高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.2演绎推理课件新人教b选修2_2_图文

2.1.2

演绎推理

1.掌握演绎推理的基本模式,特别是三段论模式,并学会运用这些 推理模式进行推理. 2.了解合情推理、演绎推理之间的联系和区别.

1

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1.演绎推理 根据概念的定义或一些真命题,依照一定的逻辑规则得到正确结 论的过程,叫做演绎推理.它的特征是:当前提为真时,结论必然为真. 归纳总结 演绎推理的特点: (1)演绎的前提是一般性原理,演绎所得的结论是蕴涵于前提之 中的个别、特殊事实,结论完全蕴涵于前提之中. (2)在演绎推理中,前提与结论之间存在必然的联系,只要前提是 真实的,推理的形式是正确的,那么结论也必定是正确的.因而演绎 推理是数学中严格证明的工具. (3)演绎推理是一种收敛性的思维方法,它的创造性较少,但却具 有条理清晰、令人信服的论证作用,有助于科学的理论化和系统化.

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【做一做1】 演绎推理是( ) A.部分到整体,个别到一般的推理 B.特殊到特殊的推理 C.一般到特殊的推理 D.一般到一般的推理 答案:C

1

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2.演绎推理的三种推理规则 (1)三段论推理:用符号表示这种推理规则就是“M是P,S是M,所以 S是P”. (2)传递性关系推理:用符号表示推理规则是“如果aRb,bRc,则 aRc”,其中“R”表示具有传递性的关系. (3)完全归纳推理:把所有情况都考虑在内的演绎推理规则叫做完 全归纳推理. 三段论推理是演绎推理的一般模式,在数学证明中,以上三种演 绎推理规则是经常用到的,一道证明题,往往要综合应用这些推理 规则.如果违背了这些规则,那么证明就是错误的.

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【做一做2-1】 下面几种推理过程是演绎推理的是 ( ) A.两条直线平行,同旁内角互补,若∠A与∠B是两条平行直线的同 旁内角,则∠A+∠B=180° B.某校高三(1)班有55人,(2)班有54人,(3)班有52人,由此得高三所 有班人数都超过50人 C.由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质

D.在数列{an}中,a1=1,an= 2 -1 + {an}的通项公式
答案:A

1

1
-1

(≥2),由此归纳出

1

2

【做一做2-2】 “因为a⊥α,b⊥α,所以a∥b,又因为b∥c,所以a∥c.” 以上推理的两个步骤分别遵循的推理规则是( ) A.第一步遵循完全归纳推理,第二步遵循传递性关系推理 B.第一步遵循三段论推理,第二步遵循完全归纳推理 C.第一步遵循三段论推理,第二步遵循传递性关系推理 D.第一步遵循传递性关系推理,第二步遵循三段论推理 答案:C

合情推理与演绎推理有哪些区别与联系? 剖析:区别:从推理形式和推理所得结论的正确性上讲,二者有 差异.
合情推理 归纳推理 推理形 式 结论的 正确性 类比推理 演绎推理

由部分到整体或 由特殊到 由一般到特殊的推 由个别到一般的 特殊的推 理 推理 理 在前提和推理形式 结论不一定正确,有待进一 都正确的前提下,结 步证明 论正确

联系:从二者在认识事物的过程中所发挥的作用的角度考虑,它 们是紧密联系、相辅相成的.合情推理的结论需要演绎推理的验证, 而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的.在数学中,演绎推 理可以验证合情推理的结论的正确性,合情推理可以为演绎推理提 供方向和思路.

题型一

题型二

题型三

三段论推理 【例题1】 已知A,B,C,D四点不共面,M,N分别是△ABD和△BCD的 重心,求证:MN∥平面ACD. 分析:应用线面平行的判定定理证明. 证明:如图,连接BM,BN并延长,分别交AD,DC于P,Q两点,连接 PQ. 因为M,N分别是△ABD和△BCD的重心, 所以P,Q分别是AD,DC的中点,
因为

=2=

, 所以MN∥PQ.

又因为MN?平面ADC,PQ?平面ADC, 所以MN∥平面ACD.

题型一

题型二

题型三

反思 “三段论”是演绎推理的一般模式,包括: (1)大前提——已知的一般原理; (2)小前提——所研究的特殊情况; (3)结论——根据一般原理,对特殊情况作出的判断.

