最新抛物线的简单几何性质1_图文
2.4.2 抛物线的简单几何性质(1)
一、复习回顾： 1、抛物线的定义：
在平面内,与一个定点F和一条定直线l (l不经
过点F )的距离相等的点的轨迹叫抛物线.
定点F是抛物线的焦点， 定直线l叫做抛物线的准线.
l
K
y
d
.M
.
F
O
x
2．抛物线标准方程的几种形式
图形
标准方程
y2＝2px(p>0) ___________
焦点坐标
p ( ，0) 2 ______ p (－ ， 0) 2 _______ p (0， ) ______ 2 p (0，－ ) 2 _______
准线方程
p x＝－ 2 _______ p x＝ 2 _____ p y＝－ _______ 2
p y＝ 2 _____
_____________
y2＝－2px(p>0)
____________
x2＝2py(p>0)
2＝－2py(p>0) x _____________
二、讲授新课： 抛物线y2=2px(p>0)
l
K
y
d
.M
的几何性质:
(1)范围 x≥0,y∈R
O
.
F
x
(2)对称性 关于x轴对称,对称轴又叫抛物线的轴. (3)顶点 (4)离心率 抛物线和它的轴的交点.
抛物线上的点到焦点的距离和它到准 线的距离的比,叫做抛物线的离心率，用e表示， 由抛物线的定义可知，e=1
方程 图 形 范围
y2 = 2px
y2 = -2px （p＞0） y l
x
x2 = 2py （p＞0） y
F
x2 = -2py （p＞0） y
x
l
（p＞0） y
l O F
l x
F
O
x
O
O
F
x≥0 y∈R
x≤0 y∈R
x∈R y≥0
x∈R y≤0
关于y轴对称
对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称
顶点
离心率
（0,0） e=1
三、例题选讲：
例 1.斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦 点 F ,且与抛物线相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长.
解这题,你有什么方法呢?
法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大);
法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般);
法三:活用定义,运用韦达定理,计算弦长.
法四:纯几何计算,这也是一种较好的思维.
解法1
F1(1 , 0), l的方程为：y ? x ? 1
? y ? x ?1 2 ? x ? 6x ? 1 ? 0 ? 2 ? y ? 4x
? ? ? x1 ? 3 ? 2 2 ? x2 ? 3 ? 2 2 ?? 或 ? ? ? ? y1 ? 2 ? 2 2 ? y2 ? 2 ? 2 2
2 2 AB = (x1 -x2 ) +(y1 -y2 ) =8
解法2
F1(1 , 0), l的方程为：y ? x ? 1
? y ? x ?1 2 ? x ? 6x ? 1 ? 0 ? 2 ? y ? 4x
?x1 +x2 =6, xx 1 2 =1
? AB ?
?1 ? k ?[? x
2
1
? x2 ? ? 4 x1 x2 ]
2
2 2 ? ? = ? 1 ? 1 6 ? ? ? ? 4 ?1? ? ?8
解法3
F1(1 , 0), l的方程为：y ? x ? 1
? y ? x ?1 2 ? x ? 6x ? 1 ? 0 ? 2 ? y ? 4x
?x1 +x2 =6, xx 1 2 =1
|AB |= |AF|+ |BF |
= |AA1 |+ |BB1 |
y
6
A1
5
4
A
3
2
1
=(x1+1)+(x2+1)
=x1+x2+2=8
B1
-1 -2
F
O
1 2 3 4 5 6 7 8
x
B
∴ , ,
解法4
FA = AA1 ? KH ? p ? FA cos?
2p AB ? 2 sin ?
y
6 5
p FA ? 1 ? cos ?
同理
p FB ? 1 ? cos ?
A1
4
A
3
p p AB ? ? 1 ? cos ? 1 ? cos ? 2p 2? 2 ? ? ?8 2 2 sin ? sin 45
2
K
B1
1
F
O
1 2 3 4 5 6
H
7 8
x
-1
B
-2
变式： 过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m， 交这抛物线于A、B两点，求证：以AB为直径的圆 和这抛物线的准线相切．
y
C
分析：运用 抛物线的定 义和平面几 何知识来证 比较简捷．
B O E F A
H D
x
证明：如图．
设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线l引垂 线AD，EH，BC，垂足为D、H、C，
则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜ ∴｜AB｜ y ＝｜AF｜＋｜BF｜ C B ＝｜AD｜＋｜BC｜ =2｜EH｜ E H O F 所以EH是以AB为直径的 D A 圆E的半径，且EH⊥l，因 而圆E和准线l相切．
x
y
5
4
练习 P72 4
3
2
1
-1 -1
O
1
2
3
4
5
x
-2
x=3
-3
-4
-5
例
抛物线y2=4x的焦点为F,
y
5
点M在抛物线上运动, A(2,2), 试求
|MA|+|MF|的最小值. 解 |MA|+|MF|
A1
-1
4
3
2
A
O
1 2 3 4 5
1
x
-1
=|MA|+|MM1|
≥|AA1|=3 即 |MA|+|MF|的最小值为3.
M1
F
-2
-3
-4
M
-5
练习 抛物线y2=4x上的
5
y
点M到准线距离为d, A(2,4),
试求|MA|+d的最小值.
-1
A
4
3
2
1
O
-1
1
2
3
4
5
F
x
-2
-3
-4
d
M
-5