www.iam400.com:山东省烟台市2017届高三数学3月诊断性测试一模试题(理)(含答案)_图文

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2017 年高考诊断性测试理科数学
注意事项: 1.本试题满分 150 分,考试时间为 120 分钟. 2. 使用答题纸时, 必须使用 0.5 毫米的黑色签字笔书写, 要字迹工整, 笔迹清晰. 超 出答题区书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.答卷前将密封线内的项目填写清楚. 一、 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一个选项符合题目要求. 1.若集合 A= ??1,0,1, 2,3? ,B= y y ? 2 x ? 1, x ? A ,集合 C=A∩B,则 C 的真子集个数 为 A.3 2.若复数 B.4 C.7 D .8

?

?

a?i (i 为虚数单位,a 为实数)为纯虚数,则不等式 x ? a ? x ? 3 的解集为 1? i

A. x x ? 1

?

?

B. x x ? ?2

?

?

C. x x ? ?1或x ? ?

?

?

D. x x ? ?2或x ? ?

?

?

3. “ m ? 1 ”是“函数 f ? x ? ? log2 ?1 ? mx ? ? log2 ?1 ? mx ? 为奇函数”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.用 0,1,2,?,299 给 300 名高三学生编号,并用系统抽样的方法从中抽取 15 名学 生的数学成绩进行质量分析, 若第一组抽取的学生的编号为 8, 则第三组抽取的学生编号 为 A.20 B.28 C.40 D.48 5.若 ? , ? 是两个不同平面, m, n 是两条不同直线,则下列结论错误的是 A.如果 m / / n , ? / / ? ,那么 m 与 ? 所成的角和 n 与 ? 所成的角相等 B.如果 m ? n , m ? ? , n / / ? ,那么 ? ? ? C.如果 ? / / ? , m?? ,那么 m / / ? D.如果 m ? ? , n / /? ,那么 m ? n 6.一个几何体的三视图如右图所示,其中俯视图是一个正三角 形及其内切圆,则该几何体的体积为

16 3 ? A.

16? 8? 16 3 ? 16? 8 3 ? 8? B. C.8 3 ? D. 3 3 3 3

? 2 x ? y ? 2 ? 0, 2x ?1 ? 7.若变量 x,y 满足 ? x ? y ? 2 ? 0, 则 的最小值为 y ? 1 ? x ? y ? 1 ? 0, ?
A.

1 3

B.

1 6

C.

2 3

D.

3 2

8. 已知函数 f ? x ? ? Asin ??x ? ? ?? A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ? ? , 其 导函数的图象 f ? ? x ? 如右图所示,则 f ? A. 2 3 B.2 C. 2 2

?? ? ? 的值为 ?2?

D.4

9.执行右图所示的程序框图,输出的 n 值为 A.4 B.6 C.8 D.12

? ax 2 ? x, x ? 0 10 . 已 知 f ? x ? ? ? , 若 不 等 式 ? ? x, x ? 0

f ? x ?1? ? f ? x ? 对一切 x ? R 恒成立,则实 a 数的最大
值为 A. ?

9 16
e

B.-1

C. ?

1 2

D.1

二、填空题:本大题共有 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.若

?

1

2 a? ? dx ? a ,则 ? x ? ? 展开式中的常数项为 x x? ?

6

12.已知 x,y 均为正实数,若 a ? ? x, y ?1? , b ? ? 2,1? ,且 a ? b ,则

1 2 ? 的最小值是 x y

y2 2 ? 1 的右支上一点 P 分别向圆 C1 : ? x ? 3? ? y 2 ? 4 和圆 C2 : l3. 过双曲线 x ? 8
2

? x ? 3?

