2017-2018学年高中数学三维设计人教A版浙江专版必修4讲义:第一章2.1 第一课时 三角函数的定义与公式一

1.2.1 第一课时 任意角的三角函数 三角函数的定义与公式一 预习课本 P11~15,思考并完成以下问题 (1)任意角的三角函数的定义是什么? (2)三角函数值的大小与其终边上的点 P 的位置是否有关? (3)如何求三角函数的定义域? (4)如何判断三角函数值在各象限内的符号? (5)诱导公式一是什么? [新知初探] 1.任意角的三角函数的定义 如图,设 α 是一个任意角, 前提 它的终边与单位圆交于点 P(x,y) 正弦 余弦 定义 正切 y 叫做 α 的正弦,记作 sin α,即 sin α=y x 叫做 α 的余弦,记作 cos α,即 cos α=x y y 叫做 α 的正切,记作 tan α,即 tan α= (x≠0) x x 正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆 上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数, 将 它们统称为三角函数 三角 函数 [点睛] 三角函数也是函数,都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标(坐标的比值)为 函数值的函数;三角函数值只与角 α 的大小有关,即由角 α 的终边位置决定. 2.三角函数值的符号 如图所示: 正弦:一二象限正,三四象限负; 余弦:一四象限正,二三象限负; 正切:一三象限正,二四象限负. 简记口诀:一全正、二正弦、三正切、四余弦. 3.诱导公式一 即终边相同的角的同一三角函数值相等. [点睛] 诱导公式一的实质是:终边相同的角,其同名三角函数的值相等.因为这些角 的终边都是同一条射线,根据三角函数的定义可知这些角的三角函数值相等. [小试身手] 1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若 α=β+720°,则 cos α=cos β.( (2)若 sin α=sin β,则 α=β.( ) ) ) (3)已知 α 是三角形的内角,则必有 sin α>0.( 答案:(1)√ (2)× (3)√ ) 2.若 sin α<0,tan α>0,则 α 在( A.第一象限 C.第三象限 答案:C 3.已知角 α 的终边与单位圆的交点 P A. C. 5 5 2 5 5 B.第二象限 D.第四象限 ? 5,-2 5?,则 sin α+cos α=( 5 ? ?5 5 5 ) B.- 2 5 D.- 5 答案:B π 3π 4.sin =________,cos =________. 3 4 答案: 3 2 - 2 2 三角函数的定义及应用 [典例] 设 a<0,角 α 的终边与单位圆的交点为 P(-3a,4a),那么 sin α+2cos α 的值等 于( ) A. C. 2 5 1 5 B.- 2 5 1 D.- 5 [解析] ∵点 P 在单位圆上,则|OP|=1. 1 即 ?-3a?2+?4a?2=1,解得 a=± . 5 1 ∵a<0,∴a=- . 5 3 4? ∴P 点的坐标为? ?5,-5?. 4 3 ∴sin α=- ,cos α= . 5 5 4 3 2 ∴sin α+2cos α=- +2× = . 5 5 5 [答案] A 利用三角函数的定义求值的策略 (1)已知角 α 的终边在直线上求 α 的三角函数值时,常用的解题方法有以下两种: 法一:先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后再利用正、余弦函数的定义求 出相应三角函数值. y 法二:在 α 的终边上任选一点 P(x,y),P 到原点的距离为 r(r>0).则 sin α=r ,cos α x = r .已知 α 的终边求 α 的三角函数值时,用这几个公式更方便. (2)当角 α 的终边上点的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实际情况对参数进行分 类讨论. [活学活用] 1.如果 α 的终边过点 P(2sin 30°,-2cos 30°),那么 sin α 的值等于( A. 1 2 B.- 1 2 ) C.- 3 2 D.- 3 3 解析:选 C 由题意知 P(1,- 3), 所以 r= 12+?- 3?2=2, 3 . 2 5 ,求 sin α+cos α 的值. 12 所以 sin α=- 2.已知角 α 的终边过点 P(12,a),且 tan α= 解:根据三角函数的定义,tan α= ∴a=5,∴P(12,5).这时 r=13, ∴sin α= a 5 = , 12 12 5 12 17 ,cos α= ,从而 sin α+cos α= . 13 13 13 三角函数值符号的运用 [典例] (1)若角 θ 同时满足 sin θ<0 且 tan θ<0,则角 θ 的终边一定位于( A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限 ) ) α? α α (2)设 α 是第三象限角,且? ?cos2 ?=-cos2,则2 所在象限是( A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限 [解析] (1)由 sin θ<0,可知 θ 的终边可能位于第三或第四象限,也可能与 y 轴的负半 轴重合.由 tan θ<0,可知 θ 的终边可能位于第二象限或第四象限,故 θ 的终边只能位于第 四象限. (2)∵α 是第三象限角, ∴2kπ+π<α<2kπ+ 3π ,k∈Z. 2 π α 3π ∴kπ+ < <kπ+ . 2 2 4 α ∴ 在第二、四象限. 2 α α α cos ?=-cos ,∴cos <0. 又∵? 2? ? 2 2 α ∴ 在第二象限. 2 [答案] (1)D (2)B 对于已知角 α,判断 α 的相应三角函数值的符号问题,常依据三角函数的定义,或利用 口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来处理. [活学活用] 1.设△ABC 的三个内角为 A,B,C,则下列各组数中有意义且均为正值的是( A.tan A 与 cos B C.sin C 与 tan A B.cos B 与 sin C A D.tan 与 sin C 2 ) A π A 解析:选

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