奉贤补习班新王牌高中数学衔接知识点的专题强化训练

丁 G 老师 高一数学

新王牌 www.xwp.cn 021-57575768

奉贤补习班新王牌高中数学第一讲衔接知识点的专题强化训练
★ 专题一 数与式的运算 【要点回顾】 1.乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式: [1]平方差公式: [2]完全平方和公式: [3]完全平方差公式: 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式: [公式 1] (a ? b ? c)2 ? [公式 2] [公式 3] 说明:上述公式均称为“乘法公式”. 2.根式 [1]式子 a (a ? 0) 叫做二次根式,其性质如下: (1) ( a )2 ? ;(2) ; ; .

? a3 ? b3 (立方和公式) ? a3 ? b3 (立方差公式)

a2 ?

;(3)

ab ?

; (4)

b ? a



[2]平方根与算术平方根的概念: 其中 a (a ? 0) 叫做 a 的算术平方根. [3]立方根的概念: 3.分式 [1]分式的意义 有下列性质: [2]繁分式 形如 (1)

叫做 a 的平方根,记作 x ? ? a (a ? 0) , 叫做 a 的立方根,记为 x ?
3

a

A A A 的式子,若 B 中含有字母,且 B ? 0 ,则称 为分式.当 M≠0 时,分式 具 B B B
; (2) .

当分式

A A m?n? p 的分子、分母中至少有一个是分式时, 就叫做繁分式,如 , 2m B B n? p

说明:繁分式的化简常用以下两种方法:(1) 利用除法法则;(2) 利用分式的基本性质. [3]分母(子)有理化 把分母(子)中的根号化去,叫做分母(子)有理化.分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母 的有理化因式,化去分母中的根号的过程;而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化 去分子中的根号的过程

第 1 页 共 11 页

丁 G 老师 高一数学

新王牌 www.xwp.cn 021-57575768

【例题选讲】
2 例 1 已知 x ? 3x ? 1 ? 0 ,求 x ?
3

1 的值. x3

例 2 已知 a ? b ? c ? 0 ,求

1 1 1 1 1 1 a ( ? ) ? b( ? ) ? c( ? ) 的值. b c c a a b

例 3 化简: ( 3 ? 2)2004 ? ( 3 ? 2)2005 .

例 4. 化简: (1) 9 ? 4 5 ;

(2) x 2 ?

1 ? 2(0 ? x ? 1) . x2

第 2 页 共 11 页

丁 G 老师 高一数学

新王牌 www.xwp.cn 021-57575768

例 5 化简: (1)

x 1? x x? 1 x? x

说明:(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行,当分子、分母为多项式时,应先因式分解再进行约分化 简;(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式. 【巩固练习】 1.选择题: (1)若 ? a ? b ? 2 ab ? (A) a ? b (2)计算 a ? (A) ?a

?b ? ? a ,则 (B) a ? b (C) a ? b ? 0






(D) b ? a ? 0 ) (D) ? a

1 等于 a

(B) a (C) ? ?a 1 1 2 2.解方程 2( x ? 2 ) ? 3( x ? ) ? 1 ? 0 . x x

第 3 页 共 11 页

丁 G 老师 高一数学

新王牌 www.xwp.cn 021-57575768

★ 专题二 因式分解 【要点回顾】 因式分解是代数式的一种重要的恒等变形,它与整式乘法是相反方向的变形.在分式运算、解方程 及各种恒等变形中起着重要的作用.是一种重要的基本技能. 因式分解的方法较多,除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法 (平方差公式和完全平方公式 ) 外,还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等. 1.公式法:常用的乘法公式: [1]平方差公式: [3]完全平方差公式: [5] a3 ? b3 ? ;[2]完全平方和公式: ;[4] (a ? b ? c) ?
2

; ; (立方差公式)

(立方和公式);[6] a3 ? b3 ?

