F(﹣c,0) (c>0)作圆 x +y =a 的切线,切点为 E,

2

2

2

延长 FE 交抛物线 y =4cx 于点 P.若 E 为 FP 的中点,则双曲线的离心率为 三.解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或者推演步骤. ) 17. (本题满分 10 分) 设复数 Z ? (1 ? i)a 2 ? 3a ? 2 ? i, (a ? R) (1)若 Z 为纯虚数,求 a 的值; (2)若复平面内复数 Z 对应的点在直线 y ? x 上,求 a 的值。

18.(本题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ax ? bx 的图像经过点 A ?1,3? ,且函数 f ( x) 在 x ? ?
3 2

4 处取得极值. 3

(Ⅰ)求实数 a , b 的值; (Ⅱ)求函数 f ? x ? 在 ? ?1 , 2? 的最大值和最小值.

19. (本小题满分 12 分) 设命题 p: 函数 f ( x) ? x3 ? ax ? 1 在 R 上单调递增;命题 q:函数 x ? ax ? 1 ? 0
2

恒成立.如果命题 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,求实数 a 的取值范围.

? 20. (本题满分 12 分)如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, ?BAC ? 90 , D, E 分别为 CC1 和 A1 B1 的

中点,且 A 1 A ? AC ? 2 AB ? 2 . (1)求三棱锥 B-A1C1D 的体积; (2)求证: C1 E // 面 A 1 BD ; (3)求二面角 A-A1D-B 的余弦值【仅理科生做】

-3-

21. (本题满分 12 分) 椭圆 C : 为1 。 (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知动直线 y ? k ? x ? 1? 与椭圆 C 相交于 A, B 两点;

x2 y2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积 2 a b 2

1 ,求斜率 k 的值; 2 ???? ???? 5 ②已知点 M ( ? ,0) ,求证: MA ? MB 为定值。 4
①若线段 AB 中点的横坐标为 ?

22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? a ln x ? ax ? 3? a ? ?3? 。

(1) 【理】求函数 y ? f ? x ? 的单调区间和极值; 【文】当 a ? 0 时,求函数 y ? f ? x ? 的单调区间和极值; ( 2 ) 若 函 数 y ? f? x ? 的 图 象 在 点 2,f

?

?2 ? ? 处 的 切 线 与 直 线 3x ? 2 y ? 1 ? 0 平 行

,且方程

2 f ( x) ? x 2 ? 2x ? m ? 6 ? 0 恒有三个实根,求实数 m 的取值范围;
(3) 【理】

ln 2 ln 3 ln 4 ln n 1 ? ? ??? ? ( n ? 2, n ? N ? ) 3 4 5 n ?1 n
ln 2 ln 3 ln 4 ln n 1 ? ? ??? ? ? n ? 2, n ? N * ? 2 3 4 n n

【文】求证:

-4-

-5-


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