www.157iq:数列的定义_图文

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将1张纸对折一次,得2层;再对折一次,得4层……这 样不断地对折下去,关于纸的层数可以得到一列数

2,4,8,16 ……



如果能对折30次,你能估算出它有多厚吗(假设一张

纸的厚度为0.05mm) ?它的厚度会超过珠穆朗玛峰吗?
0.05mm×2^30 ≈53697.0912m >8848m

大于3且小于11的自然数排成一列 4,5,6,7,8,9,10; 正整数的倒数排成一列 1, 1 1 1 , , ,…; 2 3 4





√ 2 精确到1,0.1,0.01,0.001,…的近似值排成一列
1,1.4,1.41,1.414, … ; -1的1次幂,2次幂,3次幂,4次幂,…排成一列 -1,1,-1,1,-1, … ; ⑤ ④

无穷多个2排成一列
2,2,2,2, …. ⑥

定义:
按一定次序排列的一列数叫数列。

数列中的每一个数叫做这个数列的项。
各项依次叫做这个数列的第1项(首项), 第2项,··,第n项, ··。 ·· ·· ·· ··
下列说法是否正确,为什么?

(1)数列1,2,3与3,2,1是同一数列 ;
(2)数列1,2,3与1,2,3,…是同一数列;

(3)1,2,1,2,…不是数列 . 数列中的项具有确定性、有序性、可重复性。

例如:(用函数的观点看数列)


序号

4
1

5
2

6 7 8 9
3 4 5 6

10
7

一般形式为:

N?

项 a1 a2 a3 a4 … an … 数列的项是序号的函数。序号n可看作是自 变量。此函数的定义域为 N ? (或它的有限 子集) 序号 1 2 3 4 … n …

数列的一般形式可以写成:

a1 , a2 , a3 ,?an ,?
其中 an 是数列的第n项,叫做数列的 通项(通用的项)。上面的数列又可 简记为

?an ?

数列的表示; 如果数列的第n项 a n与n间的关系可用 一个函数式 an ? f ?n ?表示,这个公式 叫做数列的通项公式 1,2,3,4,5,· n, · .(1) an ? n · · · ·
1 1 1 1 1, , , , ,· ,· . (2) a · · · · n 2 4 5 n

4,5,6,7,8,9,10.

(3)an ? n ? 3?n ? 7 ?

1 ? n

-1,1,-1,1, · . · ·
1,1,1,1, · . · ·

(4)an
(5)

? ?? 1?

n

an ? 1

列表法: (3)

n

1
4

2
5

3
6

4
7

5
8

6
9

7
10

an
(2)

n

1 1

2
1 2

3
1 3

4
1 4

5
1 5

6
1 6

7
1 7

… …

an

图象法: 数列(3) 用图象表示:

an
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

an ? n ? 3?n ? 7 ?

O

1

2

3

4

5

6

7

n

an
1

数列(2)用图象表示

1 an ? n
图像是相应的函数 f(x)的图像上一群孤 立的点。
O 1 2 3 4 5 6 7 n

1 2

1 4 1 8

函数与数列的比较:

函数
定义域 解析式 图像

数列(特殊的函数)

R或R的子集 N *或它的有限子集

y ? f ?x ?
点的集合

an ? f ?n ?
y ? f ? x ?的图像上 一群孤立的点

数列分类:

?1?按项数分:
?有穷数列 ? ?无穷数列 ?2?按数列中项与项的大小关系分 :

?an ? an?1 ? 0?n ? 2?? ?递增数列 从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列. ? ?an ? an?1 ? 0?n ? 2?? ?递减数列 从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列. ? ?常数列 各项相等的数列. ?摆动数列 从第2项起,有些项大于它的前一项, ?
有些项小于它的前一项的数列.

例1 根据下面数列?an ?的
通项公式,写出它的前5项: n n? (2) (1) an ? an ? sin n ?1 2
1 2 3 4 5 , , , , . 2 3 4 5 6
(2)在通项公式中依次取n=1,2,3, ?an ? 4,5,得到数列 的前5项为

解:(1)在通项公式中依次取 n =1,2, 3,4,5,得到数列 ?an ? 的前5项为

1,0,-1,0,1

例2 根据下面各数列前几项的值,写出 各数列的一个通项公式:

2 ? 4 ... ?1? ? 1,, 3,, 1 3, 7, , 5, ... ?2 ? 2n 2 4 6 8 a ? , , ,, ... ?3? 3 5 7 9 2n ? 1 n ?1? ?4 ? 0.9,0.99, 0.999, 0.9999... an ? 1 ? ? 10 ? ? ? ?0,n为奇数 2, 2, ?已知数列的前几项,数列的通项公式可能不唯一 5 ? 0, 0, ... an ? ?
n

an ? ?? 1? n an ? 2n ? 1
n

an ? ?? 1? ? 1
n
an ? 2 cos

n? , n ? 1,2,3,?? 2

?2,n为偶数

变式训练:

1 1 1 1 n ?1 1 ? ? ... 1 2 , 4 , , 16 , an ? ?? 1? 2n 8 2n 2 4 6 8 a ?? 2 ? , , , ,n ? ? ? ... ?2n ? 1??2n ? 1? 3 15 35 63 n 3 9, , , , an ? 10 ? 1 99 999 9999 ... 观察分析法求数列的通项公式规律: 7, , , , a ? 7 10 n ? 1 77 777 7777 ... ( (4数列中的正负号的调整可用?n?1?9或??1? )??1? ) 或 ①
n n ?1 n ?1

?? ? ? ??