由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形,所以把整式乘法公式反过来写,运用上述公式可以进 行因式分解. 2.分组分解法 从前面可以看出,能够直接运用公式法分解的多项式,主要是二项式和三项式.而对于四项以上的 多项式,如 ma ? mb ? na ? nb 既没有公式可用,也没有公因式可以提取.因此,可以先将多项式分组处 理.这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法.分组分解法的关键在于如何分组. 常见题型:(1)分组后能提取公因式 3.十字相乘法 (1) x ? ( p ? q) x ? pq 型的因式分解
2

(2)分组后能直接运用公式

这类式子在许多问题中经常出现,其特点是:①二次项系数是 1;②常数项是两个数之积;③ 一次 项系数是常数项的两个因数之和. ∵ x ? ( p ? q) x ? pq ? x ? px ? qx ? pq ? x( x ? p) ? q( x ? p) ? ( x ? p)( x ? q) ,
2 2

∴ x ? ( p ? q) x ? pq ? ( x ? p)( x ? q)
2

运用这个公式,可以把某些二次项系数为 1 的二次三项式分解因式. (2)一般二次三项式 ax ? bx ? c 型的因式分解
2

由 a1a2 x2 ? (a1c2 ? a2c1 ) x ? c1c2 ? (a1x ? c1 )(a2 x ? c2 ) 我们发现,二次项系数 a 分解成 a1a2 ,常数项

c 分解成 c1c2 ,把 a1 , a2 , c1 , c2 写成 a2 ?c2 ,这里按斜线交叉相乘,再相加,就得到 a1c2 ? a2c1 ,如果它正
a1 c1

好等于 ax ? bx ? c 的一次项系数 b ,那么 ax ? bx ? c 就可以分解成 (a1 x ? c1 )(a2 x ? c2 ) ,其中 a1 , c1 位
2 2

于上一行, a2 , c2 位于下一行.这种借助画十字交叉线分解系数,从而将二次三项式分解因式的方法,叫 做十字相乘法. 必须注意,分解因数及十字相乘都有多种可能情况,所以往往要经过多次尝试,才能确定一个二次 三项式能否用十字相乘法分解. 4.其它因式分解的方法 其他常用的因式分解的方法: (1)配方法 (2)拆、添项法

第 4 页 共 11 页

丁 G 老师 高一数学

新王牌 www.xwp.cn 021-57575768

【例题选讲】 例3 解: (十字相乘法)把下列各式因式分解:
2

(1) x ? 5 x ? 24

(2) x ? 2 x ? 15
2

解:

(3) x2 ? xy ? 6 y 2 解:

(4) ( x2 ? x)2 ? 8( x2 ? x) ? 12 解:

例4 解:

(十字相乘法)把下列各式因式分解:
2

(1) 12 x ? 5x ? 2



(2) 5x2 ? 6 xy ? 8 y 2 解:

说明:用十字相乘法分解二次三项式很重要.当二次项系数不是 1 时较困难,具体分解时,为提高 速度,可先对有关常数分解,交叉相乘后,若原常数为负数,用减法”凑”,看是否符合一次项系数, 否则用加法”凑”,先”凑”绝对值,然后调整,添加正、负号. 【巩固练习】 1.在实数范围内因式分解: (1) x ? 5 x ? 3 ;
2

(2) x ? 2 2 x ? 3 ;
2

2. ?ABC 三边 a , b , c 满足 a ? b ? c ? ab ? bc ? ca ,试判定 ?ABC 的形状.
2 2 2

3.分解因式:x2+x-(a2-a).

第 5 页 共 11 页

丁 G 老师 高一数学

新王牌 www.xwp.cn 021-57575768

★ 专题三 【要点回顾】

一元二次方程根与系数的关系

1.一元二次方程的根的判断式 一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) ,用配方法将其变形为:
2 2



由于可以用 b ? 4ac 的取值情况来判定一元二次方程的根的情况.因此,把 b ? 4ac 叫做一元二次方程

ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的根的判别式,表示为: ? ? b2 ? 4ac
对于一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0) ,有 [1]当 Δ [2]当 Δ [3]当 Δ 0 时,方程有两个不相等的实数根: 0 时,方程有两个相等的实数根: 0 时,方程没有实数根. ; ;
2

2.一元二次方程的根与系数的关系 定理:如果一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的两个根为 x1 , x2 ,那么:

x1 ? x2 ?

, x1x2 ?

