山东省济宁市某教育咨询有限公司2015届高三数学人教A版一轮复习课件:第10章 第4节 随机事件的概率_图文

抓 住 3 个 基 础 知 识 点

第四节

随机事件的概率

挖 掘 1 大 技 法

掌 握 3 个 核 心 考 向

课 堂 限 时 检 测

[ 考情展望 ]

1.互斥事件和对立事件的概率是高考重点考查

的内容,其中对立事件的概率是 “正难则反”思想的具体应用, 在高考中经常考查.2.多以选择题、填空题的形式考查,有时也渗 透在解答题中,属容易题.

一、概率和频率 1. 在相同的条件下重复 n 次试验, 观察某一事件 A 是否出现, 称 n 次试验中事件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的频数,称事 nA 件 A 出现的比例 fn(A)=____ n 为事件 A 出现的频率. 2.对于给定的随机事件 A,由于事件 A 发生的频率 fn(A)随

频率fn(A) 来 着试验次数的增加稳定于概率 P(A),因此可以用____________
估计概率 P(A).

二、事件的关系与运算 名称 定义 符号表示

发生 , 一定发生 , _______ 如果事件 A_____ 则事件 B_________ B?A 包含关系 这时称事件 B 包含事件 A(或称事件 A (或 A?B) ) _______ 包含于事件 B) A?B ,那么称事件 A 与 若 B?A,且______ 相等关系 A=B 事件 B 相等 事件A发生 或 _______ 某事件发生当且仅当_____________ A∪B 并事件 事件B发生 ,则称此事件为事件 A 与 ____________ (或 (和事件) A+B) ) _______ 事件 B 的并事件(或和事件)
s

交事 某事件发生当且仅当________________ 且 事件A发生 件(积 _____________ 事件B发生 ,则称此事件为事件 A 与事件 事件) B 的交事件(或积事件) 互斥 若 A∩B 为__________ 事件,那么称事件 A 不可能 事件 与事件 B 互斥

_______ A∩B (或____ AB )

A∩B=?

不可能 事件,A∪B 为必然事件 对立 若 A∩B 为_______ ________,
事件 那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件

互斥事件与对立事件区别与联系 互斥事件与对立事件都是两个事件的关系,互斥事件是不可 能同时发生的两个事件,而对立事件除要求这两个事件不同时发 生外,还要求二者之一必须有一个发生,因此,对立事件是互斥 事件的特殊情况,而互斥事件未必是对立事件.

三、概率的几个基本性质

0≤P(A)≤1 1.概率的取值范围:____________. 1 2.必然事件的概率 P(E)=____. 0 3.不可能事件的概率 P(F)=____.
4.概率的加法公式

P(A)+P(B) 如果事件 A 与事件 B 互斥, 则 P(A+B)=________________ .
5.对立事件的概率

1-P(B) 若事件 A 与事件 B 互为对立事件,则 P(A)=____________ .

1 1.总数为 10 万张的彩票,中奖率是 ,下列说法中正确 1 000 的是( )

A.买 1 张一定不中奖 B.买 1 000 张一定有一张中奖 C.买 2 000 张一定中奖 D.买 2 000 张不一定中奖

【解析】

由题意知,彩票中奖属于随机事件,故买1

张也可能中奖,买2 000张也可能不中奖.

【答案】

D

2.袋中装有3个白球,4个黑球,从中任取3个球,则① 恰有1个白球和全是白球;②至少有1个白球和全是黑球;③

至少有1个白球和至少有2个白球;④至少有1个白球和至少有
1个黑球.在上述事件中,是对立事件的为( A.① 【解析】 定有一个发生. B.② C.③ ) D.④

至少有1个白球和全是黑球不同时发生,且一

∴②中两事件是对立事件.
【答案】 B

3.从一箱产品中随机地抽取一件,设事件A={抽到一等 品},事件B={抽到二等品},事件C={抽到三等品},且已知 P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,则事件“抽到的不是一等

品”的概率为(
A.0.7 C.0.35 【解析】

)
B.0.65 D.0.5 “抽到的不是一等品”与事件A是对立事件,

∴所求概率P=1-P(A)=0.35.

【答案】

C

4.若随机事件A、B互斥,A、B发生的概率均不等于0, 且分别为P(A)=2-a,P(B)=3a-4,则实数a的取值范围为 ________.
【解析】 ?0<P?A?<1 ? ∵由题意可得?0<P?B?<1 ?P?A?+P?B?≤1 ?



?0<2-a<1 ? ∴?0<3a-4<1 ?2a-2≤1 ? 4 3 解得 <a≤ . 3 2
【答案】
?4 3? ? , ? ?3 2?