来完成。 ②解决这类问题一定要注意观察项与项的序号的关系。

x ?1 已知f ( x) ? ,设an ? f (n)( n ? N ? ) : 例3 x 数列的有界性 1)求证:an ? 1;

2)?an ?是递增数列还是递减数列?为什么?

2)解:

n ?1 n ? 2 1 ? an ? an ?1 ? ? ? n n ? 1 n?n ? 1? 1 ? n ? 2时, ?0 n?n ? 1? ? an ? an ?1 ? 0?n ? 2 ? ? 数列?an ?是递增数列。

数列的单调性

例4 一个数列的通项公式为 an

? 30 ? n ? n

2

(1)-60是否为数列中的项?若是,是第几项?
(2)当n为何值时,a n有最大值,并求出最大值。

?1?令30 ? n ? n 2 ? ?60,即n 2 ? n ? 90 ? 0, 解:
? n ? 10或n ? ?9(舍), ? ?60是这个数列的第10项,即a10 ? ?60. 2 1 ? 121 ? 2 ?2?an ? 30 ? n ? n ? ?? n ? ? ? , 2? 4 ?

又? n ? N ,
*

?当n ? 1时,an有最大值,其最大值为30.

巩固练习:

?1?.1,1,...的通项公式为? C? 0,0,
1 ? ?? 1? A.2n ? 1 B. 2
n

1 ? ?? 1? C. 2

n

n ? ?? 1? D. 2

n

1 ?2?.已知数列?an ?的通项公式an ? ?n ? N ? ?, n?n ? 2 ? 1 10 那么 是这个数列的第 ________ 项. 120 108 ?3?.数列 ? 2n 2 ? 29n ? 3 的最大项是 ________ .

?

?

?4?.5, , , ,的通项公式 55 555 5555 ... 5 a ? ?10 为 ______ ? 1? 9 ?5?以下四个数中,哪个是数列 ?n?n ? 1??中的项? A ?
n n

A.380

B.39

C.32

D.23

自上而下,试写出 每一层钢管数构成数 列的通项公式;
思路1:

第1层钢管数为4:即 4=1+3
第2层钢管数为5:即 5=2+3 第3层钢管数为6:即 6=3+3 第4层钢管数为7:即 7=4+3 第5层钢管数为8:即 8=5+3

第6层钢管数为9:即 9=6+3
第7层钢管数为10:即 10=7+3 若用 a n 表示钢管数,n表示层数,则可得出每一层的钢管 数为一数列.且 an = n + 3(1 #n 7)

请同学们继续看此图片,是否还有其他规律可循? 思路2:上下层之间的关系 自上而下每一层的钢管数都 比上一层钢管数多1。即:

a 2 ? 5 ? 4 ? 1 ? a1 ? 1
a3 ? 6 ? 5 ? 1 ? a 2 ? 1

a1 ? 4

依此类推:

an = an- 1 + 1(2 #n

7)

提升总结

如果已知数列?a n ?的第1项(或前几项), 且任一项 a n与它的前一项 a n ?1 (或前几项) 间的关系可以用一个公式来表示,那么这 个公式就叫做这个数列的递推公式。
●递推公式也是给出数列的一种方法。 ●注意递推公式包括初始条件和递推关系两部分。

ì 如 上述数列 {an } 可表示成: ? ?

(2 #n 7) í ? an = an- 1 + 1 ? ?

a1 = 4

练习: 为什么?
? 2.已知数列?an ?中,?a1 ? 1, a2 ? 1, an ? an ?1 ? an ? 2 ,
an
a n ? 2a n ?1 ?n ? 2?

1.满足an ? 2an ?1 ? n ? 2 ? 的数列{an }一定是递增数列吗?

? n ? 3?, 试写出这个数列的前十项.
?a n ?

1.理解数列的概念、表示方法、分类。 2.理解数列的通项公式,会根据数列的 前几项写出某些简单数列的通项公式。 3.数列的递推公式

5 k 2k 例1:a5 = ,ak ? , a2 k ? 6 k ?1 2k ? 1 (n ? 1) 2 ? 1 例2 : (1)an ? , (2) an ? ( ?1) n ?1 , (3) an ? 1 ? (0.1) n , n ?1 ?0, n是奇数 (?1) n (4) an ? 1 ? (?1) n ? ? ,(5)an ? n(n ? 1) ?2, n是偶数 例3 : 课本例3 61 巩固练习:x ? 32, ? 3, , ?6, 16 5(1)a10 ? 10 ? (10 ? 2) ? 120, a20 ? 440 (2) n(n ? 2) ? 440得:n ? 20或n ? ?22(舍)440是第20项; n(n ? 2) ? 222,方程没有正整数解, 不是数列中的项 222


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