说明:一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现,所以通常把此定理称为” 韦达定理”.上述定理成立的前提是 ? ? 0 . 【例题选讲】

例 1.已知方程 5 x ? kx ? 6 ? 0 的一个根是 2,求它的另一个根及 k 的值.
2

解法一:

解法二:

第 6 页 共 11 页

丁 G 老师 高一数学
2

新王牌 www.xwp.cn 021-57575768

例 2 若 x1 , x2 是方程 x ? 2 x ? 2007 ? 0 的两个根,试求下列各式的值: (1) x12 ? x22 ; (2) 解:

1 1 1 1 ? ;(3) ( x1 ? 5)( x2 ? 5) ;(4) | x1 ? x2 | .(5)求 2 ? 2 的值;(6)x13+x23. x1 x2 x1 x2

2 例 3.一元二次方程 x ? 4 x ? a ? 0 有两个实根,一个比 3 大,一个比 3 小,求 a 的取值范围。

解一:

解二:

例 4. 已知一元二次方程 x ? (a ? 9) x ? a ? 5a ? 6 ? 0 一个根小于 0,另一根大于 2,求 a 的取值
2 2 2

范围。

第 7 页 共 11 页

丁 G 老师 高一数学

新王牌 www.xwp.cn 021-57575768

【巩固练习】 B组

一、选择题:
1.若关于 x 的方程 x2+(k2-1) x+k+1=0 的两根互为相反数,则 k 的值为 ( ) (A)1,或-1 (B)1 (C)-1 (D)0 2.如果 a,b 是方程 x2+x-1=0 的两个实数根,那么代数式 a3+a2b+ab2+b3 的值是 .

C 组 1.选择题: (1)已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程 2x2-8x+7=0 的两根,则这个直角三角形的斜 边长等于 ( ) (A) 3 (B)3 (C)6 (D)9

(2)若 x1,x2 是方程 2x2-4x+1=0 的两个根,则 (A)6 (B)4 (C)3

( 3 ) 如 果 关 于 x 的 方 程 x2 - 2(1 - m)x + m2 = 0 有 两 实 数 根 α , β , 则 α + β 的 取 值 范 围 为 ( ) (A)α+β≥

x1 x2 ? 的值为 x2 x1 3 (D) 2

( )

1 2

(B)α+β≤

1 2

(C)α+β≥1

(D)α+β≤1

( 4 ) 已 知 a , b , c 是 ΔABC 的 三 边 长 , 那 么 方 程 cx2 + (a + b)x +

c =0 的根的情况是 4




(A)没有实数根 (B)有两个不相等的实数根 (C)有两个相等的实数根 (D)有两个异号实数根 2.填空: 若方程 x2-8x+m=0 的两根为 x1,x2,且 3x1+2x2=18,则 m= . 3.若关于 x 的方程 x2+x+a=0 的一个大于 1、另一根小于 1,求实数 a 的取值范围. 解:

第 8 页 共 11 页

丁 G 老师 高一数学

新王牌 www.xwp.cn 021-57575768



专题四 一次函数、正比例函数、反比例函数

【要点回顾】 1.函数图象 [1]一次函数: 称 y 是 x 的一次函数,记为: y ? kx ? b (k、b 是常数,k≠0)

特别的,当 b =0 时,称 y 是 x 的正比例函数。 [2] 正比例函数的图象与性质:函数 y=kx(k 是常数, k≠0)的图象是 时,图象过原点及第一、第三象限,y 随 x 的增大而 象限,y 随 x 的增大而 . ;当 的一条直线,当 时,图象过原点及第二、第四

[3] 一次函数的图象与性质:函数 y ? kx ? b (k、b 是常数,k≠0)的图象是过点(0,b)且与直线 y=kx 平 行的一条直线.设 y ? kx ? b (k≠0),则当 而 . 时,y 随 x 的增大而 ;当 时, y 随 x 的增大

[4]反比例函数的图象与性质:函数 y ? 个象限中,y 随 x 的增大而 增大而 是原点. ;当

k (k≠0)是双曲线,当 x

时,图象在第一、第三象限,在每

时,图象在第二、第四象限.,在每个象限中,y 随 x 的

.双曲线是轴对称图形,对称轴是直线 y ? x 与 y ? ? x ;又是中心对称图形,对称中心

巩固练习 1.函数 y ? kx ? m 与 y ?
y O A. x O B.

m ( m ? 0) 在同一坐标系内的图象可以是( ) x
y x O C. y x O D. y x

第 9 页 共 11 页

丁 G 老师 高一数学

新王牌 www.xwp.cn 021-57575768

专题五 二次函数 【要点回顾】 2 1. 二次函数 y=ax +bx+c 的图像和性质 2 2 问题[1] 函数 y=ax 与 y=x 的图象之间存在怎样的关系?

