导与练重点班2017届高三数学一轮复习第7节圆锥曲线的综合问题第二课时最值范围证明专题课时训练理

第二课时
【选题明细表】 知识点、方法 最值问题 范围问题 证明问题

最值、范围、证明专题
题号 2 1,3,6 4,5,7

1.已知抛物线Γ :x =2py 和点 M(2,2),若抛物线Γ 上存在不同两点 A,B 满足

2

+

=0.

(1)求实数 p 的取值范围; (2)当 p=2 时,抛物线Γ 上是否存在异于 A,B 的点 C,使得经过 A,B,C 三点的圆和抛物线Γ 在 点 C 处有相同的切线?若存在,求出点 C 的坐标;若不存在,请说明理由. 解:(1)不妨设 A(x1, ),B(x2, ),且 x1<x2,

因为

+

=0,

所以(2-x1,2- )+(2-x2,2- )=0.

所以 x1+x2=4, +

=8p.

因为 +

>

(x1≠x2),

即 8p>8, 所以 p>1,即 p 的取值范围为(1,+∞). (2)当 p=2 时, 由(1)求得 A,B 的坐标分别为(0,0),(4,4). 假设抛物线Γ 上存在点 C(t, ) (t≠0 且 t≠4), 使得经过 A,B,C 三点的圆和抛物线Γ 在点 C 处有相同的切线. 2 2 设经过 A,B,C 三点的圆 N 的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0, 则 整理得 t +4(E+4)t-16(E+8)=0.① 因为函数 y=的导数为 y′=, 所以抛物线Γ 在点 C(t, )处的切线的斜率为, 所以经过 A,B,C 三点的圆 N 在点 C(t, )处的切线斜率为,且该切线与直线 NC 垂直. 因为 t≠0, 所以直线 NC 的斜率存在.
1
3

因为圆心 N 的坐标为(-,-), 所以
3

=-,

即 t +2(E+4)t-4(E+8)=0.② 3 2 因为 t≠0,由①②消去 E,得 t -6t +32=0, 2 即(t-4) (t+2)=0, 因为 t≠4, 所以 t=-2. 故满足题设的点 C 存在,其坐标为(-2,1). 2 2.(2015 高考浙江卷)已知椭圆+y =1 上两个不同的点 A,B 关于直线 y=mx+对称.

(1)求实数 m 的取值范围; (2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点). 解:(1)由题意知 m≠0, 可设直线 AB 的方程为 y=-x+b. 由

消去 y,得(+ )x - x+b -1=0. 因为直线 y=-x+b 与椭圆+y =1 有两个不同的交点, 所以Δ =-2b +2+ >0,①
2 2

2

2

将线段 AB 中点 M(

,

)代入直线方程 y=mx+,解得 b=-

.②

由①②得 m<- 或 m> .

(2)令 t=∈(- ,0)∪(0,

),

则|AB|=

·

,

2

且 O 到直线 AB 的距离为 d= 设△AOB 的面积为 S(t),

.

所以 S(t)=|AB|·d=

≤ .

当且仅当 t =时,等号成立. 故△AOB 面积的最大值为 . 3.已知椭圆 C:+=1(a>b>0)的一个焦点是 F(1,0),且离心率为. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设经过点 F 的直线(不与 x 轴重合)交椭圆 C 于 M,N 两点,线段 MN 的垂直平分线交 y 轴于 点 P(0,y0),求 y0 的取值范围. 解:(1)设椭圆 C 的半焦距为 c.依题意,得 c=1. 因为椭圆 C 的离心率为 e=, 2 2 2 所以 a=2c=2,b =a -c =3. 故椭圆 C 的方程为+=1. (2)当 MN⊥x 轴时,显然 y0=0. 当 MN 与 x 轴不垂直时, 可设直线 MN 的方程为 y=k(x-1)(k≠0). 由 消去 y 并整理得(3+4k )x -8k x+4(k -3)=0. 设 M(x1,y1),N(x2,y2),线段 MN 的中点为 Q(x3,y3), 则 x1+x2= ,
2 2 2 2

2

所以 x3=

=

,y3=k(x3-1)=

,

线段 MN 的垂直平分线的方程为 y+ =-(x).