5.(2011· 浙江高考)从装有 3 个红球、2 个白球的袋中任取 3 个球,则所取的 3 个球中至少有 1 个白球的概率是( 1 A. 10 3 B. 10 3 C. 5 9 D. 10 )

【解析】

从 5 个球中任取 3 个共有 10 种方法.

又“所取的 3 个球中至少有 1 个白球”的对立事件是“所取 的 3 个球都不是白球” 因而所求概率 P=1- 1 9 = . 10 10

【答案】

D

6.(2010·上海高考)从一副混合后的扑克牌(52张)中随机

抽取1张,事件A为“抽得红桃K”,事件B为“抽得为黑桃”,
则概率P(A∪B)=________(结果用最简分数表示).
【解析】 52 张中抽一张的基本事件为 52 种,事件 A 为 1

种,事件 B 为 13 种,并且 A 与 B 互斥, 1 13 7 所以 P(A∪B)=P(A)+P(B)= + = . 52 52 26

7 【答案】 26

考向一 [181]

互斥事件与对立事件的判定 )

(1)下列说法正确的是(

A.掷一枚硬币,出现正面朝上的概率是 0.5,因此掷一枚硬 币 10 次,恰好出现 5 次正面向上 B.连续四次掷一颗骰子,都出现 6 点是不可能事件 C.一个射手射击一次,命中环数大于 9 与命中环数小于 8 是互斥事件 D.若 P(A+B)=1,则事件 A 与 B 为对立事件

(2)从装有除颜色外完全相同的 2 个红球和 2 个白球的口袋内 任取 2 个球,那么对立的两个事件是( )

A.至少有 1 个白球,至少有 1 个红球 B.至少有 1 个白球,都是红球 C.恰有 1 个白球,恰有 2 个白球 D.至少有 1 个白球,都是白球

【思路点拨】

(1)根据随机事件的有关概念判断.

(2)概括对立事件的定义判断.

【尝试解答】

(1)掷一枚硬币,出现正面朝上的概率是 0.5,

因此掷一枚硬币 10 次,则出现 5 次正面向上的可能性较大,但不 一定恰好出现 5 次正面向上,故 A 不正确. 连续四次掷一颗骰子, 都出现 6 点是随机事件, 故 B 不正确. 一个射手射击一次,命中环数大于 9 与命中环数小于 8,这 两件事不可能同时发生,故是互斥事件,故 C 正确.

若 P(A+B)=1, 则事件 A 与 B 不一定是对立事件, 如向一个 半径等于 1 的圆面(包含边界)上随即插上一根针, 设“针插在圆面上(包含边界)”为事件 A, “针插在圆上”为 事件 B,P(A)=1,P(B)=0,满足 P(A+B)=1, 但事件 A 和事件 B 不是互斥事件,故 D 不正确. (2)对于 A, “至少有 1 个白球”发生时, “至少有 1 个红球” 也会发生, 比如恰好一个白球和一个红球,故 A 不对立; 对于 B,“至少有 1 个白球”说明有白球,白球的个数可能 是 1 或 2,

而“都是红球”说明没有白球,白球的个数是 0, 这两个事件不能同时发生, 且必有一个发生,故 B 是对立的; 对于 C,恰有 1 个白球,恰有 2 个白球是互斥事件,它们虽 然不能同时发生 但是还有可能恰好没有白球的情况,因此它们不对立; 对于 D,至少有 1 个白球和都是白球能同时发生,故它们不 互斥,更谈不上对立了.

【答案】

(1)C

(2)B

规律方法 1

?1?对互斥事件要把握住不能同时发生,而对于

对立事件除不能同时发生外,其并事件应为必然事件,这些也可 类比集合进行理解.?2?对立事件是互斥事件中的特殊情况,但互斥 事件不一定是对立事件,“互斥”是“对立”的必要不充分条件.

对点训练

从 40 张扑克牌(红桃、 黑桃、 方块、 梅花点数从 1~

10 各 10 张)中,任取一张.判断下列给出的每对事件,互斥事件 的为________,对立事件的为________. ①“抽出红桃”与“抽出黑桃”; ②“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”; ③“抽出的牌点数为 5 的倍数”与“抽出的牌点数大于 9”.

【解析】 ①是互斥事件,不是对立事件. “抽出黑桃”与“抽出红桃”是不可能同时发生,但可以都 不发生,所以两事件互斥不对立. ②是互斥事件,且对立事件. 从 40 张扑克牌中,任意抽取 1 张.“抽出红色牌”与“抽出 黑色牌”两个事件不可能同时发生,但其中必有一个发生,所以 它们既是互斥事件,又是对立事件. ③不是互斥事件,也不是对立事件. 从 40 张扑克牌中任意抽取 1 张.“抽出的牌点数为 5 的倍 数”与“抽出的牌点数大于 9”这两个事件可能同时发生,如抽 得点数为 10,因此,二者不是互斥事件,当然不可能是对立事件.