问题[2] 函数 y=a(x+h) +k 与 y=ax 的图象之间存在怎样的关系?

2

2

由上面的结论,我们可以得到研究二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象的方法: 由于 y=ax +bx+c=a(x +
2 2 2

2

b b b2 b2 b b2 ? 4ac x )+c=a(x2+ x + 2 )+c- ? a( x ? ) 2 ? , a a 4a 4a 2a 4a
2

所以,y=ax +bx+c(a≠0)的图象可以看作是将函数 y=ax 的图象作左右平移、上下平移得到的, 2 二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)具有下列性质: 2 [1]当 a>0 时,函数 y=ax +bx+c 图象开口方向 ;顶点坐标为 ,对称轴为直 线 当 ;当 时,y 随着 x 的增大而 .
2

;当

时,y 随着 x 的增大而



时,函数取最小值

[2]当 a<0 时,函数 y=ax +bx+c 图象开口方向 线 ;当 时,y 随着 x 的增大而 .
y x=-

;顶点坐标为 ;当

,对称轴为直 ;当

时,y 随着 x 的增大而

时,函数取最大值

b 2a

y

A (?

b 4ac ? b 2 , ) 2a 4a

O A (?

x

O
2

x x=-

b 4ac ? b , ) 2a 4a

b 2a

图 2.2-4 上述二次函数的性质可以分别通过上图直观地表示出来.因此,在今后解决二次函数问题时,可以借 图 2.2-3 助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题. 2.二次函数的三种表示方式 [1]二次函数的三种表示方式:

(1) .一般式: (2) .顶点式: (3) .交点式:

; ; .

说明:确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法,在选择把二次函数的关系式设成什么形式 时,可根据题目中的条件灵活选择,以简单为原则.二次函数的关系式可设如下三种形式: ①给出三点坐标可利用一般式来求; ②给出两点,且其中一点为顶点时可利用顶点式来求. ③给出三点,其中两点为与 x 轴的两个交点 ( x1 ,0) . ( x2 ,0) 时可利用交点式来求.
第 10 页 共 11 页

丁 G 老师 高一数学

新王牌 www.xwp.cn 021-57575768

专题六

二次函数的最值问题

例 1 某商场以每件 30 元的价格购进一种商品,试销中发现这种商品每天的销售量 m (件)与每件的销售价

x (元)满足一次函数 m ? 162 ? 3x,30 ? x ? 54 . (1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润 y 与每件销售价 x 之间的函数关系式;
(2) 若商场要想每天获得最大销售利润,每件商品的售价定为多少最合适?最大销售利润为多少?

【巩固练习】 1 .抛物线 y ? x ? ( m ? 4) x ? 2m ? 3 ,当 m = _____ 时,图象的顶点在 y 轴上;当 m = _____ 时,图
2

象的顶点在 x 轴上;当 m = _____ 时,图象过原点. 2.用一长度为 l 米的铁丝围成一个长方形或正方形,求其所围成的最大面积。

第 11 页 共 11 页


相关文档

初高中数学衔接知识点的专题强化训练:专题二 因式分解
初高中数学衔接知识点的专题强化训练:专题四 平面直角坐标系
初高中数学衔接知识点强化训练(教师版)
初高中数学衔接知识点的专题强化训练:专题七 不 等 式
初高中数学衔接知识点的专题强化训练:专题一 数与式的运算
初高中数学衔接知识点的专题强化训练:专题六 二次函数的最值问题
初高中数学衔接知识点的专题强化训练:专题五 二次函数
重庆市铜梁县第一中学初高中数学衔接教材试题:第三章衔接知识点的专题强化训练(无答案)
初高中数学衔接知识点专题
专题一初高中数学衔接知识点专题 2
电脑版