在上述方程中,令 x=0,得 y0=

=

.

当 k<0 时,+4k≤-4

,当且仅当=4k,k=- 时等号成立;

3

当 k>0 时,+4k≥4

,当且仅当=4k,k= 时等号成立.

所以- ≤y0<0 或 0<y0≤ .

综上,y0 的取值范围是[- , ]. 4.已知双曲线 C:x -=1,过圆 O:x +y =2 上任意一点作圆的切线 l,若 l 交双曲线于 A,B 两点, 证明:∠AOB 为定值. 证明:当切线的斜率不存在时,切线方程为 x=± 当 x= 即 A( 时,代入双曲线方程,得 y=± , ),B( ,, .
2 2 2

),此时∠AOB=,

同理,当 x=-

时,∠AOB=.

当切线的斜率存在时,设切线方程为 y=kx+b, 则 = ,即 b =2(1+k ).
2 2

由直线方程和双曲线方程消掉 y, 2 2 2 得(2-k )x -2kbx-(b +2)=0, 由直线 l 与双曲线交于 A,B 两点. 2 故 2-k ≠0.设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1+x2= ,x1x2=
2

,
2

y1y2=(kx1+b)(kx2+b)=k x1x2+kb(x1+x2)+b = + + = ,

故 x1x2+y1y2=
2 2

+

=

,

由于 b =2(1+k ), 故 x1x2+y1y2=0, 即 · =0,∠AOB=.

综上可知,∠AOB 为定值.

4

5.平面直角坐标系中,O 为坐标原点,给定两点 A(1,0),B(0,-2),点 C 满足





,

其中α ,β ∈R,且α -2β =1. (1)求点 C 的轨迹方程; (2)设点 C 的轨迹与椭圆+=1(a>b>0)交于两点 M,N,且以 MN 为直径的圆过原点,求证:+为定 值; (3)在(2)的条件下,若椭圆的离心率不大于 ,求椭圆长轴长的取值范围.

(1)解:设 C(x,y),由





,

可得(x,y)=α (1,0)+β (0,-2), 所以 即有 代入α -2β =1,

有 x+y=1,即点 C 的轨迹方程为 x+y=1. (2)证明:由 可得(a +b )x -2a x+a -a b =0, 设 M(x1,y1),N(x2,y2), 则 x1+x2= ,x1x2= ,
2 2 2 2 2 2 2

因为以 MN 为直径的圆过原点 O,则 即有 x1x2+y1y2=0, x1x2+(1-x1)(1-x2)=1-(x1+x2)+2x1x2 =1+2·

·

=0,

=0, 2 2 2 2 可得 a +b -2a b =0, 即有+=2 为定值. (3)解:+=2,可得 b =
2

.

由 a>b>0,即

<a ,即 a>1,

2

5

由 e≤ ,则 e =

2

≤,

即 1-

≤,即 2a -1≤4,

2

又 a>1,所以 1<a≤

,即 2<2a≤

,

故椭圆长轴长的取值范围是(2,

].

6.(2015 淄博模拟)已知椭圆 C:+=1(a>b>0)的焦距为 2,且过点 1, ,右焦点为 F2.设 A,B 是 C 上的两个动点,线段 AB 的中点 M 的横坐标为-,线段 AB 的中垂线交椭圆 C 于 P,Q 两点.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)求 · 的取值范围.
2 2

解:(1)因为焦距为 2,所以 a -b =1. 因为椭圆 C 过点(1,
2 2

),所以+

=1.

故 a =2,b =1, 2 所以椭圆 C 的方程为+y =1. (2)由题意知,当直线 AB 垂直于 x 轴时, 直线 AB 方程为 x=-, 此时 P(,0),Q( ,0),又 F2(1,0),



·

=-1.

当直线 AB 不垂直于 x 轴时,设直线 AB 的斜率为 k(k≠0),M(-,m)(m≠0),A(x1, y1),B(x2,y2), 则 x1+x2=-1,y1+y2=2m. 由 得(x1+x2)+2(y1+y2)· =0,

6

则-1+4mk=0,故 k=

.

