最新抛物线的简单几何性质1_图文

2.4.2 抛物线的简单几何性质(1)

一、复习回顾: 1、抛物线的定义:
在平面内,与一个定点F和一条定直线l (l不经

过点F )的距离相等的点的轨迹叫抛物线.

定点F是抛物线的焦点, 定直线l叫做抛物线的准线.

l
K

y

d

.M
.
F

O

x

2.抛物线标准方程的几种形式

图形

标准方程
y2=2px(p>0) ___________

焦点坐标
p ( ,0) 2 ______ p (- , 0) 2 _______ p (0, ) ______ 2 p (0,- ) 2 _______

准线方程
p x=- 2 _______ p x= 2 _____ p y=- _______ 2
p y= 2 _____

_____________

y2=-2px(p>0)

____________

x2=2py(p>0)

2=-2py(p>0) x _____________

二、讲授新课: 抛物线y2=2px(p>0)

l
K

y

d

.M

的几何性质:
(1)范围 x≥0,y∈R

O

.

F

x

(2)对称性 关于x轴对称,对称轴又叫抛物线的轴. (3)顶点 (4)离心率 抛物线和它的轴的交点.

抛物线上的点到焦点的距离和它到准 线的距离的比,叫做抛物线的离心率,用e表示, 由抛物线的定义可知,e=1

方程 图 形 范围

y2 = 2px

y2 = -2px (p>0) y l
x

x2 = 2py (p>0) y
F

x2 = -2py (p>0) y
x
l

(p>0) y
l O F

l x

F

O

x

O

O

F

x≥0 y∈R

x≤0 y∈R

x∈R y≥0

x∈R y≤0
关于y轴对称

对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称

顶点
离心率

(0,0) e=1

三、例题选讲:
例 1.斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦 点 F ,且与抛物线相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长.

解这题,你有什么方法呢?
法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大);
法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般);

法三:活用定义,运用韦达定理,计算弦长.
法四:纯几何计算,这也是一种较好的思维.

解法1

F1(1 , 0), l的方程为:y ? x ? 1

? y ? x ?1 2 ? x ? 6x ? 1 ? 0 ? 2 ? y ? 4x

? ? ? x1 ? 3 ? 2 2 ? x2 ? 3 ? 2 2 ?? 或 ? ? ? ? y1 ? 2 ? 2 2 ? y2 ? 2 ? 2 2
2 2 AB = (x1 -x2 ) +(y1 -y2 ) =8

解法2

F1(1 , 0), l的方程为:y ? x ? 1

? y ? x ?1 2 ? x ? 6x ? 1 ? 0 ? 2 ? y ? 4x

?x1 +x2 =6, xx 1 2 =1
? AB ?

?1 ? k ?[? x
2

1

? x2 ? ? 4 x1 x2 ]
2

2 2 ? ? = ? 1 ? 1 6 ? ? ? ? 4 ?1? ? ?8

解法3

F1(1 , 0), l的方程为:y ? x ? 1

? y ? x ?1 2 ? x ? 6x ? 1 ? 0 ? 2 ? y ? 4x

?x1 +x2 =6, xx 1 2 =1
|AB |= |AF|+ |BF |
= |AA1 |+ |BB1 |

y
6

A1

5

4

A

3

2

1

=(x1+1)+(x2+1)
=x1+x2+2=8
B1
-1 -2

F
O
1 2 3 4 5 6 7 8

x

B

∴ , ,

解法4
FA = AA1 ? KH ? p ? FA cos?

2p AB ? 2 sin ?
y
6 5

p FA ? 1 ? cos ?

同理

p FB ? 1 ? cos ?

A1

4

A

3

p p AB ? ? 1 ? cos ? 1 ? cos ? 2p 2? 2 ? ? ?8 2 2 sin ? sin 45

2

K
B1

1

F
O
1 2 3 4 5 6

H
7 8

x

-1

B

-2

变式: 过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m, 交这抛物线于A、B两点,求证:以AB为直径的圆 和这抛物线的准线相切.
y

C
分析:运用 抛物线的定 义和平面几 何知识来证 比较简捷.

B O E F A

H D

x

证明:如图.
设AB的中点为E,过A、E、B分别向准线l引垂 线AD,EH,BC,垂足为D、H、C,
则|AF|=|AD|,|BF|=|BC| ∴|AB| y =|AF|+|BF| C B =|AD|+|BC| =2|EH| E H O F 所以EH是以AB为直径的 D A 圆E的半径,且EH⊥l,因 而圆E和准线l相切.

x

y
5

4

练习 P72 4

3

2

1

-1 -1

O

1

2

3

4

5

x

-2

x=3

-3

-4

-5



抛物线y2=4x的焦点为F,

y
5

点M在抛物线上运动, A(2,2), 试求
|MA|+|MF|的最小值. 解 |MA|+|MF|
A1
-1

4

3

2

A
O
1 2 3 4 5

1

x

-1

=|MA|+|MM1|
≥|AA1|=3 即 |MA|+|MF|的最小值为3.
M1

F

-2

-3

-4

M

-5

练习 抛物线y2=4x上的
5

y

点M到准线距离为d, A(2,4),
试求|MA|+d的最小值.
-1

A

4

3

2

1

O
-1

1

2

3

4

5

F

x

-2

-3

-4

d

M

-5


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