【答案】

①②



考向二 [182] 随机事件的频率与概率

图 10-4-1 如图 10-4-1 所示,A 地到火车站共有两条路径 L1 和 L2,现随机抽取 100 位从 A 地到达火车站的人进行调查,调查 结果如下: 所用时间(分钟) 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60 选择 L1 的人数 选择 L2 的人数 6 0 12 4 18 16 12 16 12 4

(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率;
(2)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车 站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算 说明,他们应如何选择各自的路径. 【思路点拨】 (1)根据频数分布表计算频率,利用频率估

计概率;(2)分别根据不同路径估计概率,并比较大小,做出判
定.

【尝试解答】 (1)由已知共调查了 100 人, 其中 40 分钟内不 能赶到火车站的有 12+12+16+4=44(人), ∴用频率估计相应的概率为 0.44. (2)设 A1, A2 分别表示甲选择 L1 和 L2 时, 在 40 分钟内赶到火 车站;B1,B2 分别表示乙选择 L1 和 L2 时,在 50 分钟内赶到火车 站. 由频数分布表知,40 分钟赶往火车站,选择不同路径 L1,L2 的频率分别为(6+12+18)÷ 60=0.6,(4+16)÷ 40=0.5. ∴估计 P(A1)=0.6,P(A2)=0.5,则 P(A1)>P(A2),

因此,甲应该选择路径 L1, 同理,50 分钟赶到火车站,乙选择路径 L1,L2 的频率分别为 48÷ 60=0.8,36÷ 40=0.9, ∴估计 P(B1)=0.8,P(B2)=0.9,P(B1)<P(B2), 因此乙应该选择路径 L2.

规律方法 2

1.?1?解题的关键是正确计算选择不同路径时, 事

件发生的频率,并用频率估计概率;?2?第?2?问的实质是比较选择 不同路径概率的大小. 2.概率是频率的稳定值,它从数量上反映了随机事件发生的 可能性的大小,它是频率的科学抽象,当试验次数越来越多时, 频率越稳定于一个常数,可用频率来估计概率.

对点训练

(2012· 陕西高考 ) 假设甲乙

两种品牌的同类产品在某地区市场上销 售量相等,为了解它们的使用寿命,现从 这两种品牌的产品中分别随机抽取 100 个进行测试,结果统计如图 10-4-2 所 示: (1)估计甲品牌产品寿命小于 200 小 时的概率;

图10-4-2

(2)这两种品牌产品中,某个产品已使用了 200 小时,试估计 该产品是甲品牌的概率.

5+20 1 【解】 (1)甲品牌产品寿命小于 200 小时的频率为 = , 100 4 用频率估计概率,所以甲品牌产品寿命小于 200 小时的概率 1 为 . 4 (2)根据抽样结果,寿命大于 200 小时的产品共有 75+70= 145(个),其中甲品牌产品是 75 个. 所以在样本中,寿命大于 200 小时的产品是甲品牌的频率是 75 15 = . 145 29 用频率估计概率,所以已使用了 200 小时的该产品是甲品牌 15 的概率为 . 29

考向三 [183] 互斥事件与对立事件的概率 国家射击队的队员为在第 51 届射击世锦赛上取得优 异成绩,正在加紧备战,经过近期训练,某队员射击一次命中 7~ 10 环的概率如下表所示: 命中环数 10 环 概率 0.32 9环 0.28 8环 0.18 7环 0.12

求该射击队员射击一次: (1)射中 9 环或 10 环的概率; (2)命中不足 8 环的概率.

【思路点拨】

该射击队员在一次射击中,命中几环不可能

同时发生,故是彼此互斥事件,利用互斥事件求概率的公式求其 概率.另外,当直接求解不容易时,可先求其对立事件的概率.

【尝试解答】 记事件“射击一次,命中 k 环”为 Ak(k∈N, k≤10),则事件 Ak 彼此互斥. (1)记“射击一次,射中 9 环或 10 环”为事件 A,那么当 A9, A10 之一发生时,事件 A 发生,由互斥事件的加法公式得 P(A)=P(A9)+P(A10)=0.28+0.32=0.60. (2)设“射击一次,至少命中 8 环”的事件为 B,则 B 表示事 件“射击一次,命中不足 8 环”. 又 B=A8+A9+A10,由互斥事件概率的加法公式得 P(B)=P(A8)+P(A9)+P(A10)=0.18+0.28+0.32=0.78. ∴P( B )=1-P(B)=1-0.78=0.22. 因此,射击一次,命中不足 8 环的概率为 0.22.