此时,直线 PQ 斜率为 k1=-4m, PQ 的直线方程为 y-m=-4m(x+). 即 y=-4mx-m. 联立方程组 整理得(32m +1)x +16m x+2m -2=0. 设 P(x3,y3),Q(x4,y4), 所以 x3+x4=,x3x4= .
2 2 2 2

于是

·

=(x3-1)(x4-1)+y3y4

=x3x4-(x3+x4)+1+(4mx3+m)(4mx4+m) 2 2 2 =(4m -1)(x3+x4)+(16m +1)x3x4+m +1 = + +m +1
2

=

.
2

由于 M(-,m)在椭圆的内部,故 0<m <. 令 t=32m +1,1<t<29,则
2

·

= -

.

又 1<t<29,所以-1<

·

<

.

综上,

·

的取值范围为[-1,

).

7. 已知椭圆 C:+=1(a>b>0) 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形 , 直线 2 x-y+b=0 是抛物线 y =4x 的一条切线. (1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 S(0,- )的直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点,试问:在直角坐标平面上是否存在一个定点 T,使得以 AB 为直径的圆恒过点 T?若存在,求出点 T 的坐标;若不存在,请说明理由. 解:(1)由 消去 y 得 x +(2b-4)x+b =0.
2 2 2

因为直线 y=x+b 与抛物线 y =4x 相切,

7

所以Δ =(2b-4) -4b =0,所以 b=1, 因为椭圆 C:+=1(a>b>0) 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形 , 所以 a= b= ,
2

2

2

故所求椭圆 C 的方程为+y =1. (2)存在.理由: 2 2 2 当 l 与 x 轴平行时,以 AB 为直径的圆的方程:x +(y+) =() ,当 l 与 x 轴垂直时,以 AB 为直径 2 2 的圆的方程:x +y =1.



解得 即两圆相切于点(0,1), 因此,所求的点 T 如果存在,只能是(0,1). 下面证明点 T(0,1)就是所求的点. 当直线 l 垂直于 x 轴时,以 AB 为直径的圆过点 T(0,1); 若直线 l 不垂直于 x 轴,可设直线 l:y=kx-. 由 消去 y 得(18k +9)x -12kx-16=0, 设点 A(x1,y1),B(x2,y2),则
2 2

又因为

=(x1,y1-1),

=(x2,y2-1),

所以

·

=x1x2+(y1-1)(y2-1)

=x1x2+(kx1-) (kx2-) =(1+k )x1x2-k(x1+x2)+
2

= (1+k )·

2

-k·

+

=0, 所以 TA⊥TB,即以 AB 为直径的圆恒过点 T(0,1). 所以在直角坐标平面上存在一个定点 T(0,1)满足条件.

8


相关文档

2017届高三数学一轮复习第九篇平面解析几何第7节圆锥曲线的综合问题第二课时最值范围证明专题基础对点练理
2017届高三数学一轮复习第九篇平面解析几何第7节圆锥曲线的综合问题第二课时最值范围证明专题课时训练理
2017届高三数学一轮复习第九篇平面解析几何第7节圆锥曲线的综合问题第二课时最值范围证明专题基丛点练理
2017届高三数学一轮复习第九篇平面解析几何第7节圆锥曲线的综合问题第二课时最值范围证明专题课件理
高三数学一轮复习第九篇平面解析几何第7节圆锥曲线的综合问题第二课时最值范围证明专题基础对点练理
高三数学一轮复习第九篇平面解析几何第7节圆锥曲线的综合问题第二课时最值范围证明专题课时训练理
2017届高考数学一轮复习 第7节 圆锥曲线的综合问题 第二课时 最值 范围 证明专题应用能力提升 文
导与练重点班2017届高三数学一轮复习第7节圆锥曲线的综合问题第三课时定点定值存在性专题课时训练理
导与练重点班2017届高三数学一轮复习第7节圆锥曲线的综合问题第一课时直线与圆锥曲线的位置关系课件理
导与练重点班2017届高三数学一轮复习第7节圆锥曲线的综合问题第一课时直线与圆锥曲线的位置关系课件理分析
电脑版