高中数学湘教版选修2-1:第一章 命题及其关系 1.1.1 命题的概念和例子 命题的四种形式_图文

1.1

命题及其关系

1.1.1 命题的概念和例子 1.1.2 命题的四种形式

学习目标

课前自主学案 1.1.2 课堂互动讲练

知能优化训练

学习目标 1.通过实例了解命题的概念,会判断命题的真假. 2.了解命题的四种形式,掌握四种命题之间的关

系,并会判断四种命题的真假性.
3.学会应用命题的等价性来证明命题.

课前自主学案

温故夯基

1.对顶角相等;两直线平行,同位角相等.这两
个例子都能判断其真假.

2.垂直于同一条直线的两条直线互相平行是错误 ____
的.

知新益能 1.命题 成立或不成立 的语句叫作命题,成立的 可以判断_____________ 真命题,不成立的命题叫作________ 假命题 . 命题叫作______

思考感悟 1.如何理解命题的定义? 提示:一个语句是命题,必须具备两个特征: ①是陈述句,祈使句、疑问句等一般都不是命 题; ②可以判断真假,这个语句对还是错是唯一确 定的,如同元素与集合的关系是明确的,不能 模棱两可.

2.四种命题结构

思考感悟 2.在四种命题中,原命题是固定的吗?
提示:不是.原命题是人为指定的,是相对于其

他三种命题而言的,可以把任何一个命题看作原
命题,进而研究它的其他形式.

3.四种命题的相互关系

4.四种命题的真假性 (1)四种命题的真假性,有且仅有下面四种情况 原命题 真 真 假 假 逆命题 真 假 真 假 否命题 真 ______ 逆否命题 真 真 假 ________ 假 _______

假 _______
真 ________ 假 _______

(2)四种命题的真假性之间的关系 相同 ①两个命题互为逆否命题,它们有 _________ 的 真假性. ②两个命题互为逆命题或否命题,它们的真假性 没有关系.

思考感悟 3 .在四种命题中,真命题的个数可能会有几种 情况? 提示:因为原命题和逆否命题,逆命题和否命题 互为逆否命题,它们同真同假,所以真命题的个 数可能为0,2,4.

课堂互动讲练

考点突破

命题及其真假的判断
(1)判断一个语句是否是真命题,关键在于能否 判断其真假.一般地,陈述句“π 是有理数”, 反意疑问句“难道矩形不是平行四边形吗?” 都是命题;而祈使句“求证 2是无理数”,疑 问句“ π 是无理数吗”,感叹句“向 2011 年大 运会志愿者致敬!”等就不是命题.

(2)判断一个命题的真假时,既可以直接对该命题 进行判断,也可以根据命题之间的关系判断.

例1 判断下列语句是否是命题,若是,判断其真

假,并说明理由. (1)求证 3是无理数; 2 (2)x + 4x+ 4≥ 0; (3)你是高一的学生吗? (4)一个正整数不是质数就是合数; (5)若 x+ y 和 xy 都是有理数,则 x、y 都是有理数; (6)60x+ 9> 4; 2 (7)若 x∈ R,则 x + 4x+ 7> 0.

【思路点拨】

借助命题的定义“可以判断真假的

陈述句叫作命题”来判断. 【解】 (1)祈使句,不是命题.

(2)x2+4x+4=(x+2)2≥0,它包括x2+4x+4>0和 x2+4x+4=0,对于x∈R,可以判断真假,它是命 题,且是真命题. (3)是疑问句,不涉及真假,不是命题. (4)是假命题,整数1既不是质数,也不是合数.

(5)是假命题, 3+ (- 3)和 3× (- 3)都是有理 数,但 3、- 3都是无理数. (6)不是命题,这种含有未知数的语句,未知数的取 值能否使不等式成立,无法确定. (7)是真命题,因为 x2+ 4x+ 7= (x+ 2)2+ 3> 0,对 于 x∈ R,不等式恒成立.