规律方法 3

1.解答本题时,首先应正确判断各事件的关系,

然后把所求事件用已知概率的事件表示,最后用概率加法公式求 解. 2.求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法:一是直接求解 法,将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和; 二是间接法, 先求该事件的对立事件的概率, 再由 P?A?=1-P? A ?求解.当题目涉及“至多”、“至少”型问题,多考虑间接法.

对点训练 下: 排队人数 概率

某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应概率如

0 0.1

1 0.16

2 0.3

3 0.3

4 0.1

5 人及 5 人以上 0.04

(1)至多 2 人排队等候的概率是多少? (2)至少 3 人排队等候的概率是多少?

【解】 (1)记“在窗口等候的人数 i”为事件 Ai+1,i=0,1,2, 它们彼此互斥,则至多 2 人排队等候的概率为 P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3) =0.1+0.16+0.3=0.56. (2)至少 3 人排队等候的概率为 1-P(A1∪A2∪A3)=1-0.56=0.44.

思想方法之二十五

互斥事件的概率求解的妙招——正难则 反思想

若一个事件正面情况比较多,反面情况较少,则一般利用对 立事件进行求解.对于“至少”,“至多”等问题往往用这种方 法求解.

————[1 个示范例]————[1 个对点练]———— (2012· 湖南高考 ) 某超市为了解顾客的购物量及结算 时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾 客的相关数据,如下表所示.
一次购物 量 顾客数(人) 结算时间 (分钟/人) 1 1.5 2 2.5 3 1 至 4 件 5 至 8 件 9 至 12 件 13 至 16 件 x 30 25 y 17 件及以 上 10

已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. (1)确定 x, y 的值, 并估计顾客一次购物的结算时间的平均值; (2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过 (将 ...2 分钟的概率. 频率视为概率)

【解】

? ?x+30=100×45%, (1)由题意,? ? ?25+y+10=100×55%,

∴x=15,y=20. 该超市所有顾客一次性购物的结算时间组成一个总体,100 位 顾客一次购物的结算时间视为总体的一个容量为 100 的简单随机 抽样, 顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计, 其 估计值为: 1×15+1.5×30+2×25+20×2.5+10×3 又x= =1.9. 100

∴估计顾客一次购物的结算时间为 1.9 分钟. (2)设 B、C 分别表示事件“一位顾客一次购物的结算时间分 别为 2.5 分钟、3 分钟”. 20 1 10 1 将频率视为概率,得 P(B)= = ,P(C)= = , 100 5 100 10 ∵B,C 互斥,且 A =B+C, 1 1 3 ∴P( A )=P(B+C)=P(B)+P(C)= + = , 5 10 10 3 7 因此 P(A)=1-P( A )=1- = . 10 10 ∴一位顾客一次购物结算时间不超过 2 分的概率为 0.7.

【名师寄语】

?1?准确理解题意,善于从图表信息中提炼数

据关系,明确数字特征的含义.??2?正确判定事件间的关系,善于 将 A 转化为互斥事件的和或对立事件,切忌盲目代入概率加法公 式.

一盒中装有 12 个球,其中 5 个红球、4 个黑球、2 个白球、1 个绿球.从中随机取出 1 球,求: (1)取出 1 球是红球或黑球的概率; (2)取出 1 球是红球或黑球或白球的概率.

【解】

法一

(利用互斥事件求概率):记事件 A1={任取 1

球为红球},A2={任取 1 球为黑球},A3={任取 1 球为白球},A4 ={任取 1 球为绿球}, 5 4 1 2 1 1 则 P(A1)= ,P(A2)= = ,P(A3)= = ,P(A4)= , 12 12 3 12 6 12 根据题意知,事件 A1、A2、A3、A4 彼此互斥,由互斥事件的 概率公式,得 (1)取出 1 球为红球或黑球的概率为 P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2) 5 4 3 = + = ; 12 12 4

(2)取出 1 球为红球或黑球或白球的概率为 P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3) 5 4 2 11 = + + = . 12 12 12 12 法二:(利用对立事件求概率): (1)由法一知,取出 1 球为红球或黑球的对立事件为取出 1 球 为白球或绿球,即 A1∪A2 的对立事件为 A3∪A4,所以取出 1 球为 红球或黑球的概率为 P(A1∪A2)=1-P(A3∪A4)=1-P(A3)-P(A4) 2 1 3 = 1- - = . 12 12 4

(2)因为 A1∪A2∪A3 的对立事件为 A4,所以 P(A1∪A2∪A3)= 1 11 1-P(A4)=1- = . 12 12

课堂限时检测(六十一)

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