题型一

题型二

题型三

传递性关系推理

【例题 2】 设 a,b,c 为正实数,求证: 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 > + + .
分析:应用均值不等式找出a2+b2与a+b,b2+c2与b+c,a2+c2与a+c 的关系,再应用同向不等式相加法则可证明.

证明: 因为 a2+b2≥2ab,a,b,c 为正实数, 所以 2(a2+b2)≥a2+b2+2ab=(a+b)2, 所以 所以
2 ( + ) a2+b2≥ 2 , 2 2 + 2 ≥ 2 ( + ).

题型一

题型二

题型三

同理 2 + 2 ≥ 2 ( + ), 2 + 2 ≥ 2 ( + ), 所以有 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 ≥ 2 (2 + 2 + 2 ) = 2( + + ), 即 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 ≥ 2( + + ), 又 2( + + ) > + + , 所以 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 > + + .
反思 传递性关系推理论证时必须保证各量间的关系能正确传递.
2

2

2

题型一

题型二

题型三

完全归纳推理

【例题 3】 已知函数 f(x)=
(1)判断f(x)的奇偶性; (2)证明f(x)>0.

1 1 + 2 -1 2

· x3.

(1) 解: 函数 f(x)的定义域为 2x-1≠0, 即{x|x≠0},f(-x)-f(x)= 2 1 1 1 = + ? 3 ? + 3 2 2 1-2 2 -1 =
2 3 1 1 1 3 · x ? 3 ? · x ? 3 2 2 2 -1 2 -1 1 1 + 2- -1 2

(?)3 ?

1 1 + 2 -1 2

3

= 3 ? 3 = 0,

所以 f(-x)=f(x). 所以 f(x)是偶函数.

题型一

题型二

题型三

(2)证明:因为x≠0, 所以当x>0时,2x>1,2x-1>0,x3>0,所以f(x)>0; 当x<0时,-x>0,f(x)=f(-x)>0,所以f(x)>0. 反思 完全归纳推理必须把所有情况都考虑在内.完全归纳推理不 同于归纳推理,后者仅仅证明了几种特殊情况,它不能说明结论的 正确性,而前者则把所有情况都作了证明.

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1如图,因为AB∥CD,所以∠1=∠2,又因为∠2=∠3,所以∠1=∠3.所用的 推理规则为( )

A.完全归纳推理、传递性关系推理 B.三段论推理、传递性关系推理 C.三段论推理、完全归纳推理 D.三段论推理、三段论推理 解析:本题前面证∠1=∠2用的是三段论推理,后半部分证∠1=∠3用 的是传递性关系推理. 答案:B

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2“因为指数函数y=ax是减函数(大前提),且y=3x是指数函数(小前提), 所以y=3x是减函数(结论).”上面推理的错误是( ) A.大前提错导致结论错 B.小前提错导致结论错 C.推理形式错导致结论错 D.大前提和小前提都错导致结论错 解析:y=ax(a>0,a≠1)的单调性与a有关,若a>1,则为增函数;若 0<a<1,则为减函数. 答案:A

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3下面的推理是传递性关系推理的是( ) A.在同一三角形中,若三角形两边相等,则该两边所对的内角相等, 在△ABC中,AB=AC,所以在△ABC中,∠B=∠C B.因为2是偶数,所以2是素数 C.因为a∥b,b∥c,所以a∥c

D.因为 2是有理数或无理数, 且 2不是有理数, 所以 2是无理数
答案:C

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4因为当a>0时,|a|>0;当a=0时,|a|=0;当a<0时,|a|>0,所以当a为实数 时,|a|≥0.此推理过程运用的是演绎推理中的 推理. 答案:完全归纳

1

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5 关于函数

2 +1 f(x)=lg (≠0),有下列命题: ||

①其图象关于y轴对称;②当x>0时,f(x)是增函数;当x<0时,f(x)为减 函数;③f(x)的最小值是lg 2;④当-1<x<0或x>1时,f(x)是增函数;⑤f(x) 无最大值,也无最小值.其中所有正确结论的序号是 . 解析:显然f(-x)=f(x),∴其图象关于y轴对称.
2 +1 1 当 x>0 时,f(x)=lg = lg + . 1 ∵φ(x)=x+ 在(0,1)内是减函数,在(1,+∞)内是增函数,∴f(x)在

(0,1)内是减函数,在(1,+∞)内是增函数.∴f(x)min=f(1)=lg 2. ∵f(x)为偶函数, ∴f(x)在(-1,0)内是增函数. 答案:①③④


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