【名师点评】 (1) 在判断一个命题的真假时,要 分清原命题的条件和结论. (2)在说明一个命题为真命题时,应进行严格的推 理证明;而要说明一个命题是假命题,只要举出 一个反例即可.

自我挑战1

判断下列命题的真假:

(1) 已知 a , b , c , d ∈ R ,若 a≠c 或 b≠d ,则 a + b≠c+d; (2)2010年亚运会在中国广州举行; (3)若m>1,则方程x2-2x+m=0无实数根; (4)空集是任何集合的真子集; (5)垂直于同一个平面的两个平面互相平行.

解: (1) 假命题.反例: 1≠4 或 5≠2 ,而 1 + 5 = 4 +2. (2)真命题.这是事实. (3)真命题.因为 m>1?Δ= 4- 4m<0?方程 x2- 2x +m=0无实数根. (4)假命题.空集不是它本身的真子集. (5)假命题.反例:有可能互相垂直,如墙角.

命题的结构
一般情况下,命题的条件与结论是比较清楚的,但 有一部分命题只是一个句子,此时,应把原命题改

写成“若 p,则 q”的形式,即要分清题目的条件和
结论.

例2 把下列命题改写成“若 p,则 q”的形式,

并判断命题的真假. (1)ac> bc? a> b; (2)已知 x、 y 为正整数,当 y= x+ 1 时, y= 3, x = 2; 1 2 (3)当 m> 时,mx - x+ 1=0 无实根; 4 (4)当 abc= 0 时, a=0 或 b= 0 或 c= 0; (5)当 x2- 2x- 3=0 时, x= 3 或 x=- 1.

【思路点拨】

找准命题的条件和结论是解决这

类题目的关键,要注意大前提的写法.

【解】 (1)若 ac> bc,则 a> b,假命题. (2)已知 x、y 为正整数,若 y= x+ 1,则 y= 3 且 x = 2,假命题. 1 2 (3)若 m> ,则 mx - x+ 1= 0 无实根,真命题. 4 (4)若 abc= 0,则 a=0 或 b= 0 或 c= 0,真命题. 2 (5)若 x - 2x- 3= 0,则 x=3 或 x=- 1,真命题.

【名师点评】

(1) 把一个命题改写成“若 p ,则 q”

的形式,首先要确定命题的条件和结论,若条件和 结论比较隐含,要补充完整.要判断“若p,则q” 命题的真假,若能由“p”通过逻辑推理得出“q”,

则可确定其为真命题;若能举出反例说明由“p”不
能推出“q”,则该命题是假命题.

(2)若将含有大前提的命题改写为“若p,则q”的
形式时,大前提不变,仍作为大前提,不能写在条 件p中.

四种命题及其真假判断

由于互为逆否命题的两个命题是等价命题,它们
同真同假,所以一个命题的逆命题和它的否命题

同真同假,一个命题与它的逆否命题同真同
假.当一个命题的真假不易判断时,可以通过判

断其逆否命题的真假来判断.

例3 判断下列命题的真假,并写出它们的逆命

题、否命题、逆否命题,同时判断这些命题的真 假. (1)若 a> b,则 ac2> bc2 . (2)若在二次函数 y= ax + bx+ c 中, b - 4ac< 0, 则该二次函数图象与 x 轴有公共点.
2 2

【思路点拨】

【解】

(1)该命题为假.当c=0时,ac2=bc2;

逆命题:若ac2>bc2,则a>b,为真; 否命题:若a≤b,则ac2≤bc2,为真; 逆否命题:若ac2≤bc2,则a≤b,为假. (2)该命题为假,∵当b2-4ac<0时,二次方程ax2 + bx + c = 0 没有实数根,因此二次函数 y = ax2 + bx+c的图象与x轴无公共点;

逆命题:若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴 有公共点,则b2-4ac<0,为假; 否命题:若在二次函数y=ax2+bx+c中,b2- 4ac≥0,则该二次函数的图象与x轴没有公共点, 为假; 逆否命题:若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴没有公共点,则b2-4ac≥0,为假.