2

? y 2 ? 1作切线,切点分别为 A,B,则 PA ? PB 的最小值为
2 2

2

2

14.从曲线 x ? y ? x ? y 所围成的封闭图形内任取一点,则该点在单位圆中的概率为 15.已知 f ? x ? 是定义在 R 上的函数, f ? ? x ? 是 f ? x ? 的导函数。给出如下四个结论:

①若 f ? ? x ? ?

f ? x? ? 0 ,且 f ? 0? ? e ,则函数 xf ? x ? 有极小值 0; x

n ?1 ? f 2n , n ? N ? ; ②若 xf ? ? x ? ? 2 f ? x ? ? 0 ,则 4 f 2

?

?

? ?

③若 f ? ? x ? ? f ? x ? ? 0 ,则 f ? 2017? ? ef ? 2016? ; ④若 f ? ? x ? ? f ? x ? ? 0 ,且 f ? 0? ? 1,则不等式 f ? x ? ? e? x 的解集为 ? 0, ??? . 所有正确结论的序号是 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分. 16.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 (1) 将函数 f ? x? ? sin? 2x ? ? ? ? 0? ? ?

tan A 2c ? b ? . tan B b

? ?

??

? 的图象向右平移角 A 个单位可得到函数 2?

g ? x ? ? ? cos 2x 的图象,求 ? 的值;
(2)若△ABC 的外接圆半径为 1,求△ABC 面积的最大值.

17.(本小题满分 12 分)
? 如图所示的三棱柱中,侧面 ABB1 A 1 为边长等于 2 的菱形,且 ?AA 1B 1 ? 60 , ?ABC 为等

边三角形,面 ABC ? 面ABB1 A 1. (1)求证: A 1B 1 ? AC1 ; (2)求侧面 A 1 所成的二面角的余弦值. 1 ACC1 和侧面 BCC1B

18.(本小题满分 12 分) 己知各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足 an ? Sn ? Sn?1 ? n ? 2? , a1 ? 1 ;数
2

列 ?bn ? 满足 b1 ? b2…bn ? 2

n? n ?1? 2 .

(1)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公 式; (2)设数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和为 Tn ,当 Tn ? 2017 时,求正整数 n 的最小值. 19.(本小题满分 12 分) 2017 年由央视举办的一档文化益智节目《中国诗词大会》深受观众喜爱 ,某记者调查了 部分年龄在[10,70]的观众,得到如下频率分布直方图.若第四、五、六组的人数依次 成等差数列,且第六组有 4 人. (1)请补充完整频率分布直方图,并估计这组数据的平均数 x ; (2)现根据观看年龄,从第四组和第六组的所有观 众 中 任 意 选 2 人 , 记 他 们 的 年 龄 分 别 为 x, y , 若 ,试求 x ? y ? 10 ,则称此 2 人为“最佳诗词搭档” 选出的 2 人为“最佳诗词搭档”的概 P; (3)以此样本的频率当作概率,现随机从这组样本中 选出 3 名观众,求年龄不低于 40 岁的人数 ? 的分布 列及期望.

20.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ? x ? ? x ln x, g ? x ? ? ?x2 ? ax ? 2 . (1)若曲线 f ? x? ? x ln x在x ? 1 处的切线与函数 g ? x ? ? ?x2 ? ax ? 2 也相切,求实数 a 的值; (2)求函数 f ? x ? 在 ?t , t ? ? ? t ? 0 ? 上的最小值; 4

? ?

1? ?

(3)证明:对任意的 x ? ? 0, ??? ,都有 x ln x ? 21.(本小题满分 14 分)

x 2 ? 成立. ex e

x2 y 2 如图,已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的左焦点 F 为抛物线 y 2 ? ?4x 的焦点,过点 a b
F 做 x 轴的垂线交椭圆于 A,B 两点,且 AB ? 3 . (1)求椭圆 C 的标准方程: (2) 若 M , N 为 椭 圆 上 异 于 点 A 的 两 点 , 且 满 足

???? ? ??? ? ???? ??? ? AM ?AF AN ?AF ????? ? ? ????? , 问直线 MN 的斜率是否为定值? AM AN
若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.


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