【名师点评】 (1)写出一个命题的逆命题、否命 题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论, 然后按定义来写. (2)在判断原命题及其逆命题、否命题以及逆否命 题的真假时,可借助原命题与其逆否命题同真或 同假,逆命题与否命题同真或同假来判断. 自我挑战 2 把下列命题写成“若 p ,则 q”的形 式,并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题, 然后判断其真假. (1)正方形的四条边相等; (2)负数的平方是正数.

解:(1)原命题:若一个四边形是正方形,则它的 四条边相等,真命题; 逆命题:若一个四边形的四条边相等,则它是正 方形,假命题; 否命题:若一个四边形不是正方形,则它的四条 边不相等,假命题; 逆否命题:若一个四边形的四条边不相等,则它 不是正方形,真命题.

(2)原命题:若一个数是负数,则这个数的平方是 正数,真命题; 逆命题:若一个数的平方是正数,则这个数是负 数,假命题; 否命题:若一个数不是负数,则这个数的平方不 是正数,假命题; 逆否命题:若一个数的平方不是正数,则这个数 不是负数,真命题.

等价命题的应用
由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性,即 互为逆否命题的命题具有等价性,所以我们在直

接证明某一个命题为真命题有困难时,可以通过
证明它的逆否命题为真命题,来间接地证明原命

题为真命题.

例4 判断命题“已知 a , x 为实数,若关于 x 的不

等式 x2 + (2a + 1)x + a2 + 2≤0 的解集非空,则 a≥1” 的逆否命题的真假.

【思路点拨】

【解】 法一:原命题的逆否命题: 已知a,x为实数,若a<1,则关于x的不等式x2+ (2a + 1)x + a2 + 2≤0 的解集为空集.判断其真假 如下: 抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2开口向上, 判别式Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7. 因为a<1,所以4a-7<0. 即抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2与x轴无交点. 所以关于 x 的不等式 x2 + (2a + 1)x + a2 + 2≤0 的解 集为空集. 故原命题的逆否命题为真.

法二:先判断原命题的真假: 2 因为 a,x 为实数,且关于 x 的不等式 x + (2a+ 1)x 2 + a + 2≤0 的解集非空, 2 2 所以 Δ= (2a+ 1) - 4(a + 2)≥ 0,即 4a- 7≥ 0, 7 7 解得 a≥ .因为 a≥ , 4 4 所以 a≥ 1,所以原命题为真. 又因为原命题与其逆否命题等价, 所以逆否命题为真.

【名师点评】

命题的问题可以和其他很多知识

相结合,例如本题就是一道有关集合,不等式的
解集,二次函数的图象,四种命题的关系的综合

题.要求对这几方面的内容非常熟练,且要有一
定的分析推理能力,通过一题多解,培养学生创

新的能力.

方法感悟 1.四种命题的理解 (1)原命题:它是相对其他三种命题而言人为指定 的命题,不是固定不变的,可以把任意一个命题 看成原命题,进而研究它的其他形式. (2)逆命题,把原命题的条件作为结论,而原命题 的结论作为条件,得到的命题称为原命题的逆命 题. (3)否命题:将原命题中的条件和结论同时加以否 定后得到的命题称为原命题的否命题.

(4)逆否命题:将原命题的条件加以否定,作为结 论,而原命题的结论加以否定作为条件得到的新 命题称为原命题的逆否命题. 2.四种命题的真假判断 (1)原命题为真,它的逆命题可以为真,也可以为 假. (2)原命题为真,它的否命题可以为真,也可以为 假. (3)原命题为真,它的逆否命题一定为真.

(4)互为逆否的命题同真同假,同一个命题的逆命题

和否命题是一对互为逆否的命题,所以它们同真同
假.

综合上述四条可知,在同一个命题的四种命题中,
真命题的个数要么是0,要么是2,要么是4.

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